第2章质点动力学

1、本章内容：本章内容： 2.1 2.1 牛顿运动定律牛顿运动定律 2.2 2.2 力的时间累积效应力的时间累积效应动量定理动量定理 动量守恒定律动量守恒定律 2.32.3力的空间累积效应力的空间累积效应功功 动能动能 动能定理动能定理 2.4 2.4 功能原理功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律 2.1 2.1 牛顿运动定律牛顿运动定律 任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态，直到任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态，直到 其他物体对它作用的力迫使它改变这种状态为止。其他物体对它作用的力迫使它改变这种状态为止。 1.1.牛顿第一定律牛顿第一定律 三个重要概念三个重要概念 v 惯惯 性性 质点

2、不受力时保持静止或匀速直线运动质点不受力时保持静止或匀速直线运动 状态的的性质。状态的的性质。 v 力力 使质点改变运动状态的根本原因。使质点改变运动状态的根本原因。 v 惯性系惯性系 牛顿运动定律适用的参考系。牛顿运动定律适用的参考系。 常矢量时， vF 0 惯性的大小用质量量度。惯性的大小用质量量度。 讨论：讨论： 常矢量时， vF n i i 0 0 n i ix n i i FF 00 00时，但当 常量 x v 即：在该方向上保持即：在该方向上保持 运动状态不变运动状态不变 常量， x n i ix vF0 0 常量， y n i iy vF0 0 常量， z n i iz vF0

3、0 直直 角角 坐坐 标：标： 讨论：讨论： 常矢量时， vF n i i 0 0 不变则时，但当vFF n i it n i i , 00 00 cvvF n i it 常量，即大小， 0 0 方向不变，vF n i in 0 0 自自 然然 坐坐 标：标： 则速度方向不变时，但当, 00 00 n i in n i i FF 2. 2. 牛顿第二定律牛顿第二定律 tt F d d(m d d) vp am dt vd m dt vmd F )( 特殊特殊 牛顿第二定律的加速度形式（条件：牛顿第二定律的加速度形式（条件：m不随不随t变化）变化） 普适形式普适形式 讨论：讨论：1 1、 Fam

4、 一定， m aF 1 一定， 状态越难改变。越大、惯性越大、运动m n FFF 21、 质点受多个力同时作用质点受多个力同时作用 讨论：讨论：3 3、直角坐标系、直角坐标系 kFjFiFF zyx 讨论：讨论：2 2、 m F a m F a m F a n n 2 2 1 1 , n i in aaaaa 1 21 n i in FFFFF 1 21 合 m F a n i i 1 k m F j m F i m F a z y x kajaia zyx 2 2 dt xd m dt dv mmaF x xx 2 2 dt yd m dt dv mmaF y yy 2 2 dt zd m

5、dt dv mmaF z zz 讨论：讨论：4 4、自然坐标、自然坐标 nntt eFeFF nntt eaea 2 2 dt sd m dt dv mmaF tt 2 v mmaF nn n n t t e m F e m F a 讨论：讨论：5 5、 两者之间是瞬时关系两者之间是瞬时关系aF 、 方向相反方向相反，分别作用在两个物体上，即，分别作用在两个物体上，即 两物体之间的作用力两物体之间的作用力 和反作用力和反作用力 ，沿同一直线，大小相等，沿同一直线，大小相等 F F 3.3.牛顿第三定律牛顿第三定律 FF dt vd a jtitv 3 4432 ivt 51 1 时， jti

6、m F a 2 122 例：例：已知一质量为已知一质量为2kg2kg的质点在的质点在xyxy平面上运动，平面上运动， 受外力受外力 作用。作用。t=0st=0s时，它的初速时，它的初速 度为度为 求求t=1st=1s时质点的速度及受时质点的速度及受 到的法向力。到的法向力。 jtiF 2 244 jiv 43 0 vddta 0 3 42vvjti t 当t=1时，速度只有x方向，即 此时x方向即切向方向。则y 方向即为此时的法向方向。 ,244 2 jtiF jiFt 244, 1 jFFt yn 24, 1 2.2 2.2 力的时间累积效应力的时间累积效应动量定理动量定理 动量守恒定律动量

