单项式与多项式

1、课题代数式、单项式与多项式教学目标1、 进一步掌握代数式、单项式与多项式的定义；2、 掌握代数式的书写规则，会列代数式3、 会对多项式进行升幂和降幂的排列教学重点会找单项式、多项式的系数和次数教学难点对多项式进行升幂和降幂的排列第一部分：知识点回顾1、代数式 ：用基本的运算符号（包括加、减、乘、除、乘方、开方）把数、表示数的字母连结而成的式子叫做代数式，单独一个数或一个字母也是代数式。说明：代数式书写时需注意：（ 1）数与字母、字母与字母相乘时乘号省略不写，数字要写在字母前面，如1ab ；2（ 2）数字因数是 1 或 1 时，“ 1”省略不写，如 mn；（ 3）带分数与字母相乘时要化成假分数，

2、如：11 ab 要写成3ab 的形式；22（ 4）除号要改写成分数线，如：ab 要写成 a ；b（ 5）书写单位时要把代数式用括号括起来，如（1 ab R2 ）平方米。22、单项式 ：只含有数字或字母的 乘积的式子叫做单项式定义中的“积”是对数与字母而言的，只能是乘法或乘方运算，而不能是加、减、除等其他运算 .如 ab2 2， x2 y ， 2n 等都不是单项式 .3m 单独的一个数或一个字母也是单项式.（ 1）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数单项式的系数包括其前面的符号；只含有字母因数的单项式，其系数是1 或 1. 也就是说，系数是1 或 1时，“ 1”省略不写 .（ 2

3、）单项式的次数 ：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项数的次数计算单项数的次数时，不要漏掉字母的指数为1的指数 .切勿加上系数中的指数.3、多项式 ：几个单项式的和叫做多项式.其含义有：必须由单项式组成；体现和的运算法则（ 1）多项式的项 ：是指在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。多项式的项包括它前面的性质符号。（ 2）多项式的项数 ：一个多项式中有几个单项式就有几项，这个多项式就叫几项式。（ 3）常数项 ：在多项式中，不含有字母的项叫做多项式的常数项。（ 4）多项式的次数 ：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数.注意 ：不要与单项式的次数混淆，而误认为多项式的次数

4、是各项次数之和，如多项式423x+ 2y + 1的次数是4，而不是 4+2=6（ 5）降（升）幂排列 ：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降（升）幂排列说明： 把多项式按升幂或降幂排列时，一定要弄清是针对哪个字母的排列，排列时只看这个字母的指数，而后按照加法交换律交换项的位置对于不同的字母，排列后的顺序往往不同，切记重新排列多项式时，各项一定要带着符号移动位置3、整式 ：单项式与多项式统称为整式.注意 ：分母中含有字母的代数式是分式第三部分：例题剖析1. 对单项式、多项式、整式进行判断例 1 判断下列各代数式，哪些是单项式，哪些是多项式，哪些不是整式(

5、1) 3xy 2；(2)2x 3 1；(3)1 (x y1) ；(4) a2；(5)0 ；2(6)2x ；(7) 2xy ；(8)1 ；(9)x2 1 1；(10)1；y32xxx1解：单项式有： (1) 3xy 2， (4) a2， (5)0， (7)2xy ；1 (x3多项式有： (2)2x 31， (3) y 1) ；2不是整式的有：(6) 2x ， (8) 1，(9)x 2 1 1，(10)1y2xxx1易错提示： 只有数字与字母的乘积，这样的代数式是单项式，几个单项式的和组成多项式，单项式和多项式都是整式。在数字和字母之间只出现了乘法、加法、减法（可转化为加法）的运算，这样的代数式就

6、是整式。 整式最显著的特征是字母不能作分母 。 (6) 2x和(7) 2xy 这两个代数式y3常会误以为都是单项式， （ 7）可以看成 2xy ，所以是单项式，而（6）是 2x y，所以不是单项式也3不是整式。 (3)1 (x y 1) ；会误以为是单项式，其实2项式的和，是一个多项式。1 (x y 1) 1 x+ 1 y+ 1 ，所以是三个单2222。1。2、单项式、多项式的次数和项例 2 指出下列各单项式的系数与次数：（ 1）3ab2;3（ 3）4x2 y38（ 2）-mn ;（ 4） 3；3解：（ 1） 3ab2的系数是 3，次数是 3.（ 2） -mn3 的系数是 -1 ，次数是 4.

