等差等比数列求和公式推导PPT学习教案

1、会计学1 等差等比数列求和公式推导等差等比数列求和公式推导 练习: 求和 1. 1+2+3+n 答案: Sn=n(n+1)/2 2. 2+4+8+2n 答案: Sn=2n+1-2 方法：直接求和法 第1页/共14页 例1 求数列 x, 2x2,3x3, nxn， 的前n项和。 解： 当x=0时 Sn=0 当x=1时 Sn=1+2+3+ n=n(n+1)/2 当x1时 Sn=x+ 2x2+3x3+ + nxn xSn= x2 +2x3+3x4 + (n-1)xn +nxn +1 得：(1-x)Sn=x+ x2+x3+ +xn - nxn +1 化简得： Sn =x(1- xn )/(1-x) 2

2、 - nxn +1 /(1-x) 第2页/共14页 0 (x=0) 综合得 Sn= n(n+1)/2 (x=1) x(1- xn )/(1-x) 2 - nxn +1 /(1-x) (x1） 第3页/共14页 小结 1: “错项相减法”求和,常应用于型 如anbn的数列求和,其中an为等 差数列, bn 为等比数列. 第4页/共14页 练习 1 求和: 1/2+2/4+3/8+n/2n 方法: 可以将等式两边同时乘以2或 1/2,然后利用“错位相减法”求 和. 第5页/共14页 例2：求和S n= 1 25 + 1 58 + 1 81 1 + + 1 (3n-1) (3n+2) 解：数列的通项

3、公式为 a n= 1 (3n-1) (3n+2) = 1 3 ( 1 3n-1 - 1 3n+2 ) Sn= 1 3 (1 2 -1 5 + 1 5 -1 8 + 1 8 - 1 11 + 1 3n-4 - 1 3n-1 + 1 3n-1 - 1 3n+2 ) = 1 3 ( 1 2 - 1 3n+2 )= 1 6n+4 第6页/共14页 小结2： 本题利用的是“裂项相消法”，此 法常用于形如1/f(n)g(n)的数列求和 ，其中f(n),g(n)是关于n（nN)的一 次函数。 把数列中的每一项都拆成两项的 差，从而产生一些可以相消的项 ，最后剩下有限的几项。 方法 ： 对裂项公式的分析，通俗

4、地 说，裂项，裂什麽？裂通项 。 此方法应注 意： 第7页/共14页 练习 2： 求和 1 14 + 1 47 + 1 710 + 1 (3n-2)(3n+1) 接下来可用“裂项相消 法”来求和。 an= 1 (3n-2)(3n+1) = 1 3 ( 1 3n-2 - 1 3n+1 ) 分析： 第8页/共14页 例 3：求和 1+(1+1 2 )+(1+ 1 2 + 1 4 )+(1+ 1 2 + 1 4 + 1 2n-1 ) 解：an=1+ 1 2 + 1 4 + 1 2n-1 = 1（1- 1 2n ） ） 1-1 2 =2- 1 2n-1 Sn=(2- 1 20 )+(2- 1 21 )

5、+(2- 1 22 )+(2- 1 2n-1 ) =2n-( 1 20 + 1 21 + 1 22 + 1 2n-1 ) =2n- 1（1- 1 2n ） ） 1-1 2 =2n+ 1 2n-1 2 第9页/共14页 小结 3： 本题利用的是“分解转化求和法” 方法 ： 把数列的通项分解成几项，从 而出现几个等差数列或等比数 列，再根据公式进行求和。 第10页/共14页 练习 3 求和：1+（1+2）+（ 1+2+22)+(1+2+22 +2n-1) 分析：利用“分解转化求和” 第11页/共14页 总结： 直接求和（公式法）等差、或等比数列用求和公式，常数列直接运算。 倒序求和 等差数列的求和方法 错项相减数列 anbn的求和，其中an是等差数列，bn是等比数列。 裂项相消 分解转化法把通项分解成几项，从而出现几个等差数列或