概率论与数理统计讲义

1、第一章随机事件和概率第一节基本概念1、排列组合初步(1) 排列组合公式P：=从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。(in - n)c；：r =川，从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。1 I 7例】.b方程矿亍両的解是A. 4 B. 3 C. 2 D. 1例1. 2：有5个队伍参加了甲A联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少?(2) 加法原理(两种方法均能完成此事)：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由 n种方法來完成，则这件事可由m+n种方法來完成。(3) 乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事)：mXn某件事由两个步骤來完成，第一个步骤可由m种

2、方法完成，第二个步骤可由 n种方法來完成，则这件事可由mXn种方法来完成。例1. 3:从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与 会成员中既有男同学乂有女同学，有几种不同的选法？例1. 4： 6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间 而坐，则不同的分法数为多少？例15：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜ABDC色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法A. 120 种 B. 140 种 C. 160 种D. 180 种(4) 一些常见排列 特殊排列 相邻 彼此隔开 顺序一定和不可分辨例1. 6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈

3、节目，问：分别 按以下要求各可排出几种不同的节目单？ 3个舞蹈节目排在一起； 3个舞蹈节目彼此隔开； 3个舞蹈节目先后顺序一定。例1. 7： 4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？例18： 5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不 可分辨，问有多少种排法？ 重复排列和非重复排列(有序)例1. 9： 5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ 对立事件例1. 10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？例1. 11： 15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？例1. 12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问

4、有 多少种可能性？顺序问题例1. 13： 3白球，2黑球,先后取2球，放回，2白的种数?（有序）例1. 14： 3白球，2黑球,先后取2球，不放回，2白的种数?（有序）例1. 15： 3白球，2黑球,任取2球，2白的种数？（无序）2、随机试验、随机事件及其运算（1）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一 个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试 验。试验的可能结果称为随机事件。例如：掷一枚硬币，出现正面及出现反面；掷一颗骰子，出现“1”点、“5” 点和出现偶数点都是随机事件；电话接线员在上午9时到10时接到的电话呼唤 次

5、数（泊松分布）；对某一目标发射一发炮弹，弹着点到目标的距离为0.1米、 0. 5米及1米到3米之间都是随机事件（正态分布）。在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具 有如下性质：（1）每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；（2）任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用血來表示，例如（离散）。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用G表示。一个事件就是由G中的部分点（基本事件血）组成的集合。通常用大写字母 A, B, C,表示事件，它们是G的子集。如果某个血是事件力的组成部分，即这个0在事件力中出现，记为 如果在

6、一次试验中所出现的血有血w A,则称在这次试验中事件A发生。如果Q不是事件力的组成部分，就记为淀4。在一次试验中，所出现的Q有 力自，则称此次试验力没有发生。Q为必然事件，0为不可能事件。(2) 事件的关系与运算 关系：如果事件A的组成部分也是事件方的组成部分，(力发生必有事件方发生)：AuB如果同时有AuB, BnA,则称事件/与事件万等价，或称力等于万:A=B.A.方中至少有一个发生的事件：MU方，或者卅氏属于力而不属于方的部分所构成的事件，称为力与万的差，记为力吵，也可 表示为力勺万或者ABf它表示/发生而方不发生的事件。A.方同时发生：前3,或者個AAB=0,则表示A与B不可能同时发生

7、， 称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。O-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为入。它表示A不发生 的事件。互斥未必对立。 运算：结合率：A(BC) = (AB)C AU (BUC) = (AUB) UC分配率：(AB) UC= (AUC) A (BUC) (AUB) AC= (AC) U (BC)Qa, = (Ja _ _ _ _徳摩根率：e AJB = AHB, AB = AJB例1. 16： 一口袋中装有五只乒乓球，其中三只是白色的，两只是红色的。 现从袋中取球两次，每次一只，取出后不再放回。写出该试验的样本空间若 A表示取到的两只球是白色的事件，E表示取到的

8、两只球是红色的事件，试用 A、B表示下列事件：(1) 两只球是颜色相同的事件C,(2) 两只球是颜色不同的事件D,(3) 两只球中至少有一只白球的事件E。例1. 17：硬币有正反两面，连续抛三次，若A：表示第i次正面朝上，用A：表示下列事件:(1) 前两次正面朝上，第三次正面朝下的事件C,(2) 至少有一次正面朝上的事件D,(3) 前两次正面朝上的事件3、概率的定义和性质(1) 概率的公理化定义设O为样本空间，4为事件，对每一个事件4都有一个实数P(A),若满足 下列三个条件：1 OWP(A)W1,2 P(Q) =13对于两两互不相容的事件人，有 1=1 ) /=!常称为可列(完全)可加性。则

