第16章压杆稳定

1、 (a)(b) 拉压杆的强度条件为拉压杆的强度条件为： = FN A 1 1 压杆的稳定概念压杆的稳定概念 (a): 木杆的横截面为矩形（12cm), 高为3cm，当荷载重量为6kN 时杆还不致破坏。 (b): 木木杆的横截面与杆的横截面与(a)相同，高为相同，高为 1.4m(细长压杆）细长压杆），当压力为当压力为 0.1KN时杆被压弯，导致破坏。时杆被压弯，导致破坏。 (a)和和(b)竟相差竟相差60倍，为什么？倍，为什么？ 细长压杆的破坏形式：突然产生显著的弯 曲变形而使结构丧失工件能力，并非因强度不 够，而是由于压杆不能保持原有直线平衡状态 所致。这种现象称为失稳。 1907年加拿大圣劳

2、伦斯河上的魁北克桥年加拿大圣劳伦斯河上的魁北克桥 （倒塌前正在进行悬臂法架设中跨施工）（倒塌前正在进行悬臂法架设中跨施工） 1925年苏联莫兹尔年苏联莫兹尔 桥在试车时因桥梁桥在试车时因桥梁 桁架压杆失稳导致破桁架压杆失稳导致破 坏时的情景。坏时的情景。 这是这是1966年我国广东鹤地水库弧门由于大风导致年我国广东鹤地水库弧门由于大风导致 支臂柱失稳的实例。支臂柱失稳的实例。 1983年年10月月4日，高日，高 54.2m、长、长17.25m、总重总重 565.4KN大型脚手架局部大型脚手架局部 失稳坍塌，失稳坍塌，5人死亡、人死亡、7人人 受伤受伤 。 失失 稳稳 不稳定的平衡物体在任意微小

3、的外界干扰下不稳定的平衡物体在任意微小的外界干扰下 的变化或破坏过程。的变化或破坏过程。 稳定性稳定性 平衡物体在其原来平衡状态下抵抗干扰的能力。平衡物体在其原来平衡状态下抵抗干扰的能力。 稳定平衡稳定平衡 随遇平衡随遇平衡 不稳定平衡不稳定平衡 （ 临界状态临界状态 ） 小球平衡的三种状态小球平衡的三种状态 稳定平衡稳定平衡 随遇平衡随遇平衡 不稳定平衡不稳定平衡 （ 临界状态临界状态 ） 受压直杆平衡的三种形式受压直杆平衡的三种形式 电子式万能试电子式万能试 验机上的压杆稳定验机上的压杆稳定 实验实验 工程项目的工程项目的 压杆稳定试验压杆稳定试验 2 2 细长压杆临界压力的欧拉公式细长压

4、杆临界压力的欧拉公式 一、两端铰支细长压杆的临界载荷一、两端铰支细长压杆的临界载荷 当达到临界压力时，压杆处于微弯状态下的平衡 Fcr FN y y 考察微弯状态下局部压杆的平衡考察微弯状态下局部压杆的平衡: : M (x) = Fcr y (x) M (x) = EI d x2 d2y 0 2 2 2 yk dx yd EI F k cr 2 令令 二阶常系数线性奇次微分方程 Fcr FN y y 微分方程的解微分方程的解: :y =Asinkx + Bcoskx 边界条件边界条件: : y ( 0 ) = 0 , y ( l ) = 0 （二阶常系数线性齐次微分方程）（二阶常系数线性齐次微

5、分方程） )( 2 EI F k cr 0 2 2 2 yk dx yd 0 A + 1 B = 0 sinkl A +coskl B=0 B = 0 sinkl A =0 若 A = 0，则与压杆处于微弯状态的假设不符 因此可得： Fcr FN y y sinkl = 0 可可得得由由 EI F k cr 2 B = 0 sinkl A =0 y =Asinkx + Bcoskx 2 22 l EIn Fcr nkl （n = 0、1、2、3） Fcr FN y y 临界载荷临界载荷: : 屈曲位移函数屈曲位移函数 : : 最小临界载荷最小临界载荷: : 两端铰支细长压杆的临界载荷 的欧拉公

6、式 2 22 l EIn Fcr l xn Axy sin)( 2 min 2 l EI F cr 临界力 F c r 是微弯下的最小压力， 故取 n = 1。且杆将绕惯性矩最小的 轴弯曲。 = 0 . 1 KN (b) 2 min 2 l EI F cr (a) F j x = A b = 6 KN 二、支承对二、支承对压杆临界载荷的影响压杆临界载荷的影响 临界载荷欧拉公式的一般形式临界载荷欧拉公式的一般形式: : 一端自由，一端固定一端自由，一端固定 : : 2.0 一端铰支，一端固定一端铰支，一端固定 : : 0.7 两端固定两端固定 : : 0.5 两端铰支两端铰支 : : 1.0 2