7、守恒定律 1.1.冲量冲量 力对时间的累积力对时间的累积 t p t vm F d d d d pvmtF ddd 1212 tt 2 1 ppvmvmF t t d ttFIdd 21 ,Ftt 作用在质点上恒力 v恒力的冲量恒力的冲量 tFttF 12 I v变力的冲量变力的冲量 dtFI t t 2 1 t 2 2、动量定理、动量定理 12 PPI 冲量为矢量冲量为矢量，方向与动量增量的方向相同方向与动量增量的方向相同。 2 1 d 1 t t i n i tF I 1、若几个力同时作用在某一质点上、若几个力同时作用在某一质点上 dtF n i i t t )( 1 2 1 I 2、冲量

8、与动量的区别：冲量是过程量；动量是状态量。、冲量与动量的区别：冲量是过程量；动量是状态量。 3、冲量的求法：、冲量的求法： a、定义法、定义法 2 1 d t t tF I b、面积法、面积法 t F O 1 t 2 t t 说明说明 c、动量定理、动量定理 12 vmvm I 4、在直角坐标系中分量式、在直角坐标系中分量式 zz t t zz mmtFI 12 2 1 dvv 在力的整个作用时间内，平均力的冲在力的整个作用时间内，平均力的冲 量等于变力的冲量量等于变力的冲量 )(d 12 2 1 ttFtF t t I F F t F O 1 t 2 t t 5、平均力、平均力 12 I t

9、t F yy t t yy mmtFI 12 2 1 dvv xx t t xx mmtFI 12 2 1 dvv 例：例：已知一质量为已知一质量为2kg2kg的质点在的质点在xyxy平面上运动，平面上运动， 受外力受外力 作用。作用。t=0st=0s时，它的初速时，它的初速 度为度为 求求t=1st=1s时质点的速度。时质点的速度。 jtiF 2 244 jiv 43 0 12 vmvm I dtF t t 2 1 Idtjti 2 1 0 244 jti t 3 84 jivvmvm 4322 212 jiv 862 2 iiv 462 2 iv 5 2 内力内力: :质点系内各个质点之间

10、的相互作用力质点系内各个质点之间的相互作用力; 外力外力: :质点系以外的其它物体对其中的任一质点的作用力质点系以外的其它物体对其中的任一质点的作用力 3.3.质点系的动量定理质点系的动量定理 质点系质点系: : 是指由若干个相互作用质点组成的系统是指由若干个相互作用质点组成的系统 1 f 2 f 1 m 2 m 1 F 2 F ”上所有外力的和作用在“1 1 F ”上所有内力的和作用在“1 1 f ”上所有外力的和作用在“2 2 F ”上所有内力的和作用在“2 2 f ”上所有外力的和作用在“iFi ”上所有内力的和作用在“ifi 1011111 mmd)( 2 1 vv tfF t t 2

11、022222 d)( 2 1 vv mmtfF t t 0 d)( 2 1 iiiii t t i mmtfFvv 0 11 d)( 2 1 iiii n i i t t i n i mmtfFvv 对所有质点求和对所有质点求和 0 1111 d)( 2 1 ii n i ii n i i n i t t i n i mmtfFvv 0 111 d( 2 1 ii n i ii n i t t i n i mmtFvv ） 为0 外力的冲 量和 系统的末 动量 系统的初 动量 0 ppI 在一段时间内，作用于系统的合外力的在一段时间内，作用于系统的合外力的 冲量等于系统动量的增量冲量等于系统动

12、量的增量。 对各质点分别列动量定理对各质点分别列动量定理 3.3.动量守恒定律动量守恒定律 这时系统的总动量保持不变，即这时系统的总动量保持不变，即 动量守恒定律：动量守恒定律：当系统所受合外力为零时，系统的当系统所受合外力为零时，系统的 总动量将保持不变总动量将保持不变 讨论讨论:1:1 P PP P0 0 条件：条件： 0 1 i n i F n i iiv mp 1 恒矢量 即即 0 0 pp 0 111 d )( 2 1 ii n i ii n i t t i n i mmtFvv 0 1 i n i F 0 1 ix n i F 0 1 iy n i F 0 1 iz n i F 常

