第三章媒质的电磁性质和边界条件

1、第三章 媒质的电磁性质和边界条件众所周知，物质是由原子核和电子组成的，原子核带正电，电子带负电。就是说任何物质材料，不论是气体、液体还是固体都含有带电粒子，这些带电粒子的周围一定存在着电场；同时电子一方面绕原子核运动，另一方面也作自旋运动，电荷的运动形成电流，这些电流周围存在磁场。从微观上看，材料中这些带电粒子是存在电磁效应的，但从宏观上看，由于相邻原子产生的场相互抵消，及大量带电粒子热运动的平均结果，使自然状态下的物质仍呈现电中性。倘若存在外加电磁场，则由于带电粒子和外加电磁场的相互作用，介质的分子电矩和磁矩将部分或全部取向一致，引起宏观电或磁效应，相当于在材料内部存在附加的场源，这样就需要

2、对真空中的电磁学定律作进一步推广。在第二章中，我们研究了在真空（或近似真空的空气）中电磁场各场量，如所遵循的普遍规律，并得到一组麦克斯韦方程组。麦克斯韦方程组的积分形式描述大尺度（如一个线段、曲面或体积）上的电磁特性，而微分形式描写空间任意一点的电磁场，但归根结底两者描述的仍然是宏观电磁现象。这一章我们要研究物质的微观模型和性质,把麦克斯韦方程组推广到一般电磁材料中去.本章先研究由材料中带电粒子和电磁场的相互作用而产生的三个基本现象：传导、极化和磁化。每一种物质在电磁场中均有传导、极化和磁化三种现象，根据某种主要的现象，可将材料分为导体、半导体、电介质和磁介质等。讨论材料的电磁性质之后，我们可

3、获得三个物态方程和一般媒质中的麦克斯韦方程组。最后我们研究在不均匀媒质中电磁场所遵循的规律边界条件。3.1 电场中的导体导体是一种含有大量可以自由移动的带电粒子的物质。导体可分为两种金属导体和电解质导体。金属导体的导电靠的是自由电子，由于自由电子的质量比原子核的质量小得多，所以导电过程中没有明显的质量迁移，也不伴随任何化学变化。而碱、酸、和盐溶液等电解液则属于第二种导体，其导电靠的是带电离子，导电过程中伴随有质量迁移，也要发生化学变化。金属比电解液的导电性要强得多。本节主要讨论金属导体在电场中的特性，并给出表征材料导电特性的参量电导率。3.1.1 静电场中的导体图3.1 静电场中的导体金属导体

4、，如金、银、铜、铝等，内部含有大量的自由电子，在自然状态下，导体中自由电子所带的负电荷和原子核所带的正电荷处处等量分布，相互抵消，因此导体呈电中性状态。这时，导体中的自由电子只作微观的热运动，没有任何宏观的电荷运动。但如果导体处于外电场中(图3.1)，导体中的自由电子将受到电场力作用，逆电场方向运动，导体左侧出现负电荷，右侧出现正电荷，这些电荷称为感应电荷。当导体两端聚积有感应电荷时，感应电荷将在导体内产生电场，该电场称为内电场，其方向与外电场方向相反，随着感应电荷的聚积，感应电荷产生的内电场也逐渐增强，最后达到与外电场平衡且互相抵消，此时导体内的总场强为零,自由电子受到的电场力也为零，电子的

5、定向运动停止，于是，导体达到静电平衡状态。静电场中的导体具有以下基本特征：（1） 导体为等位体；（2） 导体内部电场为零；（3） 导体表面的电场处处与导体表面垂直，切向电场为零；（4） 感应电荷只分布在导体表面上，导体内部感应电荷为零。在边界条件这一节中，我们还要对此作进一步讨论。3.1.2 恒定电场中的导体将一段导体与直流电源联接，则导体内部会存在恒定电场，这时导体内的自由电子在该电场的作用下，逆电场方向运动。根据牛顿第一定律，在电场力作用下，电子要作加速运动，然而自由电子在运动过程中，不断与金属结晶点阵相碰撞，由于这种阻尼作用，所以在宏观意义上，电子的运动变成了等速运动，其平均运动速度称为

6、漂移速度，用表示。电子在连续两次与结晶点阵相互作用间隔中得到一个动量，而两次相互作用的时间间隔为，也是一个平均值，称为平均自由时间，电子在秒内获得的动量等于电场力的冲量，即 或 (3.1)式中 负号是由于电子的漂移方向与电场方向相反之故。令 (3.2)则式(3.1)变为 (3.3)式中称为电子的迁移率，其单位为米2/伏秒。不同的金属导体有不同的电子迁移率，其典型数据为铝：0.0012，紫铜：0.0032，银：0.0056。电子在金属中的漂移速度很小，约为几个毫米/秒。顺便指出，此处漂移速度和电流传导的速度是根本不同的两回事，后者为电磁场的传播速度，等于光速。图3.2 恒定电场中的导体我们知道，