7、 2 )( l EI F cr 中的 Imin 如何确定 ？ 2 min 2 )( l EI Fcr 定性定性确定确定 Imin 例：图示细长圆截面连杆，长度，直径,材 料为Q235钢，E200GPa.试计算连杆的临界载荷 Fcr . 解：1、细长压杆的临界载荷 MPa s 2352、从强度分析 ss AF mml800 )(8 .73kN 64 4 2 2 d l E 6 2 10235 4 02. 0 2 2 cr F l EI 648.0 02.010200 2 493 )(2.24kN z y mmd20 cr F B A l 一、临界应力与柔度一、临界应力与柔度 A Fcr cr 临

8、界应力的欧拉公式 i l 压杆的柔度（长细比）压杆的柔度（长细比） A I i 惯性半径惯性半径 cr 压杆容易失稳压杆容易失稳 , 2 zz iAI . 2 yy iAI Al EI 2 2 )( 2 2 2 )( i l E 2 2 )( i l E 2 2 E 3 3 欧拉公式的使用范围欧拉公式的使用范围 临界应力总图临界应力总图 柔度是影响压杆承载能力的综合指标。柔度是影响压杆承载能力的综合指标。 , p p E 2 p p E 2 （细长压杆临界柔度） 例：Q235钢钢， 二、欧拉公式的适用范围二、欧拉公式的适用范围 pcr . 2 2 pcr E .200,200MPaGPaE p

9、 p p E 2 200 10200 32 10035.99 欧拉公式的适用范围: ，称大柔度杆（细长压杆 ） p 1 1、大柔度杆（细长压杆）采用欧拉公式计算。、大柔度杆（细长压杆）采用欧拉公式计算。 2 2 )( l EI Fcr 2 2 E cr )( pp 2 2：中柔度杆（中长压杆）采用经验公式计算。：中柔度杆（中长压杆）采用经验公式计算。 ba cr 直线型经验公式直线型经验公式 b a s s )( spps 临界压力：临界压力：临界压应力：临界压应力： 材料a(MPa) b(MPa) 硅钢5773.7410060 铬钼钢9805.29550 硬铝3722.14500 铸铁331

10、.91.453 松木39.20.19959 ba, 是与材料性 能有关的常数。 p s 直线公式适合合 金钢、铝合金、铸 铁与松木等中柔度 压杆。 ba cr 3 3：小柔度杆（短粗压杆）只需进行强度计算。：小柔度杆（短粗压杆）只需进行强度计算。 scr A FN )( ss 三、临界应力总图三、临界应力总图：临界应力与柔度之间的变化关系图。 s P S P 2 2 E cr 细长压杆。细长压杆。 i l cr o 直线型经验公式 中柔度杆 粗短杆 大柔度杆 细长杆细长杆发生弹性屈曲发生弹性屈曲 (p) 中长杆中长杆发生弹塑性屈曲发生弹塑性屈曲 (s p) 粗短粗短杆杆不发生屈曲，而发生屈服不

11、发生屈曲，而发生屈服 ( s) 2 11 ba cr 中柔度杆中柔度杆抛物线型经验公式抛物线型经验公式 11,b a是与材料性能有关的常数。是与材料性能有关的常数。 抛物线公式适合于结构钢与低合金钢等制做的 中柔度压杆。 四、注意问题四、注意问题： 1、计算临界力、临界应力时，先计算柔度，判断所用公式。 2、对局部面积有削弱的压杆，计算临界力、临界应力时， 其截面面积和惯性距按未削弱的尺寸计算。但进行强度 计算时需按削弱后的尺寸计算。 例：一压杆长L=1.5m，由两根 56566 等边角钢组成，两端铰 支，压力 F=150kN，角钢为Q235钢，试用欧拉公式或经验公 式求临界压力和安全系数（c

12、r = 304 - 1.12 ）。 4 1 2 1 63.23 ,367.8cmIcmA y 48.92 zy II 解：查表：一个角钢： 两根角钢图示组合之后 4 1min 26.4763.2322cmIII yy cm A I i68. 1 367. 82 26.47 min 68.1 150 max i l 100 p 3 .89 所以，应由经验公式求所以，应由经验公式求临界压力。临界压力。 )(4 .31420410367. 82 2 kNAF crcr 1 . 2 150 4 .314 F F n cr 安全系数安全系数 cr=304-1.12=304-1.1289.3 =204（M

