吉林省松原市扶余县重点中学2014-2015学年高一上学期期末数学试卷

1、吉林省松原市扶余县重点中学2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一、选择题：1（5分）设全集U=1，2，3，4，集合S=l，3，T=4，则（US）T等于（）A2，4B4CD1，3，42（5分）已知点A（x，1，2）和点B（2，3，4），且，则实数x的值是（）A3或4B6或2C3或4D6或23（5分）函数f（x）=ex+4x3的零点所在的大致区间是（）A（，0）B（0，）C（，）D（，）4（5分）已知直线m、n与平面，给出下列三个命题：若m，n，则mn；若m，n，则nm；若m，m，则其中真命题的个数是（）A0B1C2D35（5分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积

2、是（）A108cm3B100cm3C92cm3D84cm36（5分）已知函数f（x）=（）|x|，设a=f（20.3），b=f（log20.3），c=f（ln10），则a，b，c的大小关系是（）AacbBbacCcabDabc7（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，点O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任一点，则异面直线OP与AM所成的角的大小为（）A30B60C90D1208（5分）两直线3x+y3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（）A4BCD9（5分）M（x0，y0）为圆x2+y2=a2（a0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=a2与该圆

3、的位置关系为（）A相切B相交C相离D相切或相交10（5分）如图，三棱柱ABCABC的所有棱长都相等，侧棱与底面垂直，M是侧棱BB的中点，则二面角MACB的大小为（）A30B45C60D7511（5分）在正方体ABCDABCD中，直线BC与平面ABD所成的角的余弦值等于（）ABCD12（5分）对于函数f（x）=ax3+bx+d（其中a，b，cR，dZ），选取a，b，c，d的一组值计算f（m）和f（m），所得出的正确结果一定不可能是（）A3和7B2和6C5和11D1和4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡的横线上，填在试卷上的答案无效）13（5分）若三点A（2，2

4、），B（a，0），C（0，b）（ab0）共线，则的值等于14（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则弦AB的长等于15（5分）将半径为6的圆形铁皮 减去面积为原来的的扇形，余下的部分卷成一个圆锥的侧面，则其体积为16（5分）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，则球O的表面积等于三、解答题：（共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）.17（10分）在直线l：3xy1=0上存在一点P，使得：P点到点A（4，1）和点B（3，4）的距离之和最小求此时的距离之和18（12分）在青岛崂山区附近有一个小岛的周围有环岛

5、暗礁，暗礁分布在以小岛的中心为圆心，半径为30km的圆形区域已知小岛中心位于轮船正西70km处，港口位于小岛中心正北40km处如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？为什么？19（12分）如图，已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC，D为BC的中点（1）若平面ABC平面BCC1B1，求证：ADDC1；（2）求证：A1B平面ADC120（12分）已知圆C：x2+y26x4y+4=0，直线l1被圆所截得的弦的中点为P（5，3）求直线l1的方程若直线l2：x+y+b=0与圆C相交，求b的取值范围是否存在常数b，使得直线l2被圆C所截得的弦的中点落在直线l1上？若存在，求出b的值；若不存在，

6、说明理由21（12分）已知函数f（x）=是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3）（）求实数a，b的值；（）求函数f（x）在x0时的值域22（12分）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=2BC=2BB1，沿平面C1BD把这个长方体截成两个几何体：几何体（1）；几何体（2）（ I）设几何体（1）、几何体（2）的体积分为是V1、V2，求V1与V2的比值（ II）在几何体（2）中，求二面角PQRC的正切值吉林省松原市扶余县重点中学2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：1（5分）设全集U=1，2，3，4，集合S=l，3，T=4，则（US）T等于（）

7、A2，4B4CD1，3，4考点：交、并、补集的混合运算 专题：集合分析：利用集合的交、并、补集的混合运算求解解答：解：全集U=1，2，3，4，集合S=l，3，T=4，（US）T=2，44=2，4故选：A点评：本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题，解题时要认真审题2（5分）已知点A（x，1，2）和点B（2，3，4），且，则实数x的值是（）A3或4B6或2C3或4D6或2考点：空间两点间的距离公式 专题：计算题分析：利用空间两点之间的距离公式，写出两点的距离的表示式，得到关于x的方程，求方程的解即可解答：解：点A（x，1，2）和点B（2，3，4），x24x12=0x=6，x=2故选D点评