7、电荷的定向运动形成电流。设在垂直于电场方向取面元，如图3.2所示，以为底，作一体积元，该体积元沿电场方向的长度为，因此由于漂移运动，体积元内的自由电子在单位时间内将全部穿过面，设自由电子密度为，则单位时间内通过的电量为 故电流密度为 (3.4)将式(3.3）代入式(3.4)得 (3.5)或表示成 (3.6)其中 (3.7)称为金属的电导率，单位为西门子/米或1/欧姆米。有一类称为半导体的材料，其导电率除靠电子外，还有空穴。电子和空穴迁移率分别以表示，半导体的电导率为 (3.8)式中分别代表电子和空穴浓度。半导体材料中的传导电流密度亦可表为 (3.9)式(3.6)和式(3.9)描述导体和半导体材

8、料中任一点场量之间的关系，它们的积分形式的关系便是联系的欧姆定律，式(3.6)和(3.9)称为欧姆定律的微分表达式。它是反映材料和电场关系的一个物态方程。3.1.3 电导率电导率是表征材料导电特性的一个物理量，电导率的倒数称为电阻率，上述欧姆定律中，不论的数值很大或很小的情况下，两者仍然保持正比关系，即电导率是一个比例常数，这种导电媒质称为线性媒质,另外,导电媒质的电导率是均匀不变的，它不是空间的函数，因此又是一种均匀媒质；若导电媒质的性质和场矢量的方向无关，它也是一种各向同性媒质。本书中涉及的导体、电介质和磁介质大多数是线性、均匀和各向同性的媒质。电导率和材料本身的性质，如材料中的自由电子密

9、度和平均自由时间有关，也和环境温度有关。对金属导体材料，在给定场强下，温度升高，金属结晶点阵振动加剧，对电子运动的阻尼作用也增大，使电子漂移速度降低，电子迁移率变小，结果使金属电导率变小，电阻率增大。金属电导率和绝对温度近似成反比关系，或者说电阻率和绝对温度近似成线性关系。某些金属导体在低温条件下电阻率趋向于零，可变为超导体，如铝在时，就呈现超导状态。超导技术有可能引起新的技术革命，但它不属于本课程研究的内容。半导体材料的电导率受环境温度影响很大，且和金属导体的温度特性不同。温度升高时，半导体的电子和空穴迁移率要变小，但载流子浓度却急剧上升，总的效果使电导率明显增大。例如，在时，本征锗的电导率

10、为，温度升至后，电导率变为，后者为前者的10倍。电导率是表征材料电磁特性的三个主要参量之一，不同材料的电导率差别十分惊人，例如，金、银和铜的电导率可达数量级；本征硅的电导率为数量级；而熔融石英的电导率则为数量级，它是一种绝缘体，将在下一节中专门讨论。表3-1列出了不同材料的电导率数据。表3-1 材料的电导率材 料 名 称类 型电导率（）熔融石英纯 地 蜡硫 磺云 母石 蜡硬 橡 胶陶 瓷玻 璃胶 木蒸 馏 水干 土 坯动物脂肪动物身体动物肌肉动 物 血海 水碲碳石 墨铸 铁汞镍康 铜硅 钢德 银铅锡磷 铜黄 铜锌钨杜 拉 铝冷 拉 铝金紫 铜银 铌（铝锗）绝 缘 体绝 缘 体绝 缘 体绝 缘

11、体绝 缘 体绝 缘 体绝 缘 体绝 缘 体绝 缘 体绝 缘 体导 体导 体导 体导 体导 体导 体导 体导 体导 体导 体导 体导 体导 体导 体导 体导 体导 体导 体导 体导 体导 体超 导 体10-17（近似）10-17（近似）10-15（近似）10-15（近似）10-15（近似）10-15（近似）10-14（近似）10-12（近似）10-9（近似）10-4（近似）10-3（近似）410-20.20.40.74(近似)5102(近似)3104(近似)105(近似)106(近似)106106210621063106510691061071.11071.71071.810731073.510

12、74.11075.71076.1107（近似）3.2 电场中的电介质电介质和导体不同，电介质中的电子受原子核的束缚很强，即使在外电场的作用下，电子也不能脱离原子核做宏观运动，只能在原子间隔尺度内作微观位移。电介质是一种绝缘材料，如石英、云母、变压器油、蓖麻油、氢和氮等。电介质可以是固体、液体或气体，有趣的是，一般金属蒸汽也是电介质。在一般介质的分子中，含有许多电子，它们各自在自己的轨道上运动，形成电子云，电子云的作用可用一个单独的负电荷来等效，该等效电荷所在的位置称为电子云的“重心”，同样，每个分子中的全部电荷也有一个正电荷“重心”，根据正负电荷重心的分布方式，电介质分子可分为两类：无极分子和