13、Pa） 临界压力临界压力 1 1、安全系数法、安全系数法: : 一、稳定条件一、稳定条件 . cr st cr F n F F . cr st cr n st n稳定安全系数；稳定安全系数； st F稳定许用压力。稳定许用压力。 cr 稳定许用压应力。稳定许用压应力。 2 2、折减系数法、折减系数法: : .)( cr A F .)( cr 许用应力；许用应力；1)( 折减系数，与压杆的柔度和折减系数，与压杆的柔度和 材料有关。材料有关。 4 4 压杆的稳定计算压杆的稳定计算 二、稳定计算二、稳定计算 1 1、校核稳定性；、校核稳定性；2 2、设计截面尺寸；、设计截面尺寸；3 3、确定外荷载。

14、、确定外荷载。 三、注意：强度的许用应力和稳定的许用应力的区别三、注意：强度的许用应力和稳定的许用应力的区别 强度的许用应力只与材料有关；稳定的许用应力不仅强度的许用应力只与材料有关；稳定的许用应力不仅 与材料有关，还与压杆的支承、截面尺寸、截面形状有关。与材料有关，还与压杆的支承、截面尺寸、截面形状有关。 例例：图示起重机，图示起重机， AB 杆为圆松木，长杆为圆松木，长 L= 6m， =11MPa，直，直 径为：径为： d = 0.3m，试试求此杆的许用压力。（求此杆的许用压力。（xy 面两端视为铰支；面两端视为铰支； xz 面一端视为固定，一端视为自由）面一端视为固定，一端视为自由） 8

15、0 3 . 0 461 i L z 解：解：折减系数法折减系数法 1、最大柔度 x y 面内面内， z = 1.0 F1 B F2 x y z o z y 面内面内， y = 2.0 max 160 3 . 0 462 i L y 2 3000,80:时木杆 x y cr )(91287. 1 4 3002 kNAF crBCBC 2、求折减系数 3、求许用压力 711 . 0,160时时查查表表：木木杆杆 )(287.1MPa cr max 160 3 . 0 462 i L y ,52. 1,74.12 0 2 1 cmzcmA 1 2 zz II )2/( 2 2 01 1 azAII

16、yy )2/52. 1 (74.126 .252 2 a 2 )2/52. 1 (74.126 .253 .198 :a即 例：例：图示立柱，图示立柱，L=6m，由两根，由两根10号槽型号槽型A3钢组成，下端固定，上钢组成，下端固定，上 端为球铰支座，试问端为球铰支座，试问 a=？时，立柱的？时，立柱的临界压力最大值为多少？临界压力最大值为多少？ 解：解：1 1、对于单个、对于单个1010号槽钢，形心在号槽钢，形心在C C1 1点。点。 两根槽钢图示组合之后两根槽钢图示组合之后: : a=4.32cm （z1） .6 .25,3 .198 44 11 cmIcmI yz 4 6 .3963 .

17、1982cm yz II 当当时最为合理：时最为合理： i L 2 2 )( l EI Fcr 2 2、求临界力、求临界力： 大柔度杆，由欧拉公式求临界力大柔度杆，由欧拉公式求临界力。 1 2 67 . 0 A Iz 4 8 1074.122 106 .396 67 . 0 p 5 .106 )(8 .443 )67 .00( 106 .396200 2 2 kN . )(8 .443kNFcr 例：例：一等直压杆长一等直压杆长 L=3.4 m，A=14.72 cmA=14.72 cm2 2，I=79.95 cmI=79.95 cm4 4， E E =210 GPa =210 GPa，F F

18、=60 kN=60 kN，材料为，材料为A A3 3钢，两端为铰支座。钢，两端为铰支座。 试进行稳定校核。试进行稳定校核。 1 1、nst= 2= 2； 2 2、=140 MPa 解：解：1、安全系数法、安全系数法： i l )(3 .1431073.14 9 .145 10210 )( 2 32 2 2 2 2 kNA E L EI Fcr w cr st n F F 73.14 94.79 1004 . 31 1009 .145 p )(7 .71 2 1 .143 kNkNF60 2、折减系数法、折减系数法 9 .145 73.14 94.79 1004 . 31 i l 查表查表 =1

19、40，=0.349；=150，=0.306。 33. 09 . 5 10 306. 0349. 0 349. 09 .145 )(2 .4614033. 0 )(7 .40 1073.14 1060 2 3 MPa MPa A F 图示支架，图示支架，斜杆斜杆BC为圆截面杆，直径为圆截面杆，直径d = 45mm、长度、长度l =1.25m，材料为优质碳钢，材料为优质碳钢， 比例极限比例极限=200MPa，弹性模量，弹性模量E=200GPa。 若若nst= 4，试按，试按BC杆的稳定性杆的稳定性确定支架的确定支架的 许可载荷许可载荷。 B FFBC 2 2 , 045sin 0 0 FF F B BC y 取节点 杆取CD 399 106 200 109 200 143. E