极限的计算方法

1、v1.0可编辑可修改一元函数微分学sin x在lim sin1中，x是无穷小量，即此极限的特征是：无穷小量的X 0 X其自身之比的极限是1,设则第1个重要极限的一般形式sin (x)lim1(x) 0(x)在 lim (1 )xxx(x)为x的函数，在 X的某个变化过程中，若 为：e中，x1时-是无穷小量，因此该极x正弦与(x)0,限的特征为:(1 无穷小量)若在x的某个变化过程中,(im 0(1无穷大量(其中，无穷小量与无穷大量互为倒数(x)0,则第2个重要极限的一般形式1(X)(x)的极限为e。 为sin ax0 (a，0 sin bx解：因 sinax snaxsin bx x sin

2、bx求解。又当xt0时，axi0，bxf 0，于是有例6求极限limxb均为常数)，于是可把上极限化为两个函数乘积的极限sinax sin ax limlimx 0 sinbx x 0 xsin ax a limx 0 axlim x 0 sin bx 1 1lim b x0 sin bxbx例7求极限|imt叫解：在极限过程中，t是变量，当时匸t0,即-是无穷小量，于是有t第二章三、极限的计算方法(二)4 利用两个重要极限求极限sin x第1个重要极限的标准形式：lim 1x 0 x1第2个重要极限的标准形式：iim(1 -)x exx注意：对于两个重要极限，不仅要记住他们的标准形式，更重要

3、的是理解其本质特征，明确其一般形式。.x sin xlim t sin lim (L x)tt t xt1 2 1 例8 求极限 lim 2x 0sin x6分析：当xf0时，分子，分母的极限均为0,且分子是一个无理函数，分母是正弦函数，于是可先把分子有理化（分子，分母同乘以(-12x 1），然后看是否可利用第1个重要极限。解: lim 1x 0 sin xli1 x2linx 0 sin x2 (. 11 121)2lim 2 x 0 sin x12k-）n（k为常数）nkk例9求极限lim （1n“（1无穷小）无穷大” 型,分析：当n时，一0,即一是无穷小量，nn再把无穷小量与无穷大量配成

4、互为倒数的形式，即可利用第2个重要极限求解。k解：lim （1）n n符合 nlim (1 k卩keknn1例10求极限lim(1 kx)(k为常数)x 0分析：当x10时，kx是无穷小量，丄是无穷大量，即极限属 于x“（1无穷小）无穷大”1型，再把一配成“xkx”的倒数1一”，即可利用第2个重要kx极限求解。解：lim(1x 01kx)x例11求极限lim （xlim0(1 kx)X 5)X 3x1kx k解: lim (- )x 3X xlim (1x5 x-)xxlim (1xlim (1x辱5 13x例12求极限解法1：因为lim ( n nn 3n 1n _?)n1)n 1当R./n

5、 一 ：/VImn3 一.ImtIm4Im,3lim(1lim (13 3 3n 3、n lim ()nn 11 -)333lim(n 1丄nnnne elim(1丄)nlim (11 e1)n1 ennnnn5 利用通分、三角公式等恒等变形后再求极限。例13求极限limx 01x(x 3)13x1 1分析：当x 0时，一1 与均趋于无穷大，此极限 属“ ”型未定x x 3 3x般采用先通分变形后再求极限。解：limx 01x(x 3)13xlimAJ)x 0 3x(x 3)叫 3(x 3)例14 求极限lim 1一C0Sxx 0 xta nx分析：当x t0时，分式中分子分母的极限均为0,不

6、能直接使用极限的运算法则,但前面所介绍“分解因式”、“有理化”的方法在此又不适用。能否利用第1个重要极限呢这就需要首先利用三角恒等式对函数进行适当的变形。解:1 cosxxta nx(1 cosx)(1 cosx)xtanx (1 cosx)1 cos2 xxtanx (1 cosx)sin2 xsin x cosxX 叱(1 cosx) X 1 COSX cosx1 cosx广 sin X 广 cosx11所以，limlimlim1 -x 0 xtanxx0 x x01 cosx226 利用无穷小量的性质求极限极限计算小结 利用“无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量”这一性质求极限。例15求极限lim 乂严xXx2 1解：因当XS时，sinx的极限不存在，故不能用极限的运算法则求解，考虑到limXXX21limX即x 时，一是无穷小量，而sin x1,即sin x是有界变量，由无穷小x21X的性质， sin x是无穷小量，即x21xsin xx21极限计算小结以上介绍