13、量 ixi n i vm 1 常量 iyi n i vm 1 常量 izi n i vm 1 讨论讨论:2:2 0 1 i n i F 0 1 ix n i F但 常量则： ixi n i vm 1 讨论讨论:3:3 在某些物理过程中（打击、锻造、爆炸等），内力远远大在某些物理过程中（打击、锻造、爆炸等），内力远远大 于外力，可忽略外力，应用动量守恒。于外力，可忽略外力，应用动量守恒。 动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一。它动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一。它 不仅适用于宏观物体，而且适用于微观粒子。对于微观领不仅适用于宏观物体，而且适用于微观粒子。对于微观领 域的某

14、些过程，牛顿定律也许不再成立，而动量守恒定律域的某些过程，牛顿定律也许不再成立，而动量守恒定律 仍然成立，从这个意义上说，动量守恒定律比牛顿运动定仍然成立，从这个意义上说，动量守恒定律比牛顿运动定 律更普遍。律更普遍。 说明：说明： 2-3 功、机械能和机械能守恒定律 A B F r d sd ）恒力的功 F a F b cosFsW 矢量式 rFW 作用在沿直线运动质点上的恒力 F ，在力作 用点位移上作的功，等于力和位移的标积。 s rdFdW rdF cos 0 0 /2 dW 0 功是标量，但有正负之分 B A AB rdFW ）变力的功 单位：J ,（eV） 1eV =1.610-1

15、9J r B A zyx zFyFxFWddd zFyFxFrF zyx dddd 3、直角坐标系 kFjFiFF zyx kzj yi xr dddd 2、几个力同时作用 2 1 2 1 2 1 21 r r N r r r r rdFrdFrdFW =各力作功的代数和 2 1 )( 21 r r N rdFFF 合力作功 4、自然坐标系 B A rdFW B A rdF cos B A t dsF 说明： 1、功是过程量，力做功 与不仅与始末位置有关， 还与具体路径有关。 2 1 1 r r n i i rdF 5、面积法( 假设物体沿 x 轴运动，外力在该方 向的分力所做的功可用右图中曲

16、线下 面的面积表示。 O x F a x b x xFW d 6、功率 平均功率平均功率 t W P （瞬时）功率（瞬时）功率 dt dW t W P t lim 0 vF dt rdF (1) 一对与做功的 代数和一定为零吗？ 答：不一定为0 什么条件下, 一对内力做功为零? 作用点无相对位移。 相互作用力与相对位移垂 直。 一质点做平面曲线运动，有一力 作用于质点上，求质点由原点至P(1，1)点 过程中，力沿不同路径所做的功。 jxi xF 2 32 jxixF 2 32 j yi xr ddd rFW d 红 1 0 2 1 0 d3d2yxxx J2 rFW d 蓝 0 0 2 1 0

17、 d3d2yxxx .（1.1） x y O P J4 1 0 2 1 0 d3d2yyxx 1 0 2 1 1 d3d2yxxx3 3001 2021-8-13 1) 重力的功 rGW dd)dd(j yi xjmg ymgd a b a h b h Y O 水平基准面 c ab mghmghW ba mghmgh 2) 弹性力的功 X O x f a b 1 x 2 x 弹性力 ikxf x 弹性力的功为 b a x xkxrFW 2 x 1 dd 2 2 2 1 2 1 2 1 kxkx 2 1 2 2 2 1 2 1 kxkx 2021-8-13 作功与路径无关，只与始末位置有关 保守

18、力 保守力沿任意闭合路径所做的功为零。 0rdf 重力、弹性力、万有引力、静电 力为保守力 3）摩擦力的功 mgF mgdsdsFdW t 为滑动摩擦系数 1 M 2 M mgdsW M M 2 1 mgs 摩擦力为非保守力 0d L rFA 2021-8-13 1. 动能 2 k 2 1 vmE 单位：焦耳(J) 2. 质点的动能定理 合外力对质点所做的功等于 质点动能的增量 1k2k 2 1 2 2 2 1 2 1 EEmmWvv 2 v 1 1 v 2 v F r d b a rFW d 2 1 dS F 2 1 dS d d t m v 2 1 d v v vvm （1）功与动能的本质

