随机事件与概率

1、盐城纺织职业技术学院 毕业论文（设计） 题 目： 姓 名： 学 号： 专业班级： 指导教师： 二一 年 三 月目 录1.1 随机事件及其运算2一随机试验与样本空间2二随机事件2三事件间的关系与运算2（）事件的包含与相等3（）事件的并（和事件）3（）事件的交（积事件）3 () 事件的差4（）互不相容事件（互斥事件）4（）对立事件4四.事件的频率与概率的统计定义61.频率62.概率的统计定义63.概率的公理化定义64.概率的性质7第一章 随机事件与概率1.1 随机事件及其运算教学目的：了解概率论研究的内容，掌握随机事件与随机变量的概念，掌握随机事件的关系与运算；理解随机事件的频率及概率的含义和基本

2、性质。教学重点：随机事件的概念以及随机事件的关系与运算；概率基本概念。教学难点：随机事件的关系与运算教学过程：一 随机试验与样本空间为了确定随机现象的规律性，需要对随机现象进行多次观察或实验，我们把这些工作统称为试验。由于概率论研究的对象是随机现象，因此，要求所做的试验都具有如下共同特点：（1） 试验可以在相同的条件下重复进行；（2） 每次试验的可能结果不止一个，但事先明确试验的所有可能结果；（3） 每次试验前不能确定哪个结果将出现。具有上述三个特点的试验称为随机试验，简称试验，记为。随机试验e每一个可能结果称为基本事件，或称为样本点，由全体样本点组成的集合，称为随机试验e的样本空间，用表示.

3、 掷一枚骰子，观察其出现的点数，所有可能出现的结果有6个：1点，2点，,6点。分别用1，2，6表示，则样本空间为 一射手进行射击，直到击中目标为止，观察射击的次数。用“第一次击中目标所需要的射击次数为次”( i=1,2,)，则样本空间为：. 在一日光灯中任意抽取一只，测试其寿命，用（单位：）表示日光的寿命，则可取所有非负实数：对应了试验的所有可能结果，则样本空间为： 观察某城市某个月内交通事故发生的次数. 通过上面的例子我们可以看到，随机试验的样本空间可能有有限个样本点，可能有可列无穷多个样本点，也可能有不可列无穷多个样本点.二随机事件在随机试验中，对一次试验来说，可能出现也可能不出现的事情称

4、为随机事件，简称事件. 用大写字母、等表示. 例如在中 出现2点； 出现5点； 出现偶数点.等都是随机事件. 由一个样本点构成的事件即为基本事件，如 出现2点.由若干个基本事件构成的事件，称为复合事件，如出现偶数点出现2点，出现4点，出现6点.有两种特殊情况：一是样本空间的全体样本点组成的集合称为必然事件，不可能出现的事情称为不可能事件. 必然事件用表示，不可能事件用表示.不可能事件和必然事件本来不是随机事件，但为了以后讨论方便，把它们看作是一种特殊的随机事件.三 事件间的关系与运算（）事件的包含与相等若事件a发生必导致事件b发生，则称事件a包含于事件b中, 或称事件b包含事件a，记作或，如图

5、1.1.1所示。 图1.1.1显然对任一事件a有：。若且则称事件与事件b相等，记作。（）事件的并（和事件）若事件a与事件b中至少有一个发生，这样构成的事件，称为事件a与事件b的并事件，（或称a与b的和事件），记作或。显然事件表示事件“或者a发生，或者b发生，或者a与b都发生”。如图1.1.2中的阴影部分所示。 图1.1.2类似地，“事件中至少有一个发生”称为n个事件的和事件，记作，简记为或。 “事件中至少有一个发生”称为可列个事件的和事件，记作，简记为或。（）事件的交（积事件）由事件a与事件b同时发生而构成的事件，称为事件a与b的交事件（或称为事件a与b的积事件），记作，或简记为。如图1.1.

6、3中的阴影部分所示。 图1.1.3类似地， “事件同时发生”称为n个事件的积事件，记作或，简记为或。 “事件同时发生”称为可列个事件的积事件，记作或，简记为或.() 事件的差事件a发生而事件b不发生，这样构成的事件，称为事件a与事件b的差事件，记作。如图1.1.4中的阴影部分所示。 图1.1.4（） 互不相容事件（互斥事件）若事件a与事件b不能同时发生，则称事件a与事件b互不相容（或互斥），记作。a与b互不相容关系如图1.1.5所示,表示事件a与事件b没有共同的样本点。例如，掷一枚骰子，表示“出现2点”，表示“出现5点”，则a与b为互不相容事件。 图一般地，若事件中任意两个事件都互不相容，则称

