理论力学第二、三、四章平面力系

1、静力学 第二章 平面力系 主讲教师：张磊 联系电话QQ: 2262093124 Email： 提纲 平面交汇力系 平面力对点之矩，平面力偶 平面任意力系的简化 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 物体系的平衡，静定和超静定问题 平面简单桁架的内力计算 21 平面汇交力系 平面汇交力系 R F 力的多边形法则 F4 F3 F2 F1 R F R F 1.平面汇交力系合成的几何法 i R FF FFFFnR . 21 F4 F3 F2 F1 R F * 平衡的几何条件： 力多边形自行封闭 平衡的充要条件 0 iR FF 2.平面汇交力系平衡的几何条件 F4 F3 F2 F1

2、 R F 3.平面汇交力系合成的解析法 jFiF FFF RyRx RyRxR cos cos RRy RRx FF FF x o y R F Rx F Ry F 合矢量投影定理 FF FF yRy xRx F4 F3 F2 F1 FR x o y 合力矢的大小和方向余弦 Rx Ry F F tg )()( 2 2 22 FFF yx FF RyRx R R x R F F iF ),cos( R y R F F jF ),cos( x o y R F Rx F Ry F 4、平面汇交力系的平衡方程 0 0 F F y x 0)( )( 2 2 F FFy x R 各力在两个坐标轴上投影的代数

3、和分别等 于零 A B 求图示结构中两杆受到的力 P A FAC FAB P C FCA P FAC FAB 取节点A , tg P FAB sin P FAC FBA 取节点A P A FAC FAB x y 0cos FFACAB 0sin P FAC sin P FAC Pctg FAB 0 F x 0 F y P A B C P A B C a a a FA FA FB 求A、B处的约束力 P A B C a a a FA FA FB 045cos45cos 00 BA FFP 0 F x 0 F y 0sinsin 4545 00 F FBA 22 平面力对点之矩.平面力偶 力对物体

4、的作用效应平移和转动。 力矩是力对物体转动效应的度量。 1、力对点之矩（力矩） hFFmO)( 力臂：h 矩心：O OAB A 2 平面问题：力矩是代数量 空间问题：定位矢量（作用在矩心上） hFFmO)( 符号规定：力使物体绕矩心逆时针转动为正 单位：Nm或kNm 力矩的大小取决于力的大小和矩心的位置 当力或力臂为零时，力矩为零 2、合力矩定理与力矩的解析表达式 )()( iORO FMFM cossinFyFxFMFMFM xOyOO ixiiyi RO FyFx FM xyO FyFxFM b a P K Px Py cossin)(PbPaPM K 点之矩对力求：OF a b F o

5、bFaFcossin Fx Fy bFaFFM yxo )( 3、力偶与力偶矩 由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成 的力系称为力偶，记作),(FF 两个要素 a.大小：力与力偶臂乘积 b.方向：转动方向 力偶矩 ABC AdFdFM 2 2 1 2 力偶中两力所在平面称为力偶作用面。 力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂。 * 力偶与力偶矩的性质 (1)力偶在任意坐标轴上的投影等于零。 (2) 力偶对任意点取矩都等于力偶矩， 不因矩心的改变而改变。 FdxFxdF FMFMFFM OOO 11 111 , FddF xFxdFFFMO 22 , 2 力矩的符号 FM O 力偶矩的符号 M

6、 4、同平面内力偶的等效定理 定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶 矩相等，则两力偶彼此等效。 推论一：任一力偶可以在它的作用面内任意移转， 而不改变它对刚体的作用，因此力偶对刚体的作用 与力偶在其作用面内的位置无关。 = = = = = = 推论二：只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变， 可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而 不改变力偶对刚体的作用。 4m 50KN 2m 100KN 8m 25KN 200KNm 力偶矩是平面力偶作用的唯一量度。 力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡。 5、平面力偶系的合成和平衡条件 合成 d d i MM 平衡条件 0 i MM FE 取系统 0 M

7、 i A B E m1 m2 L FB 0sin 21 mmF L E sin 21 L mm FE FFBE FFBE ？ 求：B、E处的约束力 0 1 n i i M 02 . 0 4321 mmmmFB 钻床如图示，已知4个力偶矩的大小，求两个 光滑螺栓受的力。 解：取钻床 N 300 BA FF FB FA A B C M a a a 的约束力求：BA、 取系统 0 i M 02 aFM A a M a M F F C A 2 2 2 FB FA 自重不计，C处光滑接触，若作用在AB杆上的力偶 的矩为m1，则欲使系统保持平衡，作用在CD杆上的 力偶的矩m2的转向如图示，其矩值应 。 （

