精算概率论课件

1、精算概率论课件 一、一、 条件概率条件概率 的概念的概念 引例引例 某厂有职工某厂有职工500500人，男职工人，男职工300300人、女职工人、女职工200200人，人， 男女职工中非熟练工人分别有男女职工中非熟练工人分别有40104010人。现从该工厂任意选人。现从该工厂任意选 出一名职工，问：出一名职工，问： 解解 设设A=A=选到非熟练工人选到非熟练工人 ， 501 (1) () 50010 P A 101 (2) (|) 20020 P A B 1.3 条条 件件 概概 率率 （1 1）该职工为非熟练工人的概率是多少？）该职工为非熟练工人的概率是多少？ （2 2）若已知选出的是女职工

2、，她是非熟练工人的概率为？）若已知选出的是女职工，她是非熟练工人的概率为？ B=B=选到女职工选到女职工 精算概率论课件 为事件为事件发生的条件下事件发生的条件下事件 发生的发生的 定义定义1.41.4设设A、B是是 中的两个随机事件中的两个随机事件, , P(B)0, ,称称 () (|) ( ) P AB P A B P B 1010 500() (|) 200200 500() P AB P A B P B 对于一般的古典概型问题，设样本点总数为对于一般的古典概型问题，设样本点总数为n, ,事件事件B B 包含包含m个样本点，事件个样本点，事件ABAB包含包含k个样本点，则有个样本点，则

3、有 () (|) ( ) kk nP AB P A B mm nP B 精算概率论课件 条件概率条件概率 符合概率定义中的三个条件：符合概率定义中的三个条件：(|)P A B (2) (|)1PB 1212 (.)|)(|)(|).PAABP ABP AB 因而概率的其它性质也适用于条件概率，如因而概率的其它性质也适用于条件概率，如 121212 (|)(|)(|)(|)P AABP ABP ABP A AB 12 ,.A A（3 3）设）设 是两两互不相容的事件，则有是两两互不相容的事件，则有 (|)0P A B （1 1）对任一事件）对任一事件A A，有，有 (|)1(|)P A BP A

4、 B 精算概率论课件 (),(),(),()()PBAPBAPA BPA BPA B以 及 6 62 4 (), () 7 03 0 PBAPBA 664 (), () 9010 P A BP A B 66 () 100 P AB 例例1 一批产品一批产品100件，有正品件，有正品90件，次品件，次品10件。其中甲车间生件。其中甲车间生 产的为产的为70件，有件，有66件正品；乙车间生产的为件正品；乙车间生产的为30件。现从该批产品件。现从该批产品 中任取一件，并设中任取一件，并设A表示表示“取到甲车间的产品取到甲车间的产品”，B表示表示“取到正品取到正品”。 求求 解解 此例虽然简单此例虽然

5、简单,但却可以帮助我们理解条件概率的概念。初学者但却可以帮助我们理解条件概率的概念。初学者 往往容易把往往容易把 样本空间不一样，可通过本例进一步体会二者的不同。样本空间不一样，可通过本例进一步体会二者的不同。 ()()P A BP AB与 混淆起来，两者的区别在于混淆起来，两者的区别在于所讨论的所讨论的 精算概率论课件 例例2 已知已知( )0.3, ( )0.4, ()0.5P AP BP AB求求 (|).P B AB 解解 由条件概率的定义，有由条件概率的定义，有 () (|) () P AB P B AB P AB 其中其中 ()( )( )()0.70.60.50.8P ABP A

6、P BP AB 又由又由 ()( )()0.5P ABP AP AB 可得可得 ()( )0.50.70.50.2P ABP A 于是于是 ()0.2 (|)0.25 0.8() P AB P B AB P AB 精算概率论课件 ().P B A () () ( ) P AB P B A P A , BAABB所以 ( )0.255 () 1 0.4511( ) P B P B A P A 例例3 设甲、乙两个车间的产品分别占全厂总产品的设甲、乙两个车间的产品分别占全厂总产品的45%和和25%. 现从工厂全部产品中任意抽取一件，结果发现它不是甲车间现从工厂全部产品中任意抽取一件，结果发现它不是