7、此n个事件互不相容，可表为类似地，若事件中任意两个事件都互不相容，则称此可数个事件互不相容，可表为（） 对立事件若事件与事件二者必有且仅有一个发生，则称事件与事件为对立事件（或为互逆事件），通常把的对立事件记作，（即 ），也称为的逆事件，例如，掷一枚硬币，用表示“出现国徽面”，而事件表示“出现币值面”，则与为对立事件。如图1.1.6所示。 图1.1.6显然， ，.要特别注意互斥事件与对立事件的区别：事件与事件互为对立事件它们必须满足两个关系式：，；而事件与事件为互斥事件，它们只须满足一个关系式：.这就是说，当事件a与b对立，则事件a与b互不相容，反之不然.事件的运算律.（1） 交换律：；（2）

8、 结合律：；（3） 分配律：；（4） 对偶律：；对偶律也叫做德摩根律。例1.1.1 设a，b，c为三个事件，试用a，b，c表示下列事件：1） a表示而b，c不发生 2）a与b都发生而c不发生；3） a，b，c都发生； 4）a，b，c恰好有一个发生5） a，b，c不多于两个发生 6）a，b，c中至少有一个发生；7）a、b中至少有一个发生而c不发生；8）a，b，c恰好有两个发生。解：1） ； 2）； 3）； 4）5） ； 6）； 7） 8)例1.1.2 抛掷一颗均匀的骰子，观察它出现的点数：1）写出样本空间；2）若求，a-b，ac，解：1）样本空间2) a-b=5, ac=, ab=1,3a=1，

9、3，5，6， =6， 练习：甲、乙、丙三人对靶射击，用a、b、c分别表示“甲击中”、“乙击中”和“丙击中”，试用a、b、c表示下列事件：（1）甲、乙都击中而丙未击中； （2）只有甲击中； （3）靶被击中； （4）三人中最多两人击中； (5) 三人中恰好一人击中；解 （1）事件“甲、乙都击中而丙未击中”表示a、b与同时发生即： （2）事件“只有甲击中”就是a发生而b、c未发生可表示为： （3）事件“靶被击中”意味着或是甲击中或是乙击中或是丙击中，可表示为：； （4）事件“三人中最多两人击中”意即“三人中至少有一人未击中”，可表示为：；（5）事件“三人中恰好有一人击中”意即“三人中只有一人击中其余

10、两人未击中”，可表示为：。四、事件的频率与概率的统计定义1. 频率 定义1.2.1 在相同条件下，重复进行次试验，在这n次重复试验中，事件发生的次数称为事件发生的频数，比值称为事件a在n次重复试验中发生的频率，记为 ，即由频率的定义,容易得出它具有下列性质：(1) 对任何事件，有；(2) (3) 若事件两两互不相容，则 事件的频率这一概念我们平时经常用到，例如：检验产品质量标准之一的“产品的合格率”=；检验某种药物疗效的“治愈率”=；检验射击技术标准之一的“命中率”=等等。人们经过长期的实践发现，当重复试验的次数n增大时，事件出现的频率在0与1之间的某个确定的常数附近摆动，并逐渐稳定于此常数，

11、也就是说事件的频率具有一定的稳定性。例1.2.1 历史上曾有几位数学家作过掷一均匀硬币的试验，结果见表1.2.1.表1.2.1试验者投硬币次数出正面次数频率蒲丰404020480.5069皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005 在上述掷硬币的试验中，当试验次数n很大时，出现正面的频率在这个常数附近摆动。这个确定的常数称为相应事件发生的概率。2. 概率的统计定义定义1.2.2 设随机事件a在n次重复试验中发生的次数为，若当试验次数n很大时，频率稳定地在某个常数p附近摆动，且随着试验次数的增加，其摆动的幅度越来越小，则称该常数p为事件a的概率,记为,即p (a)

12、=p.由于试验次数n增大时，频率fn (a)稳定于概率p(a)，因此当n很大时，常取频率作为概率的近似值：p(a)fn (a) 3、概率的公理化定义概率的统计定义本身存在很大缺陷，况且，在实际问题中，不可能也没有必要对每个事件都要做大量的重复试验，从中得到频率的稳定值。为了理论研究与实际应用的需要，从频率的稳定性和频率的性质得到启发，给出以下概率的公理化定义。定义1.2.3 设随机试验的样本空间为，对于中每一个事件都赋予一个满足以下三条公理的实数： (1)非负性: ；(2)规范性: (3)可列（完全）可加性：对于中任意可列个两两互不相容事件，有 则称实数为事件的概率。4、概率的性质（1）（有限可加性） 对于中任意可列个两两互不相容事件，有 ; （1.2.1）(2) ; （1.2.2） (3) 设为两个事件，则；（4）加法定理 设为两个事件，则（1.2.3）性质（4）可推广至多个事件的情形。例如，设为任意三个随机事件，则有 一般地，对任意n个随机事件，则有 例1.2.2 某人外出旅游两天，根据天气预报，第一天下雨的概率为0.6，第二天下雨的概率为0.3，两天都下雨的概率为0.1，试求：（1） 事件：“第