8、A）m2 m1 ； （B）m2 4 m1 / 3 ； （C）m2 2 m1 ； （D）m2 m1 / 2 。 A m1 B C D m2 60 正确答案是：A A B C D E q P FE FB FAx FAy 2- 3 平面任意力系的简化 问题：平面任意力系如何简化？ FR 平面汇交力系的合成 平面力偶系的合成 d d i mM 问题：平面任意力系如何简化？ 1、力的平移定理 可将作用于刚体上A点的力F F 平行移到任一 点B，但必须同时附加一个力偶，此附加力偶的矩等 于原来的力F F 对新的作用点B的矩。 “简化中心”O基本力系 平移 FR 2、平面任意力系向作用面内一点简化 主矢和主

9、矩 简化结果 22 22 )()( yxRyRxR FFFFF 主矢 FFFFiR 21 )( 21 FMMMMM OnO 主矩 方向 大小 R x R F F iF ),cos( R y R F F jF ),cos( 与简化中心的关系 OR MF, 与简化中心位置无关 R F 一般， 与简化中心位置有关 O M 主矩 Mo FR 主矩 主矢 A P A P FR A P MA A P FAx FAy MA * 固定端约束反力分析 0, 0) 1 ( MF O R 0, 0) 2( M F OR 0, 0) 3( MFO R 0, 0)4( MFO R 3、平面任意力系的简化结果分析 * 原

10、力系与一个力偶等效 * 思考：若向其它点简化，结果如何？ * 此时，主矩与简化中心的位置无关！ O Mo 0, 0) 1 ( 0 MF R O FR * O点不是任意的 * 原力系与一个通过O点的力等效 * 思考： O点是否唯一？ 0, 0)2( 0 M FR FR O M d 可进一步简化为：过新的简化中心的合力。 0, 0)3( MFO R 合力矩定理 )()(FMMdFFM OORRO 此结果的意义是什么？ * 思考： 平面一般力系的简化结果有几种可能？ 0, 0)4( MFO R （1）一力偶； （2）一合力； （3）平衡 分布载荷的简化 * 三角形分布 q L * 均布分布 q L

11、* 梯形分布 q 1q 2 L * 任意分布 L )( xq q L Q qLQ q L Q qLQ 2 1 L 3 2 x y o P1 P2 P3 P4 m m2 m2 m3 m3 30 0 60 0 ,4,10,6,8 4321 KN P KN P KN P KN P ，求：合力KNmm2 FFxRx FFyRy KN FFFRyRxR 1 . 5 312. 4 2222 KN12. 4 6030 0 4 0 31 sincos PPP KN3 6030 0 4 0 32 cossin PPP )(FMM OO KNm4 m PPPP 6033022 0 4 0 321 sinsin3

12、x y o P1 P2 P3 P4 m m2 m2 m3 m3 30 0 60 0 x y o F F tg Rx Ry 1 m F d R OM 78. 0 KNm Mo 4 FR Mo FR d )(3 KN FFyRy )( 1 . 5KN FR )(12. 4KN FFyRx 45 143 0 3 12. 4 1 tg 1、平衡条件和平衡方程 0 Fy 0 Fx 0 FFiR 0)( FM O 24 平面任意力系的平衡条件 和平衡方程 0 O M 四轮上料小车，重,40KNQ mmbmma850,200 mme330 mmd400, 求：等速上升时（忽略摩擦），绳的拉力及 各轮对导轨的

13、压力 ed a Q T A B C D b 取料车 0 F x 0 F y 0mD * 可得：KNT64.30 KN FB 94. 6 KN FA 77.18 0sinQT 0sincos)(eQaQba FB FA FB ed a Q T A B C D b x y o 0cosQ FFBA KNT64.30 KN FB 94. 6 KN FA 77.18 思考：如何判断一个平面任意力系的问 题是否可解？ FA FB ed a Q T A B C D b x y o 思考：怎样列方程比较有利于计算？ FA FB ed a Q T A B C D b x y o 2、平衡方程的其他形式 （1）

14、二矩式 0 MA 0 MB 0 Fx （2）三矩式 0 MA 0 MB 0 MC 三矩心不共线 A，B连线不垂直于Ox轴 如果不遵循 “限制条件”，会有什么后果？ FA FB ed a Q T A B C D b x y o 3、平面平衡力系 x y o 0 Fy 0 MO * 可解2个未知量的问题。 1、物体系的平衡 整体平衡部分平衡 构件平衡 “点”平衡 25 物体系的平衡静定和超静定问题 方案 整 体分 离 体 分离 体整 体 分 离 体 分离 体 A B C P FAx FAy MA FC BC P FC FB A B FAx FAy MA FB AB C q aa a 取系统： FA