8、：本题考查空间两点之间的距离，是一个基础题，题目的解法非常简单，若出现一定不要丢分3（5分）函数f（x）=ex+4x3的零点所在的大致区间是（）A（，0）B（0，）C（，）D（，）考点：函数零点的判定定理 专题：函数的性质及应用分析：确定f（0）=13=20，f（）=10，f（）=0，f（1）=e+43=e+10，根据零点存在定理，可得结论解答：解：函数f（x）=ex+4x3在R上是增函数，求解：f（0）=13=20，f（）=10，f（）=0，f（1）=e+43=e+10，根据零点存在定理，可得函数f（x）=2x+3x4的零点所在的大致区间是（，）故选：C点评：本题考查零点存在定理，考查学生的

9、计算能力，属于基础题4（5分）已知直线m、n与平面，给出下列三个命题：若m，n，则mn；若m，n，则nm；若m，m，则其中真命题的个数是（）A0B1C2D3考点：平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系 专题：综合题分析：根据线面平行的性质，线面垂直的性质，面面平行的判定，结合空间点线面之间的关系，我们逐一分析已知中的三个命题即可得到答案解答：解：m，n，时，m与n可能平行、可能异面也可能相交，故错误；m，n时，存在直线l，使ml，则nl，也必有nm，故正确；m，m时，直线l，使lm，则n，则，故正确；故选C点评：本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，空间中直线与平面之间

10、的位置关系，熟练掌握空间线面关系的判定方法，建立良好的空间想象能力是解答本题的关键5（5分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A108cm3B100cm3C92cm3D84cm3考点：由三视图求面积、体积 专题：立体几何分析：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）据此即可得出体积解答：解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）该几何体的体积V=663=100故选B点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键6（5分

11、）已知函数f（x）=（）|x|，设a=f（20.3），b=f（log20.3），c=f（ln10），则a，b，c的大小关系是（）AacbBbacCcabDabc考点：指数型复合函数的性质及应用 专题：函数的性质及应用分析：比较20.3，log20.3，ln10的绝对值的大小，结合指数函数的单调性即可解得此题解答：解：|20.3|=20.31，1|log20.3|=log22，ln102，|20.3|log20.3|ln10|；又y=（）x是减函数，f（20.3）f（log20.3）f（ln10）；故abc故选：D点评：本题主要考察了利用指数型复合函数的单调性比较大小，属于中档题7（5分）在正方

12、体ABCDA1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，点O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任一点，则异面直线OP与AM所成的角的大小为（）A30B60C90D120考点：异面直线及其所成的角 专题：空间角分析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线OP与AM所成的角的大小解答：解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为2，A1P=t（0t1），A（2，0，0），M（0，0，1）O（1，1，0），P（2，t，2），=（2，0，1），=（1，t1，2），=2+0+2=0

13、，异面直线OP与AM所成的角的大小为90故选：C点评：本题考查异面直线OP与AM所成的角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法合理运用8（5分）两直线3x+y3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（）A4BCD考点：两条平行直线间的距离 专题：计算题；转化思想分析：根据两直线平行（与y轴平行除外）时斜率相等，得到m的值，然后从第一条直线上取一点，求出这点到第二条直线的距离即为平行线间的距离解答：解：根据两直线平行得到斜率相等即3=，解得m=2，则直线为6x+2y+1=0，取3x+y3=0上一点（1，0）求出点到直线的距离即为两平行线间的距离，所以d=故选D点评：此题是

14、一道基础题，要求学生会把两条直线间的距离转化为点到直线的距离9（5分）M（x0，y0）为圆x2+y2=a2（a0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系为（）A相切B相交C相离D相切或相交考点：直线与圆的位置关系 专题：计算题分析：由圆的方程找出圆心坐标与半径，因为M为圆内一点，所以M到圆心的距离小于圆的半径，利用两点间的距离公式表示出一个不等式，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，根据求出的不等式即可得到d大于半径r，得到直线与圆的位置关系是相离解答：解：由圆的方程得到圆心坐标为（0，0），半径r=a，由M为圆内一点得到：a，则圆心到已知直线的距离d

15、=a=r，所以直线与圆的位置关系为：相离故选C点评：此题考查小时掌握点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系的判断方法，灵活运用两点间的距离公式及点到直线的距离公式化简求值，是一道综合题10（5分）如图，三棱柱ABCABC的所有棱长都相等，侧棱与底面垂直，M是侧棱BB的中点，则二面角MACB的大小为（）A30B45C60D75考点：二面角的平面角及求法 专题：计算题分析：由已知中三棱柱ABCABC的所有棱长都相等，侧棱与底面垂直，易得三棱柱ABCABC为直三棱柱，ABC，MAC均是以AC为底的等腰三角形，取AC的中点D，连接BD，MD，由二面角的平面角的定义，可得MDB即为二面角MACB的平面角，

