解析几何新题型的解题技巧总结

1、第七讲解析几何新题型的解题技巧【命题趋向】 解析几何例 命题趋势：1. 注意考查直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程，直线的位置关系，此类题大多都属中、低档题，以选择、 填空题的形式出现，每年必考2. 考查直线与二次曲线的普通方程，属低档题，对称问题常以选择题、填空题出现3. 考查圆锥曲线的基础知识和基本方法的题多以选择题和填空题的形式出现，有时会出现有一定灵活性和综合性较强 的题，如求轨迹，与向量结合，与求最值结合，属中档题分值一般在17-22分之间，题型一般为 1个选择题，1个填空题，1个解答题.【考点透视】一. 直线和圆的方程1 理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握

2、直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件 熟练地求出直线方程.2. 掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的/亠护方位置关糸.3. 了解二元一次不等式表示平面区域.4. 了解线性规划的意义，并会简单的应用.5. 了解解析几何的基本思想，了解坐标法.6. 掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程.二. 圆锥曲线方程1. 掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质.2. 掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.3. 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.4. 了解圆锥曲线的初步应用.【

3、例题解析】考点1.求参数的值求参数的值是高考题中的常见题型之一，其解法为从曲线的性质入手，构造方程解之.2 2例1 . （2006年安徽卷）若抛物线 y 2px的焦点与椭圆 工 乂 的右焦点重合，贝U p的值为（）6 2A.2B. 2 C .4D. 4考查意图：本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质2 2解答过程：椭圆 1 仝1的右焦点为（2,0），所以抛物线y 2px的焦点为（2,0）,则p 4，故选D.6 2考点2.求线段的长求线段的长也是高考题中的常见题型之一，其解法为从曲线的性质入手 ，找出点的坐标，利用距离公式解之例2. （2007年四川卷文）已知抛物线y-x

4、 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点 A、B,则|AB|等于考查意图：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用解：设直线 AB的方程为yx b，由yx2 32x x b 3 0x1 x21，进而可求出AB的中点1111M（，b），又由 M（，22222二x x 20，由弦长公式可求出b）在直线x y 0上可求出b 1,AB 1 12 12 4 ( 2)3 2 .故选C2 2例3. （2006年四川卷）如图，把椭圆 冬y_ 1的长轴2516AB分成8等份，过每个分点作 x轴的垂线交椭圆的上半部则 PF| |F2F| |眛| IP4FI IP5F |P6q IP7F .考查意

5、图：本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用2 2解答过程：由椭圆二y_ 1的方程知a225, a 5.25167 2a- |PF |F2F| RF RF F5F |RF| |F7F7 a 7 5 35.故填35.考点3.曲线的离心率曲线的离心率是高考题中的热点题型之一，其解法为充分利用：（1）椭圆的离心率e= C （0,1） （ e越大则椭圆越扁）;a 双曲线的离心率e= C （1,） （ e越大则双曲线开口越大）.a结合有关知识来解题.例4. （2007年全国卷）文（4)理（4）已知双曲线的离心率为2,焦点是（4,0） , （4,0），则双曲线方程为2 2222 222A.11 B .x

6、L 1c .x_1Dx ” ,乂 14 1212410 6610考查意图：本题主要考查双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念解答过程：Q e C 2,c 4,所以 a 2,b2 12.故选（A）.a 小结：对双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念，要注意认真掌握.尤其对双曲线的焦点位置和双曲线标准方程中分母大小关系要认真体会.例5. （2006年广东卷）已知双曲线 3x2 y2 9,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于（）A.2B.2 3 C. 23考查意图：本题主要考查双曲线的性质和离心率e= c （1, +8 ）的有关知识的应用能力.a解答