15、x FAy FBx FBy 求：A、B的约束力 AB C q aa a FAx FAy FBx FBy 02 2 1 aq FFByAy 0 Fy 取系统： 02 3 2 2 2 1 2aaqa FBy 0 MA AB C q aa a FAx FAy FBx FBy B C q 2 q FBx FBy A 2 q C FAx FAy Fcx Fcy Fcx Fcy A 2 q C FAx FAy Fcx Fcy 取AC 0 3 1 22 1 aa q aa FFAyAx 0 MC AB C q aa a FAx FAy FBx FBy 再取系统 0F FBxAx 0 Fx FE FB FAx

16、 FAy A B C D E q P aa a a 的约束力求：已知：EBAqaP、,4 FAx FAy FB A B C aa q Fcx Fcy FE D E q P aa C Fcx Fcy FE D E q P aa C Fcx Fcy 取CD 0 2 2 a qaaPa FE 0 MC FAx FAy FB A B C aa q Fcx Fcy FE FB FAx FAy A B C D E q P aa a a 取系统 0 FAx 0 Fx 0m A 04322aPaaaqa FFEB 0 Fy 02Paq FFFEBAy q M a2 a a3 A B C D MA M C D

17、FD FAx FAy FD FC 求：固定端 A 的约束力 M C D FD FC 取CD 杆 0 m i 060sin3 0 aM FD q M a2 a a3 A B C D MA FD FAx FAy q M a2 a a3 A B C D MA FD FAx FAy 取系统 060cos 0 F FDAx 0 Fx 0 Fy 02 2 1 60sin 0 aq FFDAy 02 3 1 2 2 1 3cos60 0 aaqaM FMDA 0 MA q M a2 a a3 A B C D MA M C D FD FAx FAy FD FC 求：固定端 A 的约束力 其它方案？ Lm,已知

18、： 的约束力求：CA, 60 0 60 0 AB C D E m L 2 L 60 0 60 0 AB C D E m L 2 L FAFB 取系统 0 m i 0 mL FA L m F A 60 0 60 0 AB C D E m L 2 L 60 0 60 0 AB C D E m L 2 L FAFB A C D FA FD FC 0 F y 0)cos(30 0 FFCA )cos(/ 30 0 FFAC 取AC杆 )cos(30 0 L m 60 0 60 0 AB C D E m L 2 L 60 0 60 0 AB C D E m L 2 L FAFB A C D FA FD

19、取AC杆 Fcx Fcy 0 Fy 0 FFCyA 0cos 2 cos 2 sin 2 606060 000 LLL FFFACyCx 0 mD 取系统 0242 aaqPaa FAx 0 mC Fcx Fcy FAy 0F FxCAx 0 Fx 求支座A 、C 的约束力 A B C D q P 45 0 aaa2 FAx A B D q FDx FDy FAx FAy CP D FDx FDy Fcx Fcy FDy 02 a FAy 0 mD 取AB Fcx A B C D q P Fcy FAx FAy 45 0 aaa2 再取系统 0 Fy 04Paq FFyCyA Fcx Fcy

20、FAx FAy 求支座A、C 的约束力 A B C D q P 45 0 aaa2 其它方案？ A B C D M q aa a a a FC FAx FAy MA 已知： ,求A 处的约束力 2 4qaM BCD q FAx FAy A B M MA Fc FBx FBy FBx FBy 取DB 02 aaqa FC 0 mB qa FC 2 A B C D M q aa a a a FC FAx FAy MA 取整体 0 FAx 0 Fx 0 Fy 02 aq FFCyA 0222 aaqa A FM M C 0 mA 0 FAx 0 FyA qa MA 4 2 FDx FDy FAx F

21、Ay MA a B q C AD a M 已知： ,求A 处的约束力 2 4qaM q D C FDx Fcx Fcy FDy M BCFBx FBy Fcx Fcy B A FAx FAy MA FBx FBy 各杆的受力图 方案一 取DC 0 mC 0 2 a qaa FxD q D C FDx Fcx Fcy FDy a FDx FDy FBx FBy q C D a M a B 取DCB 02 Maaqaa FFDyDx 0 mB FDx FDy FAx FAy MA a B q C A D a M 取整体 0qa FFDxAx 0 Fx 0 Fy 0F FDyyA 0 2 a qaa

22、 A FM M Dy 0 mA 方案二取DC 0 mD 0 2 a qaa FxC q D C FDx Fcx Fcy FDy a M BCFBx FBy Fcx Fcy 取CB 0 mB 0 Ma FyC FAx FAy MA a B C A a M Fcx Fcy 取CBA 0F FCxAx 0 Fx 0 Fy 0F FCyyA 0 aa A F FM MCx Cy 0 mA 2、静定与静不定的概念 PPP P P P P A B C P BC P A B B C P BA （1）静定与静不定 * 静不定（超静定） 静力学不能决（确）定的问题 （2）超静定“次”数 未知数 独立的平衡方程数 （3）解决方法 建立补充方程 变形协调方程