9、称P(A)为事件4的概率。(2)古典概型(等可能概型)r g =2 P() = P) = () =丄。n设任一事件力，它是由”组成的，则有尸二() U ) U U (%) = pg) +) + + pg”)_m_力所包含的基本事件数=7基本事件总数例1. 18：集合A中有100个数，B中有50个数，并且满足A中元素与B 中元素关系a+b二10的有20对。问任意分别从A和B中各抽取一个，抽到满足 a+b二10的a, b的概率。例1. 19： 5双不同颜色的袜子，从中任取两只，是一对的概率为多少？例1. 20：在共有10个座位的小会议室内随机地坐上6名与会者，则指定的4个座位被坐满的概率是A.丄1

10、421：例1.白球,B.132黑球,C.丄D. 丄12 11先后取2球，放回，2白的概率？(有序)例1.22：白球,2黑球,先后取2球，不放回，2白的概率？(有序)例1.23：白球,2黑球,任取2球，2白的概率？(无序)注意：事件的分解；放回与不放回；顺序问题。4、五大公式(加法、减法、乘法、全概、贝叶斯)(1) 加法公式P (A+B)二 P (A)+P (B) -P (AB)当 P(AB) = 0 时，P(A+B)二P(A)+P(B)例1. 24：从0, 1,，9这十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下 列事件的概率：A= “三个数字中不含0或者不含5”。(2) 减法公式P (A-B)二

11、P (A) -P (AB)当 BuA 时,P(A-B) =P(A)-P(B)当 A二Q 时，P(B)=1- P(B)例.25：若 P(A) =0. 5, P(B) =0. 4, P(A-B) =0. 3,求 P(A+B)和 P(入+ 歹).例1. 26：对于任意两个互不相容的事件A与B,以下等式中只有一个不正 确，它是：(A) P(A-B) =P(A) (B) P(A-B) =P(A) +P(A U B)-l(C) P(A-B)= P(A)-P(B) (D)P(AUB) n (A-B)=P(A) (E)pA-B=P(A) -P(A U -7-例1. 29：播种小麦时所用的种子中二等种子占2%,

12、三等种子占1.5%, 四等种子占1%,其他为一等种子。用一等、二等、三等、四等种子播种长出的 穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5, 0. 15, 0. 1, 0. 05,试求种子所结的穗含 有50颗以上麦粒的概率。例1. 30：甲盒内有红球4只，黑球2只，白球2只；乙盒内有红球5只， 黑球3只；丙盒内有黑球2只，白球2只。从这三只盒子的任意一只中任取出一 只球，它是红球的概率是：A. 0.5625 B. 0. 5 C. 0.45D. 0.375 E 0.225例1. 31： 100个球，40个白球，60个红球，不放回先后取2次，第2次取 出白球的概率？第20次取出白球的概率？(5)贝叶斯公式

13、设事件b, B一,氏及4满足15, B-，乩两两互不相容，P(Bi)o, i = i, 2,，2。Au，, p(A) o,则P0 / A) =,匚二,2,.认土 P(Bj)P(AfBj)j=L此公式即为贝叶斯公式。P(BJ, (/ = 1, 2,，),通常叫先验概率。(/ = 1, 2,“)，通常称为后验概率。如果我们把4当作观察的“结果”，而B-,B“ 理解为原因”，则贝叶斯公式反映了 “因果”的概率规律，并作出了 “由果朔 因”的推断。例1. 32：假定用甲胎蛋白法诊断肝癌。设C表示被检验者的确患有肝癌的 事件，4表示诊断出被检验者患有肝癌的事件，己知P(A/C) = 0.95,-S -P