16、解RtMBD，即可求出二面角MACB的大小解答：解：由已知中三棱柱ABCABC的所有棱长都相等，侧棱与底面垂直，可得三棱柱ABCABC为直三棱柱取AC的中点D，连接BD，MD，则MDAC，BDACMDB即为二面角MACB的平面角，在RtMBD中，M是侧棱BB的中点tanMDB=故MDB=30即二面角MACB的大小为30故选A点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，其中由二面角的平面角的定义，证得MDB即为二面角MACB的平面角，是解答本题的关键11（5分）在正方体ABCDABCD中，直线BC与平面ABD所成的角的余弦值等于（）ABCD考点：直线与平面所成的角 专题：计算题分析：以A点为坐

17、标原点，以AB，AD，AA方向为x，y，z轴正方向建立空间坐标系，分别求出直线BC的方向向量与平面ABD的法向量坐标，代入向量夹角公式，求出直线BC与平面ABD所成的角的正弦值，再由同角三角函数关系即可求出直线BC与平面ABD所成的角的余弦值解答：解：以A点为坐标原点，以AB，AD，AA方向为x，y，z轴正方向建立空间坐标系则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，1）则=（0，1，1）由正方体的几何特征易得向量=（1，1，1）为平面ABD的一个法向量设直线BC与平面ABD所成的角为则sin=则cos=故选B点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，其中建立空间坐标系，将线面夹角问题

18、，转化为向量夹角问题是解答本题的关键12（5分）对于函数f（x）=ax3+bx+d（其中a，b，cR，dZ），选取a，b，c，d的一组值计算f（m）和f（m），所得出的正确结果一定不可能是（）A3和7B2和6C5和11D1和4考点：函数的值 专题：函数的性质及应用分析：在函数解析中分别取x=m和x=m，两式相加后得到d=，由d为整数可得f（m）和f（m）的和为偶数，由此可得答案解答：解：f（x）=ax3+bx+df（m）=am3+bm+d，f（m）=am3bm+df（m）+f（m）=2d，即d=因为d为整数，而选项A、B、C、D中两个数之和除以2不为整数的是选项D所以正确结果一定不可能的为D故

19、选：D点评：本题考查了函数奇偶性的性质，考查了学生分析问题和解决问题的能力，解答此题的关键是由d=判断f（m）和f（m）的和为偶数，是基础题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡的横线上，填在试卷上的答案无效）13（5分）若三点A（2，2），B（a，0），C（0，b）（ab0）共线，则的值等于考点：平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的坐标运算 分析：三点共线得两向量共线，用两向量共线的坐标公式列方程求解解答：解：，依题意知，有（a2）（b2）4=0即ab2a2b=0所以=故答案为点评：考查两向量共线的充要条件14（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线3x+

20、4y5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则弦AB的长等于考点：直线与圆的位置关系 专题：计算题分析：求出圆心到直线3x+4y5=0的距离，利用勾股定理，可得结论解答：解：圆x2+y2=4的圆心坐标为（0，0），半径为2圆心到直线3x+4y5=0的距离为=1弦AB的长等于2=故答案为：点评：本题考查圆心到直线的距离，考查垂径定理，考查学生的计算能力，属于基础题15（5分）将半径为6的圆形铁皮 减去面积为原来的的扇形，余下的部分卷成一个圆锥的侧面，则其体积为考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：空间位置关系与距离分析：由题意可得剩下的扇形是整个圆的，设卷成的圆锥的底

21、面半径为r，利用扇形的弧长就等于圆锥的底面的周长求得r的值，可得圆锥的高，从而求得圆锥的体积解答：解：由题意可得剩下的扇形是整个圆的，设卷成的圆锥的底面半径为r，根据2r=26，求得r=5，则圆锥的高为h=，故圆锥的体积为r2h=25=，故答案为：点评：本题主要考查求圆锥的体积，注意利用扇形的弧长就等于圆锥的底面的周长，属于基础题16（5分）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，则球O的表面积等于16考点：球的体积和表面积 专题：压轴题；空间位置关系与距离分析：正确作出图形，利用勾股定理，建立方程，即可求得结论解答：解：如图所示，设球O的半径为r，AB是公共弦，OCK是面

22、面角根据题意得OC=，CK=在OCK中，OC2=OK2+CK2，即r2=4球O的表面积等于4r2=16故答案为16点评：本题考查球的表面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题三、解答题：（共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）.17（10分）在直线l：3xy1=0上存在一点P，使得：P点到点A（4，1）和点B（3，4）的距离之和最小求此时的距离之和考点：点到直线的距离公式 专题：直线与圆分析：设点B（3，4）关于直线l：3xy1=0的对称点为B（a，b），可得，解得a，b，则|PA|+|PB|取得最小值=|AB|解答：解：设点B（3，4）关于直线l：3xy1=0的对称点为