7、过程：依题意可知a V3,cVa2 b239 2*3 -考点4.求最大（小）值求最大（小）值，是高考题中的热点题型之一.其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最大（小）值:特别是，一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答.例6. （2006年山东卷）已知抛物线y2=4x,过点P（4,0）的直线与抛物线相交于A（X1,y”,B（x 2,y 2）两点，贝U y/+y22的最小值是.考查意图：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及利用不等式求最大（小）值的方法.解:设过点P（4,0）的直线为y k x 4 , k2 x2 8x 164x,k2x28k24 x16k20,228k241y：讨;4 人

8、 X24216 2232.kk故填32.考点5圆锥曲线的基本概念和性质圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容，要能够熟练运用；常用的 解题技巧要熟记于心.例7. （2007年广东卷文）与圆CQ的坐所求的圆的方程为(2)由已知可得椭圆的方程为2a2x25(x 2)210 ,2乞1 ,9(y 2)2 8a 5.右焦点为 F( 4, 0);假设存在Q点,22.2sin使QFOF， 22 2 .2 cos42 2 2sin4 整理得 sin 3cos2 .2 ,代入 sin2得:10cos2122coscos2cos12 21012 2 2,210在平面直角坐标系

9、xOy中,已知圆心在第二象 限、半径为2斗2的圆C与直线y=x相切于坐标原点 O椭圆兰 兰=1 孑9的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.(1) 求圆C的方程；(2) 试探究圆C上是否存在异于原点的点 Q,使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段 OF的长若存在，请求出点 标；若不存在，请说明理由考查目的本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解 决问题的能力.解答过程 设圆C的圆心为(m, n)则m n，解得m 2,n .2 2 2,n 2.因此不存在符合题意的 例8. (2007年安徽卷理)如图，曲线G的方程为y22x(y 0).以原点为圆心，以

10、t(t0)为半径的圆分别与曲线 G和y轴的正半轴相交于 A与点B.直线AB与x轴相交于点C(I)求点 A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式；(H)设曲线 G上点D的横坐标为a 2,求证：直线CD的斜率为定值.考查目的本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标素中的 两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力，综合分析问题的能力 解答过程(I )由题意知，A(a, 2a).因为 |OA| t,所以a2 2a t2.由于t 0,故有ta2 2a.(1)由点B( 0, t), C( c, 0)的坐标知，直线 BC的方程为 y 1c t又因点A在直

11、线BC上，故有a1c t ,将(1)代入上式，得a 2a_ 1解得c a 2、_2).c .a(a 2)(II )因为D(a 2 2(a 2)，所以直线CD的斜率为,2(a 2)v2(a 2)2(a 2),kcD1 a 2 c a 2 (a 2 2(a 2)72(a 2)所以直线CD的斜率为定值.2 2例9已知椭圆E：笃 与1(a b 0)，AB是它的一条弦，M(2,1)是弦AB的中点，若以点M(2,1)为焦点，椭圆E a b的右准线为相应准线的双曲线C和直线AB交于点N(4, 1)，若椭圆离心率 e和双曲线离心率e,之间满足eq 1 ,求：(1)椭圆E的离心率；(2)双曲线C的方程.解答过程

12、：(1)设 A、B坐标分别为 A(x !，y!),B(x2,y2),2 222贝y X1y11 5X2y2 1，二一式相减得:孑畀2 ab2 1kABy1y2(X12X2)b22b2k2kMN12(4) 1，X1X2(y1y2)aa所以a22b22(a22 2c ), a2c2,则 e 2 J ；a 2(2)椭圆2e的右准线为x a_(2c)22c，双曲线的离心率e12,cce设P(x, y)是双曲线上任一点，则:|PM | (X 2)2 (y 1)22，|x 2c|x 2c|两端平方且将N(4, 1)代入得：c 1或c 3，当c 1时，双曲线方程为：(X 2)2 (y 1)20,不合题意，舍

