一元三次方程的解法详细

1、附：方程y+y + G=O(2)求根公式的推导过程:详细一元三次方程 ax3 + bx2 + ex + d =0 的解法先扌巴方程ax +bx2 +cx + = (H匕为x +/x + q = O的形式:x = y-,则原式变成3ab %b yhf(一匸)+b(yy +c(y-) + d = 0 3“3a3a“()3一亠+竺一；) +灯一翌+加+心一上) + =03 t . b2 b3 f ,2b2 b3be 3, b -21/ be、 nQ +(py + ( +冠厂捫 0a 3a)y + (J 祇一耳“ci 27 a 3cC如此一来二次项就不見了，化成y + py + q = O,其中p =

2、 , q =a 3cra对方程y3 + py + q = 0直接利用卡尔丹诺公式:其中 6? = -1 +V3/ O有三个实根，且4 =(纟)？+()3是根的判别式：()时，有一个实根两个虚根；=()时, 23其中至少有两个根相等；AVO时，有三不等实根。不妨设q、g均不为零，4 = w + v (3)代入(2)得，+v3 +(w + vX3wv+ p) + q = O (4)选择 、v,使得3/e+#=0,即uv = -(5)代入(4)得，/+L=-g(6)将(5)式两边立方得，小=上27 联立(6)、(7)两式，得关于ir + V3 = -q 心上，且27(7)L的方程组:于是问题归结于求

3、上述方程组的解,即关于十的一元二次方程用+0 一务=0的两根沪、V3设宀毎, = 1、2 2)PuJ又记的一个立方根为”,则另两个立方根为U2 = COXUX , w3 = co2l(x，其中、为1的两 个立方虚根。以下分三种情形讨论：1)若A0,即D0,则I异均为实数，可求得f =T +、F5 , u5=T-yD o取M= T + 4d , V, =It-7d 9(i,j = 1,2,3)组成的九个数中，有且只有下面三组满足“=-上 v2,也就是满足 zfjV, = m,v3 = h,v2 = It2 - D = - 在y =山+ v即i、v, : u巾；3、于是方程(2)这时方程(2)的形

4、式，这里的根式E 及瘁6 都是在实数意义下的。2)若A = o,即D = 0时，可求得护=沪=了。取血=心=百, 同理，可求得儿=屿+ E= 2VT = _爭刁=迹3+讷=-近=渥片=匕=眄吗+旳乃2方程(2)有三个实根，其中至少有两个相等的实根。的根为乃=均十叫，出二明明十昨叫，出二旳+叫仁有一个实根必，两个共铤虚根此，几，其表达式就是前而给出的“卡丹公式”3)若zlvO,即DV0时，因为q2)0,p0,则u v3均为虚数，求出V,并用三角式表示，就有+八/- Z , P3 =r-M/- D 其中T, E都是实数，护+ (若奇=厂3- 3ptx = arccos（）其中2g .且0gcVji

5、取址二2晋+ fsin号）吃=耳2伽号Fin号） 均）=昭=眾伽 y + Bin普）（cos号+ i sin号）=:伽互严j地互严v2 =吗 = f 去（cos 4兀（Q - i sin 仏；口）% = 1勺珂=一尹 （cos兀；% + i sin的兀扌口）也=旳片=字（匚花驾& 狛血互严 显然，当且仅当取址，叫；农2,吟：吗，匕 这三组时才满足吩T,于是方程（2）得三个实根为1 =冷+乃，丿2=也+卩2 ,匕=+巾， 具体表示出来就为：丹=-n （cos号 + 屈in号）力=_与亘（ms号-希sin号） arm-勿俨其中刘.当D 0时，方程（2）有三个实根。综上所述，实系数一元三次方程h十刃十彳=o的求根公式如下： 令D =（驴+ （学丫 =气“arg书亟；=牛叶牛1）当时，方程有一个实根和两个共純虚根,y2 = 9鼠里十&D十3忍T 一、Q2）当