椭圆知识点总结43395

1、、椭圆的定义【椭圆】1、椭圆的 第一定义：平 面内一个 动点P到两个定 点Fi、F2的距离之和 等于常 数(PFi| |PF22a F1F2 )，这个动点P的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距。注意：若(PFj PF2 I IF1F2)，则动点P的轨迹为线段Fi F2 ；若(PR二、椭圆的方程PF2| F1F2)，则动点P的轨迹无图形。1、椭圆的标准方程(端点为a、b,焦点为(1 )当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程:2 x2a2 y b2(a2b 0)，其中ca2b2 ；(2)当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程:2 y2 a(ab 0)，其中c2a2b2 ；2、两种标

2、准方程可用一般形式表示:2y_n1或者2mx +ny =1三、椭圆的性质(2 y b2(a0)为例)1、对称性:对于椭圆标准方程2 x2 a2 y b2(a b 0):是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形;并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。2、范围：椭圆上所有的点都位于直线xa和yb所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足X I a , y | b。3、顶点：椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。椭圆2 X2 ab21 （a b 0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A( a,0)，A2(a,0)，Bi(0, b)，B2(0,b)。线段A1A2，Bi

3、 B2分别叫做椭圆的长轴和短轴, 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。A, A2a，B1B 2b。a 和 b4、离心率: 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作e2c2a因为（a c 0），所以e的取值范围是（0 e 1）。e越接近i,则c就越接近a，从而b a2 c2越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0,从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a b时，c 0,这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2 y2 a。 离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。2 2注意：椭圆务 1的图像中线段的几何特征（如下图）a2 b2PF1 1|PF2

4、IPM1|PM 2 e(PF1PF22a)(PM1PM22a25、椭圆的第二定义:平面内与一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离的比为常数e, (0v ev 1)的点的轨迹为椭圆（爭e ）。MiX*KiAi Qi 0，也即上图中有|PF1 |PF21e。|PM1 |PM 2焦点在X轴上：2 X2 a2 y b21 (ab0)准线方程：x焦点在y轴上：2 y22X.21 (ab 0)准线方程：y即：至U焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形a2 b26、椭圆的内外部(1 )点P(Xo, y)在椭圆2 x 2 a21(a b 0)的内部2 ab2(2)点P(xo, yo)在椭圆2

5、xa1(a b 0)的外部2Xo2yob2四、椭圆的两个标准方程的区别和联系标准方程2 2笃每1 (a b 0)ab2 2笃与1 (a b 0)ab图形r5A71性质焦占八 、八、F1( c,0), F2(c,0)F1 (0, c) , F2(0,c)焦距1 F1F2 |2cF1F22c范围|xI a, y | bxb, 1y a对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点(a,0) , (0, b)(0, a) , ( b,0)轴长长轴长=2a，短轴长=2b离心率e -(0 e 1) a准线方程2 a XcV2 ac焦半径PF” a eXo, PF2 a eXoPF1a eyo, PF2a eyo2

6、2X V1右Po(Xo，Vo)在椭圆2 a b1上，则过Po的椭圆的切线方程是XoX-2aVoV五、其他结论21外，则过Po作椭圆的两条切线切点为Pi、则切点2 2 xv2、右 Po( Xo, Vo )在椭圆2ab弦PiP2的直线方程是嚳 1a2 b22 23、椭圆2V?1 (a b 0)的左右焦点分别为F1, F2,点P为椭圆上任意一点a bF1PF2，则椭圆的焦点角形的面积为S F1pf2b2tan 1 2 224、椭圆冷a2V2 1( a b 0 )的焦半径公式：IMF, a eXo,|MF2 a eXo ( F1 ( c,0), bF2(c,0) M (Xo, Vo)5、 设过椭圆焦点

7、F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ 分别交相应于焦点 F的椭圆准线于 M N两点，贝U MFL NF6、 过椭圆一个焦点 F的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A为椭圆长轴上的顶点， AP和A2Q 交于点M, AP和AQ交于点N,贝U MFL NF27、AB是椭圆仔a2y_的不平行于对称轴的弦，M(Xo,Vo)为AB的中点，则kOM kABb22 ，aK ABb2Xo2。-Vo右 Po (Xo, yo )2X2 a2古1内，则被Po所平分的中点弦的方程是XoXVoVXo2 ab2a22b22 2 2 Xyx9、若P）（xo,y）在椭圆 r 1内，则过Po的

8、弦中点的轨迹方程是 aba2yb2xxyy10、点P处的切线 PT平分 PF1F2在点P处的外角11、PT平分 PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点12、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离13、以焦点半径 PR为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切、选设定点片（oh）,码），动点妁越足条件严性|=0 则动 点户的轨迹是（A.捕圆 不存在）线設C.诵圆或线段2.已知解圆二亠兰=1的一个焦.点为1,则押國的方程是（ iT 2-13 2屮 V24 2B.D.4”桶圆二辕=1上一点“到一个焦直 加価粵是生则点材到另一2 L O个焦点心的更离是）A. 10B. 81牺圆4+夕，1的焦点坐标是（A. | 打） B.（0亦）C.D.5曲线 J =1润 J =1投有（）? A49上相同的焦点 B.相同的离心率C.相同的短轴D.相同旳长轴6椭圆的对称轴是坐标軸，离心率为:*搂轴萇为12,则椭岡方稈为. A V*X*V*k*k - 1 獣4 144 12S123 1 斗斗C.二丄=或：L + 2_=l323236乩6D.X=i或兰+=】4664Y椭圆F血=1的焦点社，轴上，长轴长是雄轴长的2倍，则m的取值足D. 4二、填空题&己知椭圆方程-+=1,离心率为,此椭圆的长轴84长为。9. 椭圆-v:+8y2 =32的焦点坐标为,顶点