13、去；当c 3时，双曲线方程为：(x 10)2 (y 1)2 32，即为所求小结：(1)“点差法”是处理弦的中点与斜率问题的常用方法；(2)求解圆锥曲线时，若有焦点、准线，则通常会用到第二定义考点6利用向量求曲线方程和解决相关问题利用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算典型例题：2 2例10. (2006年山东卷)双曲线 C与椭圆 y_ 1有相同的焦点，直线 y= 3x为C的一条渐近线.8 4(1)求双曲线C的方程； 过点P(0,4)的直线l，交双曲线C于A,B两点，交x轴于Q点(Q点与C的顶点不重合)当PQ 1QA 2QB，且8时，求Q点的坐标.3,以及运用数形结合思想，方

14、程和转化2 2(I)设双曲线方程为解答过程:考查意图：本题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力 的思想解决问题的能力2 由椭圆x_82y 1，求得两焦点为(2,0),(2,0),47 7 1,对于双曲线C:c 2，又y3x为双曲线C的一条渐近线b 3 解得 a21,b23,2双曲线C的方程为x2 y 13(n)解法一 由题意知直线l的斜率k存在且不等于零.设I的方程:kx 4,A(x，yJ , B(xz,y2)，则 Q(存).uur Q PQiuntQA，1(x14kY1).1(X4k-Q A(X1,y1)在双曲线C上,16 1J21160-216 32 1 16 116

15、2k30.(16k2)32 116 兰 k230.同理有：(16 k2)160.若16k2 0,则直线I过顶点,不合题意162k 0,2是二次方程2 2(16 k )x32x 162 0的两根.322 k2 168, k234，此时0, k 2.所求Q的坐标为(2,0).解法二：由题意知直线I的斜率k存在且不等于零设1的方程，ykx 4,A(x,yJ, B(x2,y2)，则 Q( - ,0) . kuLiruuuq pq 1qa,uuiq分PA的比为1.由定比分点坐标公式得41X1k 1104 心11xiy1(11)下同解法一解法三：由题意知直线I的斜率k存在且不等于零设1的方程：y kx 4

16、, A(x,y1), By)，则 Q( 4,0). kuur q pquuruuu1 qa 2 QB，(4Jk4)1(x1 -k4,y1)2(x2, y2)k41 y1 2 y2 ,14，24?y1y2又18 12丄25即 3(y1y2)2%y2.3yy232将 y kx 4代入 x2 乞 1 得(3 k2)y2 24y 48 3k20.3Q3 k20 ,否则I与渐近线平行24丫- 口-48 3k2k2-2448 3k3 -3 k-3 k-Q( 2,0).解法四：由题意知直线得斜率k存在且不等于零，设I的方程:y kx 4 , A(X1,yJ, B(x-, y-),则 q( ,。) kuuv

17、Q PQuuviQA,4,4)41(X1 W4k4k44.同理kxi 44kx24kx14 kx2422k xn5k(x x2)(*)y kx-y 彳X13消去y得(3 k-)x-当3 k-0时，8kx则直线190.与双曲线得渐近线平行，不合题意，3 k- 0.由韦达定理有:X1X2XlX28k3 k2193k2代入(*)式得所求Q点的坐标为(例11 . (2007年江西卷理)设动点P到点A I , 0)和B(1 , 0)的距离分别为d1和d2,/ APB= 2 0 ,且存在常数入(0 v入v 1 =,使得d1d2 sin 2 0 =入.(1) 证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出 C的方程；

18、(2) 过点B作直线交双曲线 C的右支于 M N两点，试确定入的范围， 使OM ON = 0,其中点O为坐标原点.考查目的本小题主要考查直线、双曲线等平面解析几何的基础知识，考查综合 运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力.k24,k2,0) 解答过程解法 1 : (1 )在厶 PAB 中，AB 2，即 2- d1- d； 2d1d-cos2 ,4 (d1 d-)- 4d1d- sin-，即 d1 d2|44did2 sin222 (常数)，点P的轨迹C是以A, B为焦点，实轴长2方程为：丄12a 2 1 的双曲线.(2)设 M(x,2y- 1.y), n(x2,讨2N(1, 1)在双