14、(A/C) = 0.98, P(C) = 0.004。现有一人被检验法诊断为患有肝癌，求此人的确 患有肝癌的概率P(C|A)。5、事件的独立性和伯努利试验(1) 两个事件的独立性设事件4、B满足P(AB) = P(A)P(3),则称事件4、B是相互独立的(这 个性质不是想当然成立的)。若事件力、B相互独立，且P(4)0,则有P(A)P(B)P(4)= P(B)所以这与我们所理解的独立性是一致的。若事件4、B相互独立，则可得到入与、4与了、只与厅也都相互独立。(证明)由定义，我们可知必然事件口和不可能事件0与任何事件都相互独立。(证 明)同时，0与任何事件都互斥。(2) 多个事件的独立性设ABC

15、是三个事件，如果满足两两独立的条件，P (AB)二P (A) P(B)； P (BC) =P (B) P(C)； P (CA) =P (C) P (A)并且同时满足P (ABC) =P (A) P (B) P (0那么A、B、C相互独立。对于n个事件类似。两两互斥一互相互斥。两两独立一互相独立？例1. 33：己知P(B/A) = P(B/A)，证明事件4、B相互独立。例1. 34： A, B, C相互独立的充分条件：-9 -(1) 4, B, C两两独立(2) 4与疗C独立例1. 35：甲，乙两个射手彼此独立地射击同一目标各一次，甲射中的概率 为0.9,乙射中的概率为0.8,求目标没有被射中的

16、概率。(3)伯努利试验定义我们作了次试验，且满足每次试验只有两种可能结果，4发生或人不发生；川次试验是重复进行的，即4发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验4发生与否是 互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为重伯努利试验。用卩表示每次试验a发生的概率，则入发生的概率为p=q,用几(灯表示“重伯努利试验中A出现kgkG)次的概率，几伙)=dyq： k=o2,川。例1. 36：袋中装有a个白球及B个黑球，从袋中任取a+b次球，每次放回, 试求其中含a个白球，b个黑球的概率(aWa, bWB)。例1. 37：做一系列独立试验，每次试验成功的概率为p,求在第n次成

17、功之前恰失败m次的概率。第二节练习题1、事件的运算和概率的性质例 I. 38：化简(A+B) (A+耳)(刁+B)例1. 39： ABC二AB(CUB)成立的充分条件为：(l)ABcC (2)BuC例 1. 40：己知 P(A)=x, P(B)=2x, P(C)=3x, P(AB) =P(BC),求 x 的最大值。例1. 41：当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则下列结论正确的是(A)P (C) =P (AB)o(B)P (C) =P (AUB)o(C)P (C) 2P (A) +P (B) -1(D)P (C) WP (A) +P (B) -lo2、古典概型例1. 42： 3男生，3女生

18、，从中挑出4个，问男女相等的概率？例1. 43：电话号码由四个数字组成，每个数字可以是0,1,2,9中的任一 个数，求电话号码是由完全不同的数字组成的概率。例144：袋中有6只红球、4只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到 一只红球得2分，取到一只黑球得1分，则得分不大于6分的概率是a 23“4小 25“13A. BC. D. 4274221例1. 45： 10个盒子，每个装着标号为“1 6”的卡片。每个盒子任取一张, 问10张中最大数是4的概率？例1. 46：将n个人等可能地分到N (nWN)间房间中去，试求下列事件的 概率。-11 -A= “某指定的n间房中各有1人”；B= “恰有n间房中

19、各有1人”C= “某指定的房中恰有m (mWn)人”例1. 47：有5个白色珠子和4个黑色珠子，从中任取3个，问全是白色的 概率？3、条件概率和乘法公式例.48：假设事件A和B满足P (B | A) =1,则(A) A是必然事件。(B)(C) AuB。(D) P(AB) = 0 o 1例149：设A, B为两个互斥事件，且P (A) 0, P(B) 0,则结论正确的(A)P (B |A) 0o(B)P(A |B)=P (A)o(C)P(A |B)=0a(D)P(AB)=P(A) P (B)o例1. 50：某种动物由出生而活到20岁的概率为0.7,活到25岁的概率为 0. 56,求现龄为20岁的

20、这种动物活到25岁的概率。例1. 51：某人忘记三位号码锁(每位均有09十个数码)的最后一个数 码，因此在正确拨出前两个数码后，只能随机地试拨最后一个数码，每拨一次算 作一次试开，则他在第4次试开时才将锁打开的概率是A. -B. -C. -D.46510例1. 52：在空战训练中，甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为0.2；若 乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率是0.3；若甲机未被击落，则再进 攻乙机，击落乙机的概率是0.4,求在这几个回合中：甲机被击落的概率； 乙机被击落的概率。例1. 53：为防止意外事故，在矿井内同时安装两种报警系统A与B,每种 系统单独使用时，其有效率A为0.92,

