用叉乘求法向量

1、向时，大拇指所指的方向规定为f y1乙X1Z1X1y1、y y2z2JX2 zx2 y2(注:1、二阶行列式：M二=ad -cb ； 2、适合右手定则。）A1C1已知，a(2,1,0),bl(-1,2,1)，试求(1): aK b; (2)： b汉a.图1-1平面法向量的求法及其应用一、平面的法向量仁定义：如果a _,那么向量a叫做平面:-的法向量。平面:-的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。2、平面法向量的求法方法一（内积法）：在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量n-（x,y,1）或44-14 Hn =（x,1,z），或n =（1,y,z），在平面:-内任找两个不共线的向量a,b。

2、由n工，得n a =0且n b =0，由此得到关于x, y的方程组，解此方程组即可得到n。方法二：任何一个 x, y,z的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是x, y,z的一次方程。Ax By Cz D = 0 （A,B,C不同时为0），称为平面的一般方程。其法向量n =（A,B,C）；若平面与3个坐标轴的交点为 R（a,0,0）,P2（0,b,0）,R（0,0,c）,如图所示,则x y z平面方程为：1,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法a b c向量。方法三（外积法）：设，.为空间中两个不平行的非零向量，其外积 a b为一长度等于|a|b|s d ,（

3、0为.两者交角，且0 二），而与皆垂直的向量。通常我们采取右手定则，也就是右手四指由.的方向转为的方T TT T T Ta b 的方向，ab-ba。TT T(x1,y1,z1),b =(x2,y2,z2),则：a b 二xT TT TKey: (1) a (12,5) ;(2) b a =(-1,2,5)例2、如图1-1,在棱长为2的正方体 ABCD - AB6U 中,/T n厂4/a 8_1平面法向量的应用n t t2-5ABT T 兀n AB-arccos 2In|AB|n AB 二 二:n, AB -一二arccos-2t t22In I |AB| 2求平面AEF的一个法向量n。key:

4、法向量n； AF AE二（1,2,2）m1aB所成的角为30m图2-1图 2-1-2图 2-1-2:二T Tn,AB量，AB是平面:-的一条斜线Tn分别是平面：T（2）、求面面角：设向量m1、求空间角图 2-1-1:二:的法向量，则二面角-丨-：的平面角为T、求线面角：如图2-1,设n是平面的法向A三卅，则AB与平面sin j -| cos :04图2-2图2-32-2m n e 、- m, n *= arccos （图 2-2）;|m| |n|T T、m nv - ：m, n - ： - arccos（图 2-3）|m| |n|两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角

5、。约定，在图TT门T中，m的方向对平面:-而言向外，n的方向对平面：而言向内；在图2-3中，m的方向对 平面而言向内，n的方向对平面：而言向内。我们只要用两个向量的向量积（简称“外 积”，满足“右手定则”）使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法 向量的夹角即为二面角 -:的平面角。2、求空间距离（1 ）、异面直线之间距离：方法指导：如图2-4,作直线a、b的方向向量a、b , 求a、b的法向量n，即此异面直线 a、b的公垂线的方向向量;d = 1AB *n 1,其中 n _ a, n _ b, A a, B b(2)、点到平面的距离：方法指导：如图2-5,若点B为平面a外一

6、点，点A为平面a内任一点，平面的法向量为n，则点p到T T平面a的距离公式为d = 1 An|(3 )、直线与平面间的距离：方法指导：如图2-6,直线a与平面之间的距离:AB n，其中A - ,B a。n是平面:-的法向量(4 )、平面与平面间的距离：方法指导：如图2-7两平行平面:之间的距离:nT TId二1AB *n 1，其中A ，B :。n是平面：、1的法向量。|n|3、证明图2-8.T(1 )、证明线面垂直：在图 2-8中,m向是平面a的法向量,直线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量共线(T(2)、证明线面平行：在图 2-9中,m向是平面G的法向量,Ta是直线的方向向量，证明

7、平面的法向量与直线所在向量垂直(T T m a = 0）。TT(3)、证明面面垂直：在图 2-10中，m是平面的法向量，n是平面T T的法向量，证明两平面的法向量垂直(mn =0)图 2-11a口图 2-10图2-9在直线a、b上各取一点 A、B,作向量 AB ； 求向量 AB在n上的射影d，则异面直线a、b间的距离为 (4)、证明面面平行：在图2-11中，m向是平面ot的法向量，n是平面-的法向量，证明两平面的法向量共线(m -，n )。三、高考真题新解1、( 2005全国1, 18)(本大题满分12分)已知如图3-1,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB / DC ,1./DAB =9

8、0 , PA _底面 ABCD，且 PA=AD=DC= AB=1 ,2MM是PB的中点.(I)证明：面 PAD丄面PCD ;(H)求AC与PB所成的角；(川)求面 AMC与面BMC所成二面角的大小. 解：以A点为原点，以分别以AD , AB , 如图所示.图 3-1 CAP为x轴,y轴，z轴,建立空间直角坐标系 A-xyz(I). AP = (0,0,1)，AD =(1,0,0)，设平面PAD的法向量为m=AP AD=(0,-1,0)又 DC =(0,1,0)，DP =(-1,0,1)，设平面T T TPCD的法向量为n = DC DP= (1,0,1)T TT T.m*n=0, . m_n，

9、即平面 PAD-平面PCD。TT(II ). AC =(1,1,0)，PBT TACPBT f=(0,2,-1)，: AC, PB = arccos |AC|PB|V10-arccos5CA =(-1,-1,0)，设平在AMC的法向量为AB图T1(III ) CM =(-1,0,2),丿 1 1m =CM CA=( ,1).2 21 1又 CB =(-1,1,0),设平面PCD的法向量为n -CM CB =(,厂1).2 2T Tm*n/ 2、:m, n *=arccosarccos(- ).|m|n|322-面AMC与面BMC所成二面角的大小为 arccos().或蔥-arccos-332、

10、(2006年云南省第一次统测 19题)(本题满分12分)如图3-2，在长方体 ABCB ABCD中，已知 AB= AA = a, BC= . 2 a, M是 AD的中点。(I )求证：AD/平面ABC（II）求证：平面 AMCL平面ABD;（皿）求点A到平面AMC的距离。D-xyz如图所示.的法向量为解：以D点为原点,分别以DA,DC,DD为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系(I). BC =(- . 2a,0,0) , BA(0a,a),设平面 A1BCn -BC BA(0. 2a2, ,2a2)f/T TT T又 AD2a,0,0),. n AD =0, AD _ n ,即 AD/平面

11、A1BC.(II ). MC =( ； a,0,a) , MA。2 a a 0),设平面 AMC2的法向量为：m = MC MA -(a2,12a2, 22 2a2),又=(- 2a,-a,a) , BA1= (O,-a,a),设平面ABD的法向量为： 、 2 2n 二 BD1 BA1 二(0, 2a , . 2a ),T TT T.m*n =0,. m _ n ,即平面 A1MC平面 AiBDi.（III ）.设点A到平面AiMC的距离为d,T T T m =MC MAi四、用空间向量解决立体几何的“三步曲”= （a： a ）是平面A1MC的法向量，2 2T T 又 MA =(上2a,0,0), . a点到平面A1MC的距离为：d Jm*MA|2T2|m|（1）、建立空间直角坐