19、曲线上.1，所以 Aj .21，M (1,1),当MN垂直于X轴时，MN的方程为X1、5，因为02当MN不垂直于X轴时，设MN的方程为y k(x 1).2 2由1y k(x1得:(1 )k2 x2 2(1 )k2x (1)(k2)1)由题意知:(1)k20，所以X1X222k (12(1)(k(1疋：1)(X2因为OM ONk2 21)2 (1 )kN在双曲线右支上,所以X1X2Zx1x20X1X20k2k2由知,.5解法2:(1)1 0),则直线l的方程为y=x-x o,设直线I与椭圆相交于 P （xi, yi） , Q（X2、y2）,由y=x-x 0XiX2?3Xi X23i6Xo228X

20、o48I XiX2 1(XiX2)24xix29即4 i432.4 -.i4iX2 |xiX2 1，2333 2 xo =4,又 xoo,. xo=2, A (2,o).9. i; k | PFi | |PF|(a ex)(a ex)2 a2 e4xo2j36 2x。2 .3 36 2x。2 .2 x2+2y2=1222xo i2io.ii .解（i）设动点P的坐标为（x, y），则点Q（o, y） , PQuuu(x,o), PAC-2 x, y),ULU PB(2x, y),UUU ULU PA PBX222 y ,因为UUL PAUUL PBUUUU2PQ2 ,所以2 X2 y22x2,

21、即动点P的轨迹方程为：2y2 X2 ；(2)设直线 m： y k(x , 2)(o k i),依题意，点C在与直线m平行，且与m之间的距离为 2的直线上,设此直线为mi: y kx2222，整理得：(k i)x 2kbx (b 2) o ,b，由I办b| 2，即b22 2kb 2,则4k2b24(k2i)(b2 2)22o,即 b 2k 2 ,由得：k2 5,b55此时，由方程组2 5ioyX55C(2 .2, io)*2yX22把y kx b代入y2 x22212 解：（1）依题意得：c 3，ac4，所以 a 2，b23x2所求双曲线C的方程为4(2)设 P(xo,y。),M(x i,yi)

22、 , N(X2,y2)，则 Ai(2,0),A 2(2,0),juurA1P (x2,yo)，uuruuuur10A2P (X0 2,y)，A1M(三1)，uuurA2N2 、3,%)，uuujruuur因为A1P与A1M共线，故10(x 02)y 1 y0，yi10y3(x0，同理:2）y22y 03(x02)uuuj 13则FM (亍yj，uuuuF2Nuuun ujiu所以FJM F2N659yy =65920y29(x24)65920,5(x2 4)429(X0 4)10 -13.解:(1)因为uuu|OF|2，则 F(2,0)ULU，OF (2,0)，设 Q(x,y)，则 FQ(X0

23、2,y),UUUOFuuriFQ2(X02)解得Xuuu1由S 2|OF|y0|yly。1，故 Q(-,2 22)，所以，PQ所在直线方程为uur(2)设 Q(X0,y)，因为 |OF|UJUc(c 2)，则 FQ(x。c,y。），uuu uuu由 OF FQ c(x0 c) 1 得:x13又 S c|y01 c,则 y0 小43 uurr 2-)，|OQ|2 (c221 Q(cc32 与 c易知，当c 2时,94uur5|OQ|最小，此时Q(5,23），2设椭圆方程为务a2y_b21,(a b0），则a2 b2254a 494b2，解得1a210b26 所以，椭圆方程为106urir3 uuury)，由PM-MQ得：2P(0,(3,y)(x, 3y)0，即 y24x14解:（1）设 M（x,y2x2uur unr由HP PM 0得:x)，Q(3,0)，由点Q在x轴的正半轴上，故X 0，即动点M的轨迹C是以（0,0）为顶点，以（1,0）为焦点的抛物线，除去原点;(2)设 m:y k(x 1)(k0)，代入 y 4x 得：2299k x2 (k2 )x k 0设A(x !, y!), B(x 2,y2)，则xX2是方程的两个实根,则 x1 x22(k22)2 k