7、88（ 3）4 x2 y3的系数是4，次数是5.（ 4） 3 的系数是 3，次数是 0。33知识体验 ：单项式的系数，包括前面的符号，当单项式的系数是1 或 1 时， “1”省略不写，如 -nm323中，系数是 1，则把 “1”省略不写； 圆周率只是一个常数符号， 不能把它作为字母 ，如： 4 xy3的系数是4，次数是5。另外，像3， 1 ， 0 等这样的常数，是零次单项式32例 3填空：（ 1）多项式 2x4-3x 5-2 4 是次项式，最高次项的系数是，四次项的系数是，常数项是，补足缺项后按字母x 升幂排列得；（ 2）多项式 a3-3ab 2+3a2b-b 3 是次项式，它的各项的次数都是

8、，按字母 b 降幂排列得.442+0x345;解：（ 1）五，三， -3 ， 2， 2 ， -2 +0x +0x+2x -3x（ 2）三，四， 3， -b 3-3ab 2 +3a2b +a 3.知识体验 ： 2 4 是常数项，不是 4 次项。确定多项式项时不要漏掉前面的符号，移动多项式的某一项的位置时，要连同前面的符号一起移动，这些都是容易犯错误的地方，要引起高度重视。第四部分：典型例题例 1、 用代数式表示：（ 1）一个两位数，个位数字是a，十位数字是 b，则这个两位数可表示为_。（ 2）如图，亮亮家装饰新家，他为自己的房间选了一款窗帘（上方阴影固定），请你帮他计算可以射进阳光的面积为_ 米

9、 2。2。【变式练习】用代数式表示（ 1）a 的 2 倍与 b 的一半之和的平方，减去a、 b 两数平方和的2 倍。（ 2） 与 x 的积与 3 除 y 的商的和。例 2、说出下列多项式的项和次数：(1)3x 13x2；(2)4x3 2x2y 2。【变式练习】给出多项式6a2 b23ab 4a4b 8b5 7a3 ，分别回答下列问题：（ 1）是项式（ 2）是次式（ 3）字母 a 的最高次数是（ 4）字母 b 的最高次数是（ 5）把多项式按 a 的降幂重新排列（ 6）把多项式按 b 的降幂重新排列。例 3、如果a x3 y n 3 是关于 x,y 的单项式，且系数为- 4，次数 10，求 a,n

10、 的值。27【变式练习】已知代数式3xn (m 1)x 1 是关于 x 的三次二项式，求m、 n 的条件。例 4、用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 _ 块，第 n 个图形中需要黑色瓷砖_ 块（用含 n 的代数式表示） （1）（2）（ 3）。3。【变式练习】用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律拼成若干个图案：(1)第 4个图案中有白色地面砖块；(2)第 n个图案中有白色地面砖块第五部分：思维误区误区一、单项式系数判断错误例 1、（ 1）单项式 3104 x的系数是；（ 2） - r 2h 的系数是（ 3）- 3x2y；的系数是4错解

11、： （ 1） 3，（ 2） -1 ，（ 3） -3纠错秘方： （ 1）中的系数是3 104，（ 2）中的是常数， 同时注意符号 （ 3）可以写成 -3 与 x2 y的积4正确的解： （ 1） 3 104； （ 2） - （ 3） -34误区二、单项式与多项式的次数判断错误例 2、填空（ 1）单项式 32 x3y 的次数是（ 2）多项式 4x2y2xy1 是次三项式。错解： （ 1） 6 或 5；（ 2）五纠错秘方： （ 1）中的字母应该是xy，单项式的次数的指所有字母的指数和即3+1=4，同时这类型的注意 y 的指数的 1，而不是 0，所有常数项的指数都是 0 次单项式； （ 2）多项式的次数

12、的组成的单项式中次数最高的是多项式的系数；正确的解： （ 1）；（ 2）；第六部分：方法规律知识方法关键1、单项式：数或者字母的乘积叫单项式；数字因不含加减运算， 系数也包括前面的符号，不含系数数是单项式的系数，所有字母的指数和是单项式的中的指数；是常数次数2、多项式：几个单项式的和叫多项式代数和、 每项包含它的符号；次数不是所有项的次一个多项式含有几个单项式该多项式就有几项数多项式的次数是多项式次数最高的项的次数决定的。4。3、整式：单项式和多项式的和称为整式分母不含字母第七部分：巩固练习A 组一、选择题1、在下列代数式：ab , 4,2abc ,0, xy , 3中，单项式有（）33xA3

13、个 B 4个 C5个 D 6 个2、在下列代数式：1 ab， ab23+ 22， ab +b+1，2xy32中，多项式有（）， x + x 3A2个B3个C4个D5个3、 下列代数式中，不是整式的是（）a2bB.a 1C.0D.a2 bA.4a4、下列说法正确的是()A x 的指数是0B x 的系数是0C 10 是一次单项式D 10 是单项式5、多项式3222 mn是（ ）A二次二项式B三次二项式C 四次二项式D五次二项式6、在多项式 x3xy 2 25 中，最高次项是 ()A x3B x3，xy 2C x3， xy 2D 257、如果 2（ m 1） a an- 3 是关于 a 的二次三项式