21、 B为0. 93,在A失灵条件下B有效概率 为0.85。求：(1)这两种警报系统至少有一个有效的概率；(2)在B失灵条件 下，A有效的概率。4、全概和贝叶斯公式例1. 54：甲文具盒内有2支蓝色笔和3支黑色笔，乙文具盒内也有2支蓝 色笔和3支黑色笔.现从甲文具盒中任取2支笔放入乙文具盒，然后再从乙文具 盒中任取2支笔.求最后取出的2支笔都是黑色笔的概率。例1. 55：三个箱子中，第一箱装有4个黑球1个白球，每二箱装有3个黑 球3个白球，第三箱装有3个黑球5个白球。现先任取一箱，再从该箱中任取一 球，问：(1)取出的球是白球的概率？ (2)若取出的为白球，则该球属于第二 箱的概率？例1. 56：

22、袋中有4个白球、6个红球，先从中任取出4个，然后再从剩下 的6个球中任取一个，则它恰为白球的概率是o5、独立性和伯努利概型例.57：设 P(A)0,P(B)0,证明(1) 若A与B相互独立，则A与B不互斥；(2) 若A与B互斥，则A与B不独立。例1. 58：设两个随机事件A, B相互独立，己知仅有A发生的概率为丄，4 仅有B发生的概率为丄，则P (A) =, P (B) =o4例.59：若两事件A和B相互独立，且满足P(AB)=P(A B), P(A)二0.4, 求 P(B).例1. 60：设两两相互独立的三事件儿方和C满足条件；AB,尸(/)1 9二P (B)二尸(C) =i(2) 口o例2

23、. 1：投骰子，出现偶数的概率？例2. 2： 4黑球，2白球，每次取一个，不放回，直到取到黑为止，令Xg) 为“取白球的数”，求X的分布律。例2. 3：若干个容器，每个标号1 3,取出某号容器的概率与该号码成反 比，令X(3)表示取出的号码，求X的分布律。(2)分布函数对于非离散型随机变量，通常有P(X=x) = 0,不可能用分布率表达。例如 日光灯管的寿命X, P(X=xo) = 0.所以我们考虑用X落在某个区间(Q,b内的 概率表示。17定义 设X为随机变量，x是任意实数，则函数F(x) = P(X x)称为随机变量X的分布函数。P(aX b) = F(b)-F(a)可以得到X落入区间(a

24、,b的概率。也就是说， 分布函数完整地描述了随机变量X随机取值的统计规律性。分布函数F(x)是一个普通的函数，它表示随机变量落入区间(-8, x内 的概率。F(x)的图形是阶梯图形，,耳,是第一类间断点，随机变量X在心处的 概率就是F(x)在心处的跃度。分布函数具有如下性质：10 F(x) 1, 一 svxv+s；2 F(x)是单调不减的函数，即ATKX2时，有F(X1) F(X2)；3 F(-co) = Inn F(x) = 0,F(+8)= Inn F(x) = 1 ；4F(x+0) = F(x),即 F(x)是右连续的；5 P(X = x) = F(x) 一 F(x 一 0) o例2.

25、4：设离散随机变量X的分布列为X -1,0丄 2T 1 1 1 19 9 98 8 4 2I33求 X 的分布函数，并求 P(X -) , P(1X -), P(1X -)o例2. 5：设随机变量X的分布函数为x0x0AxF(Q = T+x0其中4是一个常数，求(1) 常数4(2) P (1WXW2)(3) 连续型随机变量的密度函数定义 设尸(切是随机变量X的分布函数，若存在非负函数对任意实 数兀，有则称x为连续型随机变量。称为x的概率密度函数或密度函数，简称 概率密度。/(Q的图形是一条曲线，称为密度(分布)曲线。由上式可知，连续型随机变量的分布函数尸(0是连续函数。所以，Pg X x2)