7、甲车间 生产的，求其为乙车间生产的概率。生产的，求其为乙车间生产的概率。 由定义，有由定义，有 又因又因，于是，于是 解解 设设A表示表示“抽到甲车间的产品抽到甲车间的产品”，B表示表示“抽到乙车间的产品抽到乙车间的产品”。 由题设，有由题设，有 P(A)=0.45, P(B)=0.25 而所求概率为条件概率而所求概率为条件概率 精算概率论课件 二、二、 乘法公式乘法公式 设设A A、B B是两个事件。是两个事件。 若若P P（B B）0,0,则由条件概率公式则由条件概率公式 () (|), ( ) P AB P A B P B ()( ) (|) (1)P ABP B P A B 可得可得

8、又若又若P P（A A）0,0,则由条件概率公式则由条件概率公式 () (|), ( ) P AB P B A P A 可得可得 ()() (|) (2)P ABP A P B A 公式（公式（1 1）和（）和（2 2）称为乘法公式）称为乘法公式。 精算概率论课件 乘法公式的推广乘法公式的推广： (1)()0,()(|)(|)若则（ ）P ABP ABCP AP B AP C AB 12121 (2),2,() 0, nn nAAA nP AAA 设有 个事件 ， ，.且， ，.则 12121312121 ()|.（ ）（）（）.（.） nnn P AAAP AP A AP A AAP A A

9、AA 精算概率论课件 例例4 4 袋中有袋中有a a只红球和只红球和b b只白球。从中任取只白球。从中任取1 1球随即球随即 放回并同时放进与取出的球同色的球放回并同时放进与取出的球同色的球c c个，再做第二次个，再做第二次 抽取，如此重复抽取，如此重复3 3次。求取出的次。求取出的3 3只球中前只球中前2 2只是白球只是白球 而后一只是红球的概率。而后一只是红球的概率。 123121312 ()() (|) (|) = 2 P A A AP A P AA P AA A bbca ab abc abc 解解 设设 (1,2,3) i A i 表示表示“第第i次取到白球次取到白球”，则由乘法，则

10、由乘法 公式，可得公式，可得 精算概率论课件 例例5 某人写好某人写好5封信和封信和5个信封个信封.现随机地把信装入现随机地把信装入 信封信封.求恰有一封信装对的概率求恰有一封信装对的概率. 解解 设设A i 表示表示“第第i封信装对封信装对” （i=1,2,3,4,5） 又设又设A表示恰好装对一封信表示恰好装对一封信,则有则有 12345 123451 ( )5 () =5 () () 4!1113 =511 5!2!3!4!8 P AP AAAAA P A P AAAA A 精算概率论课件 例例6 已知某工厂生产的产品的合格率为已知某工厂生产的产品的合格率为0.96，而合格品中的，而合格品

11、中的 一级品率为一级品率为0.75.求该厂产品的一级品率。求该厂产品的一级品率。 解解 设设A表示表示“产品是一级品产品是一级品”，B表示表示“产品是合格品产品是合格品”，依题设，依题设 ,ABAAB又因，故有于是:( )0.96, ()0.75.P BP A B ( )()( )()0.96 0.750.72P AP ABP BP A B 精算概率论课件 三、全概率公式与贝叶斯公式三、全概率公式与贝叶斯公式 定义定义1.5 设设 为试验为试验E的样本空间的样本空间, 为为E的一组的一组 事件事件,若若 12 ，. n BBB 12 ， ，. n BBB （1 1）两两互不相容，即两两互不相容

12、，即 , ,1,2,. ij BBij i jn 12 (2) . n BBB 12 ，. n BBB 则称则称为为 的一个分割的一个分割. 精算概率论课件 B1 B2 Bn A 定理定理 设设 为试验为试验E的样本空间，的样本空间， 12 ， ，. n BBB 为 为 的一个的一个 分割分割,且且 ()0 (1,2,. ), i P Bin 则对则对E的任一事件的任一事件A有有 1122 (1) ( )|（ ）（）+（ ）（）+.+（ ）（） nn P AP BP A BP BP A BP BP A B 上式上式称为全概率公式称为全概率公式 1 (2) ( )0, ()(|) (|),(1,