14、，那么m， n 应满足的条件是（）A m 1， n 5B m 1， n 3C 1，n为大于 3 的整数D 1， 5mmn8 x 减去 y 的平方的差，用代数式表示正确的是（）A 、 (x y)2B、 x2y2C 、 x 2yD 、 x y 29、如果一个多项式是五次多项式，那么（）A这个多项式最多有六项；B这个多项式只能有一项的次数是六；C这个多项式一定是五次六项式；D这个多项式最少有二项，并且最高次项的次数是五.10、在含盐30的盐水x 千克中，注入20%的盐水 y 千克，此时盐水中含盐（）A、 (xy) 千克B、 ( xy) 千克C、 (0.3x0.2 y) 千克D、 ( 0.3xy)0.

15、2 千克。5。二、填空题11、单项式1 x2 的系数是 _ ，次数是 _ 312、多项式 2x24x33是 _次_项式，常数项是_；13、多项式1 x m (m 2) x 7 是关于 x 的二次三项式，则 m= _214、五次单项式(k3) x k y 2 的系数为15、多项式5x3xy 2 1 y 按字母 y 的降幂排列是 _16、某商品先提价20%，后又降价20出售，已知现价为a 元，则原价为元三、解答题17、把下列各代数式填入相应的大括号12 ,53 , y, 3 , xy , x1 , x 2x1, m1 ,8 a 3 x , 1x 7， x ， 4 ab ,33 ax732m1单项式

16、集合：多项式集合：整式集合： 18、如果单项式3a 2 b 3 m 4 的次数与单项式1 x 3 y 2 z 2 的次数相同，试求 m的值。319、小红和小兰房间窗户的装饰物如图1 3 所示，它们分别由两个四分之一圆和四个半圆组成（半径分别相同） .图 13（ 1）窗户中能射进阳光的部分的面积分别是多少？（窗框面积忽略不计）（ 2）你能指出其中的单项式或多项式吗？它们的次数分别是多少？。6。B 组一、选择题1、下列说法正确的是（）A 3 x 2 2x+5 的项是 3x2， 2x， 5B x y 与 2 x 2 2xy 5 都是多项式33C多项式 2x2+4xy 的次数是D一个多项式的次数是6，

17、则这个多项式中只有一项的次数是62、如果一个多项式的各项的次数都相同，则称该多项式为齐次多项式例如：x3+2xy2+2xyz+y 3 是 3 次齐次多项式若xm+2y2+3xy 3z2 是齐次多项式，则 m等于（）A1B2C3D43、随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑按原售价降低m元后，又降价20%，现售价为 n 元，那么该电脑的原售价为（）A、4m(5(5mn)(5n m)( nB、n m)元C 、元D 、元5)元44、若多项式 a(a1) x3( a1) xx ，是关于 x 的一次多项式，则 a 的值为（）A、 0B、 1C、0或 1D、不能确定5、a 是一个三位数，

18、b 是一个两位数， 若把 b 放在 a 的左边， 组成一个五位数， 则这个五位数为 （）A、 baB、 10b aC、 100b aD 、 1000b a6、现规定一种运算：a* b ab ab，其中 a， b 为有理数，则3*5 的值为（）A 11B 12C13D 147、二次三项式 ax 2bxc 为关于 x 的一次单项式的条件是（）A a0， b=0， c=0B a=0， b0， c=0C a=0， b=0，c0D a=0， b=0， c=0二、填空题1、从甲地到乙地时速度为u1 千米时，返回时速度为u2 千米时，那么其平均速度为_ 千米 /时2、 x 克浓度为40的盐水中有盐_ 克，水

19、 _ 克。7。3、若某三位数的个位数字为a，十位数字为b，百位数字为 c，则这个三位数为_ 4、如果 mxny 是关于 x， y 的一个单项式，且系数是9，次数是 4，那么多项式mx4 -ny m-n 是 _次式5、已知单项式2xm+1是一次单项式，多项式3xn-1 -x 3-7 是四次式，则代数式 1-n 2-m2004 的值为 _三、解答题1、已知 2x my3 n3xy5 为四次多项式，求自然数m、 n 的值2观察下列单项式：-x ， 3x 2， -5x 3，7x4， ， -37x 19， 39x 20， 写出第n 个单项式为了解决这个问题，特提供下面解题思路：（ 1）这组单项式的系数的符号规律是_，系数的绝对值规律是_ ；（ 2）这组单项式的次数的规律是； _（ 3）根据上面的归纳，可以猜想第n 个单项式是（只能填写一个代数式）_ ；（ 4）请你根据猜想，写出第2008 个、第 2009 个单项式，它们分别是_， _3、如图，在长方形ABCD中