26、= Pg X x2) = Pg X x2) = Pg X Oo匸/(x)dx = l尸(S = x f(x)dx=l的儿何意义；在横轴上面、密度曲线下面的全部面积等于lo如果一个函数/(X)满足1。、2。，则它一定是某个随机变量的密度函数。3 Pg X x2) = F(xJ - 尸(兀)=J /(x)dx o4。若/(X)在x处连续，则有F(x) = /(x)。P(x X x + dx) f(x)dx它在连续型随机变量理论中所起的作用与P(x = m = pk在离散型随机变量 理论中所起的作用相类似。t P(A),(古典概型，五大公式，独立性)X(q) t X(co) x F(x) = P(X

27、 x)对于连续型随机变量X,虽然有P(X = x) = ,但事件(X=x)并非是不可 能事件0oa+/iP(X = x) P(x X Of故得P(X=x) = Oo不可能事件(0)的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件(Q)的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。例2. 6：随机变量X的概率密度为f(x),求a和0,其他F(x)。例2. 7：随机变量X的概率密度为1、 xe 2 xaO0x0求X的分布函数F(x)和P(2 X 4)2、常见分布 01分布P(X=l)=p, P (X=0) =q例如树叶落在地面的试验，结果只能出现正面或反面。 二项分布在重贝努里试验

28、中，设事件4发生的概率为事件A发生的次数是随机 变量，设为X,则X可能取值为0丄2,/。p(x =灯=P伙)=C： pkq”7，其中 q = p、Op0, R = O丄2，k则称随机变量X服从参数为兄的泊松分布，记为X;rS)或者P(z)o泊松分布为二项分布的极限分布(np= X , n-* )o如飞机被击中的子弹数、來到公共汽车站的乘客数、机床发生故障的次数、 自动控制系统中元件损坏的个数、某商店中來到的顾客人数等，均近似地服从泊 松分布。例2. 9：某人进行射击，设每次射击的命中率为0. 001,若独立地射击5000 次，试求射中的次数不少于两次的概率，用泊松分布來近似计算。 超几何分布P

29、(X = k) = = 0丄2丿7 = mui(A/,7?)随机变量X服从参数为n, N, M的超儿何分布。例2. 10：袋中装有a个白球及B个黑球，从袋中任取a+b个球，试求其中厂（I厂U含a个白球，b个黑球的概率（aa , bWB）。亠 （非重复排列）例2. 11：袋中装有a个白球及B个黑球，从袋中连续地取a+b个球（不放回），试求其中含a个白球，b个黑球的概率（aWa, bW B ）。“ 丁 （非 重复排列）例2. 12：袋中装有a个白球及B个黑球，从袋中连续地取a+b个球（放回）, 试求其中含a个白球，b个黑球的概率（aWa, bW B ）。（二（丄匕二）叱二（重复排列） 几何分布Pl

30、X=k） = qip,k = ,23,其中 pMO, Q=l-po随机变量X服从参数为p的儿何分布。例2. 13： 5把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开不扔掉，问以下事 件的概率？第一次打开；第二次打开；第三次打开。 均匀分布设随机变量X的值只落在a, b内，其密度函数/（切在a, b上为常数k,其他,-23 -其中2 b-a-27 -则称随机变量X在a, b上服从均匀分布，记为X、U(a, b)o分布函数为r o，x-ab-axbo当aX109/w=x o,则称随机变量X服从参数为久的指数分仏X的分布函数为0.x0x0o记住几个积分：+3C4cKCj xexdx = 1,j x2exdx

31、 =2,j xedx =(/z-1)!000+xr(a) = j xalexdx ,r(tz + 1) =迹(a)0例2. 15： 一个电子元件的寿命是一个随机变量X。它的分布函数F（Q的 含义是，该电子元件的寿命不超过的概率。通常我们都假定电子元件的寿命服 从指数分布。试证明服从指数分布的随机变量具有“无记忆性”： P（Xo X Xo） = P（X o为常数，则称随机变量X服从参数为、b的正态分布或高 斯（Gauss）分布，记为X2（“,钦）。/（X）具有如下性质：1/（切的图形是关于i对称的;2当 x = P 时，/(“)=（为最大值;J2兀b3/以ox轴为渐近线。特别当”固定、改变时，/