23、B（a，b），则，解得a=，b=，B|PA|+|PB|取得最小值=|AB|=点评：本题考查了垂直平分线的性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，属于基础题18（12分）在青岛崂山区附近有一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛的中心为圆心，半径为30km的圆形区域已知小岛中心位于轮船正西70km处，港口位于小岛中心正北40km处如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？为什么？考点：解三角形的实际应用 专题：应用题；直线与圆分析：我们以港口中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系进而可推断出以小岛的中心为圆心，半径为30km的圆形区域所对应的圆的方程，及轮船航线所在

24、直线l的方程，进而求得圆心到直线的距离，解果大于半径推断出轮船没有触礁危险解答：解：我们以港口中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系这样，以小岛的中心为圆心，半径为30km的圆形区域所对应的圆的方程为x2+y2=302轮船航线所在直线l的方程为，即4x+7y280=0如果圆O与直线l有公共点，则轮船有触礁危险，需要改变航向；如果O与直线l无公共点，则轮船没有触礁危险，无需改变航向由于圆心O（0，0）到直线l的距离d=30，所以直线l与圆O无公共点这说明轮船将没有触礁危险，不用改变航向点评：本题主要考查了根据实际问题选择函数类型解题的关键是看圆与直线是否有交点19（12分）如图，

25、已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC，D为BC的中点（1）若平面ABC平面BCC1B1，求证：ADDC1；（2）求证：A1B平面ADC1考点：平面与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离分析：（1）由D为等腰三角形底边BC的中点，利用等腰三角形的性质可得ADBC，再利用已知面面垂直的性质即可证出（2）证法一：连接A1C，交AC1于点O，再连接OD，利用三角形的中位线定理，即可证得A1BOD，进而再利用线面平行的判定定理证得证法二：取B1C1的中点D1，连接A1D1，DD1，D1B，可得四边形BDC1D1及D1A1AD是平行四边形进而可得平面A1BD1平面ADC1

26、再利用线面平行的判定定理即可证得结论解答：（本小题满分14分）证明：（1）因为AB=AC，D为BC的中点，所以ADBC 因为平面ABC平面BCC1B1，平面ABC平面BCC1B1=BC，AD平面ABC，所以AD平面BCC1B1 （5分）因为DC1平面BCC1B1，所以ADDC1 （7分）（2）（证法一） 连接A1C，交AC1于点O，连接OD，则O为A1C的中点因为D为BC的中点，所以ODA1B （11分）因为OD平面ADC1，A1B平面ADC1，所以A1B平面ADC1 （14分）（证法二） 取B1C1的中点D1，连接A1D1，DD1，D1B则D1C1BD所以四边形BDC1D1是平行四边形所以D

27、1BC1D因为C1D平面ADC1，D1B平面ADC1，所以D1B平面ADC1同理可证A1D1平面ADC1因为A1D1平面A1BD1，D1B平面A1BD1，A1D1D1B=D1，所以平面A1BD1平面ADC1 （11分）因为A1B平面A1BD1，所以A1B平面ADC1 （14分）点评：本题考查了线面垂直和线面平行，充分理解其判定定理和性质定理是解决问题的关键遇到中点添加辅助线常想到三角形的中位线或平行四边形20（12分）已知圆C：x2+y26x4y+4=0，直线l1被圆所截得的弦的中点为P（5，3）求直线l1的方程若直线l2：x+y+b=0与圆C相交，求b的取值范围是否存在常数b，使得直线l2被

28、圆C所截得的弦的中点落在直线l1上？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由考点：直线和圆的方程的应用；直线与圆的位置关系 专题：计算题；综合题分析：（1）设直线l1的斜率为则k，由题意可得圆心C（3，2），又弦的中点为P（5，3），可求得kPC=，由kkPC=1可求k，从而可求直线l1的方程；（2）若直线l2：x+y+b=0与圆C相交，圆心到直线l2的距离小于半径，从而可求得b的取值范围；（3）设直线l2被圆C解得的弦的中点为M（x，y），由直线l2与CM垂直，可得xy1=0，与x+y+b=0联立可求得x0，y0，代入直线l1的方程，求得b，验证即可解答：解：圆C的方程化标准方程为：（x3）2+（y2）2=9，圆心C（3，2），半径r=3设直线l1的斜率为则k，则k=2直线l1的方程为：y3=2（x5）即2x+y13=0圆的半径r=3，要使直线l2与圆C相交则须有：3，|5|3于是b的取值范围是：35b35设直线l2被圆C解得的弦的中点为M（x，y），则直线l2与CM垂直，于是有：=1，整理可得：xy1=0又点M（x，y）在直线l2上，x+y+b=0由解得：