13、.,) ()(|) 若则 jj j n ii i p A P BP A B P BAjn P BP A B 上式上式称为贝叶斯（称为贝叶斯（Bayes)公式公式 精算概率论课件 1212 （）= nn AAA BBBABABAB 证证 (1)因因()0(1,2,. ), i P Bin 12 且，. n ABABAB 两两互不相容，故两两互不相容，故 12 ( )( 于是： ） n P AP ABABAB 12 1122 ()().( (| n nn P ABP ABP AB P BP A BP BP A BP BP A B =） （ ）+（）（）+.+（）（） 精算概率论课件 (2) 由条件

14、概率的定义以及乘法公式和全概率公式由条件概率的定义以及乘法公式和全概率公式， 有有 1 () (|) () ()(|) ,(1,.,) ()(|) j j jj n ii i P AB P BA P A P BP A B jn P BP A B 精算概率论课件 例例7 7 设袋中有设袋中有a个红球，个红球，b个白球。若甲先取一球不放个白球。若甲先取一球不放 回，乙再取一球，求乙取到红球的概率。回，乙再取一球，求乙取到红球的概率。 是样本空间的一个分割，且是样本空间的一个分割，且 1 (|), (|), 11 aa P B AP B A abab 于是 1 11 aabaa ab abab ab

15、ab 解解 设设A=甲取到红球甲取到红球，B=乙取到红球乙取到红球， ( ) a P A ab ( ), b P A ab ()() (|)() (|)P BP A P B AP A P B A ,A A则事件则事件 精算概率论课件 例例8 设从设从1,2,3,4中任取一个数中任取一个数,记为记为X,再从再从1,X 2).P Y 求 中任取一个数中任取一个数,记为记为Y, 解解显然显然X=1,X=2,X=3,X=4 构成完备事件组构成完备事件组,且且 1 ) (1,2,3,4). 4 P Xii 由全概率公式由全概率公式,有有 4 1 4 2 (2)2 2 1 11113 =(). 4 234

16、48 i i P YP XiP YXi P XiP YXi 精算概率论课件 例例9 9 商店按箱出售玻璃杯，每箱商店按箱出售玻璃杯，每箱2020只，其中每箱含只，其中每箱含0 0，1 1，2 2只只 次品的概率分别为次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.10.8, 0.1, 0.1，某顾客选中一箱，从中任选，某顾客选中一箱，从中任选4 4 只检查，结果都是好的，便买下了这一箱只检查，结果都是好的，便买下了这一箱. .问这一箱含有一个次品问这一箱含有一个次品 的概率是多少？的概率是多少？ 解解: :设设A=“A=“从一箱中任取从一箱中任取4 4只检查只检查, ,结果都是好的结果都是好的.” .

17、” B B0 0, B, B1 1, B, B2 2分别表示每箱含分别表示每箱含0 0，1 1，2 2只次品只次品. . 已知已知 P(BP(B0 0)=0.8, P(B)=0.8, P(B1 1)=0.1, P(B)=0.1, P(B2 2)=0.1,)=0.1,并可算得并可算得: : 44 1918 012 44 2020 412 ()1, (|), (|) 519 CC P A BP A BP A B CC 精算概率论课件 11 1 2 0 ()(|) (|) ()(|) ii i P BP AB P BA P BP AB 0848. 0 19 12 1 . 0 5 4 1 . 018 . 0 5 4 1 . 0 由由BayesBayes公式公式: : 精算概率论课件 例例10 为了提高某产品的质量，企业为了提高某产品的质量，企业CEO考虑增加投资考虑增加投资 来改进生产设备。但对于投资效果的预估，下属部门有来改进生产设备。但对于投资效果的预估，下属部门有 两种意见：一是认为改进设备后高质量产品可占两种意见