19、区别：它 们的单位和量纲相同，但功是 过程量，动能是状态量。功是 能量变化的量度； （2）动能定理由牛顿第二定律 导出，只适用于惯性参考系， 动能也与参考系有关。 2021-8-13 说明：1、势能是相对的，与势能零点的选择有关。 保守力作功与路径无关，只取决于系统的始末位置。 存在由位置决定的能量 EP势能 保守力做的功等于势能增量的负值 PPP EEEW ab ）（ 保 rdFE r P 势点 保 0 某点势能等于保守力从该点作用到势能零点做的功。 2、势能差 PbPaabP EEErdF a 势点 保 0 rdF b 势点 保 0 rdF b a 保 势能差（势能增量）是绝对的，与0势点

20、的选取有关。 势能差等于保守力做的功 2021-8-13 几种势能几种势能 x z y0 ),(zyxp mg 0 z P mgdzE mgzE p 设设 地面为地面为势能零点势能零点， P 点的重力势能点的重力势能 （1）重力势能）重力势能 势能零点为弹簧原长处 0 x p kxdxE O X Mk x 2 2 1 kxE p (2)(2)弹性势能弹性势能 (3)万有引力势能 dr r Mm GE r P )( 2 r 为势能零点 r mGM EP r e r Mm GF 2 ”上所有外力的和作用在“1 1 F ”上所有内力的和作用在“1 1 f ”上所有外力的和作用在“ iFi ”上所有内

21、力的和作用在“ifi 22 vv 101111 2 1 1 m 2 1 m 0 1 d)( rfF 2 i0 2 i vv iiii mmrfF 2 1 2 1 d)( i 2 1 对各质点分别列动能定理 ) 2 1 2 1 (d)( 1 i 2 1 1 2 i0 2 i vv ii n i ii n i mmrfF 对所有质点求和 不一定为0 ？0d i 1 2 1 rfi n i 12KK EEWW 内外 i 1 2 1 drF n i i 系统外力的功 系统内力的功 说明：内力和为零,内力功的和不一定为零。 内力的功能改变系统的动能。 例:炸弹爆炸，内力所做的功转化为弹 片的动能。但总动

22、量不变。 但内力不改变系统的动量。 2021-8-13 1.根据质点系的动能定理根据质点系的动能定理 k EWW 内外 PPP EEEW ab ）（ 保 Pk EEE 机械能机械能 质点系所受外力和非保守内力做质点系所受外力和非保守内力做 功的总和等于质点系机械能的增量。功的总和等于质点系机械能的增量。 -质点系的质点系的功能原理功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律 0 非保内外 当WW 21 EE 系统初、末态机械能相等。系统初、末态机械能相等。 能量守恒定律：能量守恒定律：在孤立系统内，在孤立系统内， 无论发生什么变化过程，各种无论发生什么变化过程，各种 形式的能量可以互相转换，但形式的

23、能量可以互相转换，但 系统的总能量保持不变。系统的总能量保持不变。 2211Pkpk EEEE k EWWW 非保内保内外 EEEWW p k非保内外 0E 例2.5用劲度系数为k的弹簧，悬挂一质量为m的物体，若使 此物体在平衡位置以初速v突然向下运动，问物体可降低到 何处？ 则物体开始向下运动的一瞬间，机械能为 2 vmkxE 2 1 2 1 2 01 设物体刚好又下降x距离的一瞬间速度为零(不再下降)，则该瞬时机械能为 mgxxxkE 2 02 )( 2 1 物体运动过程中，只有保守力作功，故系统的机械能守恒： mgxxxkmkx 2 0 2 0 2 1 2 1 2 1 )(v 2 kmxv 代入上式，可解得： 解：取物体在平衡位置时，重力势能 ， 0 P E 设平衡时弹簧的伸长量为 ，0 x 把 0 kxmg 例2.6 如下图所示，一雪橇从高度为50m的山顶上点 A 沿冰道由静止下滑， 山顶到山下的坡道长为500m。雪橇滑至山下点 B又沿水平冰道继续滑行， 滑行若干米后停止在 C处。若雪橇与冰道的摩擦因数为0.050。求此雪橇 沿水平冰道滑行的路程。点 B附近可视为连续弯曲的滑道。 解: 摩擦力所作的功为 )()( k1P1k2P221 EEEEWWW mghWW 21 B A