32、（X）的图形形状不变，只是集体沿血轴平行移 动，所以乂称为位置参数。当固定、改变”时，/（力的图形形状要发生变化，随b变大，（X）图形的形状变得平坦，所以乂称7为形状参数。若XNlT,则X的分布函数为参数=、b = l时的正态分布称为标准正态分布，记为XN(O,1),其密 度函数记为1 -兰(px) = -re 272 冗,oox +oo,分布函数为(x)I I * dt兀 。(x)是不可求积函数，其函数值，己编制成表可供查 用。e(x)和(x)的性质如下：r e(x)是偶函数，e(x)= e(-x)；2。当x二0时，d) (x) = -L为最大值；3(x)=l-(x)且(0)=丄。2如果 X

33、Ng),则二n(0,1)。(7所以我们可以通过变换将F(x)的计算转化为(x)的计算，而(Q的值是可 以通过查表得到的。Pg X x2) =分位数的定义。例 2. 16：设 X NQ4),求 P(5 X 7.2) , P(0X c)=2P (XWc)。例2. 17：某人需乘车到机场搭乘飞机，现有两条路线可供选择。第一条路 线较短，但交通比较拥挤，到达机场所需时间X(单位为分)服从正态分布N(50, 100)o第二条路线较长，但出现意外的阻塞较少，所需时间X服从正态分布N(60, 16)o (1)若有70分钟可用，问应走哪一条路线？(2)若有65分钟可用，又应 选择哪一条路线？3、随机变量函数的

34、分布随机变量丫是随机变量x的函数丫=g(x),若x的分布函数你a)或密度 函数氏(X)知道，则如何求出Y = g(X)的分布函数斤(刃或密度函数/r(y)o(1) X是离散型随机变量己知X的分布列为XP(X = Xi)显然,Y = g(X)的取值只可能是g(x)gO),，若gO)互不相等, 则y的分布列如下：Yg(M), g(r),g(xd P(y = y.)Ph PS ,0,若有某些g(Q相等，贝ij应将对应的P,相加作为g(z)的概率。例2. 18：己知随机变量X的分布列为X 0,1,2万1 ， 亍亍3求Y = X2的分布列。(2) X是连续型随机变量先利用X的概率密度fMx)写出Y的分布

35、函数FY(y),再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y) o例2. 19：己知随机变量X/(x) = h(3X + 1)，X1求K = X的密度0,其他函数九(刃。第二节练习题1、常见分布例2. 20： 个袋中有5只球，编号为1, 2, 3, 4, 5,在其中同时取3只, 以X表示取出的3个球中的最大号码，试求X的概率分布。例2. 21：设非负随机变量X的密度函数为f(x)二A x7e_T , x0,则 A=o例2. 22： A(x) +厶(x)是概率密度函数的充分条件是：(1) 人,人均为概率密度函数(2) 0/心)+人 1例2. 23： 一个不懂英语的人参加GMAT机考，假设考试有5个选

36、择题，每 题有5个选项(单选)，试求：此人答对3题或者3题以上(至少获得600分) 的概率？例2. 24：设随机变量XU (0, 5),求方程4x2 +4Xx+X + 2 = Q有实根的概率。例2. 25：设随机变量X的概率密度为px w 0,1x e 3,60,其他9其使得pgk)=g，则k的取值范围是o例2. 26：己知某种电子元件的寿命(单位：小时)服从指数分布，若它工作了 900小时而未损坏的概率是e-09,则该种电子元件的平均寿命是A. 990小时 B. 1000小时 C. 1010小时 D. 1020小时例2. 27：设随机变量X的概率密度为：0= *W,(-8xv+oo)则其分布

37、 函数F(x)是x 0,(A)1,(B)(C)(D)x 0.x0.x 0、0 x 1.F(x) = 0.例 2. 28： XN(1,4), YN 9),问 P(XW-l)和 P(Y仝5)谁大?例 2. 29： XN ( P , o :), u HO, o 0, S. P ( A tz)=-,则 a=?A22、函数分布例2. 30：设随机变量X具有连续的分布函数F(x),求Y=F (X)的分布函 数 F (y)o(或证明题：设X的分布函数F(x)是连续函数，证明随机变量Y=F (X)在区间(0, 1) 上服从均匀分布。)例2. 31：设随机变量X的分布函数为F(x),则Y=-21nF(X)的概率

38、分布密度 函数 fv(y)=例2. 32：设并且y=tanx,求Y的分布密度函数f (y)。I 2 2丿例2. 33：设随机变量X服从指数分布,则随机变量minU 2的分布函 数(A)是连续函数(B)至少有两个间断点(C)是阶梯函数(D)恰好有一个间断点第三章二维随机变量及其分布第一节基本概念1、二维随机变量的基本概念(1) 二维离散型随机变量联合概率分布及边缘分布如果二维随机向量 （X, Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y）时，则称为离散型随机量。理解：（X二x,Y二y） = （X二xDY二y）设g二（X, Y）的所有可能取值为（兀，儿）（ = 1,2,），且事件二（毎,儿） 的概

39、率为Pm称P（X, Y）=（无,儿） = Pq （/, j = 1,2,）为仔二（X, Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下 面的概率分布表來表示：X AX1PnP12 Ph PiX：P21P22 Pn PL:X、Pn Pi:P5P-1P-2 P-5 1这里A具有下面两个性质:（1）P的（i, j二 1,2,）；（2）XX I =1- j对于随机向量（X, Y）,称其分量X （或Y）的分布为（X, Y）的关于X （或Y）的边缘分布。上表中的最后一列（或行）给出了 X为离散型，并且其联合分 布律为P（X, Y）=（兀,y 7） = p,j （i, j = 1,2,）,则X的边

40、缘分布为p=p（X = xi） = Y 几（i,J = 1,2,）；-31 -Y 的边缘分布为P9i=P(Y = yi)=Y p/i,j = l,2,)。i例3. 1：二维随机向量(X, Y)共有六个取正概率的点，它们是：(1, -1), (2, -1), (2, 0), 2, 2), (3, 1), (3, 2),并且(X, Y)取得它们的概率相同，则(X, Y)的联合分布及边缘分布为-1012P】116000162161601612300161613P-5131616131(2)二维连续型随机向量联合分布密度及边缘分布对于二维随机向量 = (X,F),如果存在非负函数 /(X，y)(-S

41、V X V+8,-8 y V+S),使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩 形区域 D,即 D=(X, Y) |axb, cy0,y0,f(y) = 0,其他试求：(1)常数C；(2) POX1, 0Y2;(3) X与Y的边缘分布密度fx (x), fy (y).(3)条件分布当(X, Y)为离散型，并且其联合分布律为P(X, Y)=(兀,儿) = Pjj ( j = 1,2, )在己知尤立的条件下，Y取值的条件分布为-43 -其中，A,分别为X, Y的边缘分布。当(X, Y)为连续型随机向量，并且其联合分布密度为f(x, y),则在己知Y二y的条件下，X的条件分布密度为/(兀|刃=fy (刃

42、在己知X二x的条件下，Y的条件分布密度为fx(X)其中fx0,齐(y)0分别为x, Y的边缘分布密度。例3. 3： 设二维随向量(X, Y)的联合分布为0.40.820. 150. 0550. 300. 1280. 350. 03求（1） X与Y的边缘分布；（2）X关于Y取值yi=0. 4的条件分布;（3）Y关于X取值x2=5的条件分布。（4）常见的二维分布 均匀分布设随机向量（X, Y）的分布密度函数为希-（兀刃e Df（x,y） = = （兀刃:|x+y|l,|xy|0,6 0,|q|v1,共5个参数，则称（X, Y）服从二维正态分布,记为（X, Y） N （ “I，/cr；,b；,Q）.

43、由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分 布，反推则错。即 XN （ “, b： ）, Y （心& ）(5) 二维随机向量联合分布函数及其性质设(X, Y)为二维随机变量，对于任意实数x, y,r元函数F(x,y) = PXx,Yy称为二维随机向量(X, Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布 函数。分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件 ( ) IYO V X ( ) x,YO y(2)y的概率为函数值的一个实值函数。分布 函数F(x,y)具有以下的基本性质：(1) 0 F(x, y) X1 时,有 F (x2, y) MF(X1, y);当 y：yi时,有 F(x, y2) MF(x, yj;(3) F (x, y)分别对x和y是右连续的，即F(x, y) = F(x + 0, y), F(x, y) = F(x, y + 0);(4) F(-co,-qo) = F(8,y) = F(x-co) = 0,F(+s,+8)= 1.2、随机变量的独立性(1) 一般型随机变量F(X, Y)=Fx(x)FY(y)(2)离散型随机变量例3. 5：二维随机向量(X, Y)共有六个取正概率的点，它们是：(1, -1),(2, -1), (2, 0), 2, 2), (3, 1), (3, 2),并且(X, Y)取得它们的概率相11600016216160