13、有极分子。无极分子：当外电场不存在时，电介质中正负电荷的“重心”是重合的，电介质处于电中性状态，对外不显电性，如气体氢、氮等物质。有极分子：当外电场不存在时，电介质中的正负电荷“重心”不重合，因此每个分子可等效为一个电偶极子，然而，由于分子的无规则热运动，各个分子等效电偶极矩的方向是凌乱的，所以无论是整块介质或介质中的某一部分，其中分子等效电偶极矩的矢量和都等于零，介质依然处于电中性状态，对外不显电性。3.2.1 电介质的极化图3.3 无极分子的极化在外电场作用下，由无极分子组成的电介质中，分子的正负电荷“重心”将发生相对位移，形成等效电偶极子，外加电场越强，正负电荷重心之间的相对位移就越大，

14、等效电偶极矩也越大，如图3.3所示。 对均匀电介质整体来说，在外电场作用下，垂直于电场的电介质的两个表面上分别出现正、负电荷，然而这种电荷与导体中的自由电荷不同，它不能离开电介质，也不能在电介质内部自由运动，所以称为束缚电荷，如图3.4所示。对于由有极分子组成的电介质，在外电场作用下，各分子等效电偶极子将受到一个力矩的作用，如图3.5所示。使分子电偶极矩转向电场的方向。但是由于分子的热运动，不可能使所有分子的电偶极矩都按电场的方向排列起来，场强越强，转向的效果也就越显著，排列就越整齐，各个分子的等效电偶极矩在电场方向分量的总和也越大，在有极分子电介质与外电场垂直的界面上，同样出现束缚电荷。这种

15、在外电场作用下，电介质中出现有序排列的电偶极子，表面上出现束缚电荷的现象，称为电介质的极化。无极分子的极化称为位移极化。有极分子的极化称为转向极化。两种极化的微观过程虽然不同，但在宏观上却有相同的效果。介质极化后，在介质中都会出现束缚电荷，电场越强，电场对介质分子的极化作用越大，介质中出现的束缚电荷也越多。我们引入一个宏观的物理量来表示极化的程度，称之为极化强度，用表示。电介质极化的程度直接取决于分子的位移极化和转向极化的程度。设介质中任一小体积中所有分子的电矩矢量和为，则极化强度可定义为单位体积中分子电矩的矢量和 (3.10)式(3.10)反映了介质中每一点介质极化的情况。由该式可知，极化强

16、度为一个矢量函数，极化强度的单位是库/米2（C/m2）,与面电荷密度具有相同的量纲。图3.5 电场对有极分子的转矩图3.4 电介质的极化对于线性的和各向同性的均匀介质来说，介质中的每一点极化强度矢量与该点的总电场强度成正比，即 (3.11)式中称为电极化系数，是一个无量纲数，不同的介质有不同的电极化系数。对于各向异性介质，极化强度和外电场强度方向不一致，情况比较复杂，不在这里讨论。3.2.2 束缚电荷极化强度矢量是描写介质极化程度的物理量，而介质极化的程度又决定了束缚电荷的分布情况，所以极化程度与束缚电荷之间有一定的关系。设在外电场作用下，电介质发生了极化，极化强度为,在电介质内某点取一个体积

17、元，把该体积元中的所有电偶极子看成一个等效电偶极子，它的等效电矩为，这一等效电偶极子在远处一观察点产生的电位，由式(2.29)得 (3.12)式中是从源点指向场点的单位矢量；为体积元到场点的距离。不难证明： (3.13)式中表示对源点坐标的微分运算；表示对场点坐标的运算，代回式(3.12)后，有 (3.14)于是，体积为的电介质中的全部电偶极子在场点产生的电位，可由式(3.14)积分得 (3.15)利用矢量恒等式 式(3.15)可写为 (3.16)再利用散度定理，可将式(3.16)中的第一个体积分项变为面积分 (3.17)上式的积分是在介质表面及其体积中进行的，表面是体积的封闭界面。上式和式(

18、2.21)及式(2.22)比较后，可以看出，式(3.17)中面积分一项是束缚面电荷在点产生的电位；体积分一项，是束缚体电荷在点产生的电位，则是在场点处的总电位。因此，束缚电荷的体密度为 (3.18)束缚电荷的面密度为 (3.19)式(3.18)中上的一撇被略去了，因为式中的散度运算就是对束缚电荷密度所在点进行的。式(3.19)中是极化强度和面元间的夹角，的正方向为闭曲面的外法线的方向。于是式(3.17)改写为 (3.20)按照束缚电荷分布来计算电位的方法，和按自由电荷分布来计算电位的方法是相似的，若电介质中还存在自由电荷的体分布时，电介质中一点总的电位可写为 (3.21a)或 (3.21b)3

19、.2.3 电位移矢量我们知道，原子核和电子本身的尺寸与它们之间的距离相比是很小的，和原子之间的距离相比，也非常小，因此在电介质中的观察点犹如处于真空中一样，我们可以把等效的束缚电荷分布也视为在真空中的电荷分布，式(3.21)中各项都含有真空介电常数，其道理也就在这里。这样计入自由电荷密度和束缚电荷密度时，高斯定律可写成 (3.22a)或 (3.22b)根据式(3.18)可得 (3.23)由此，可定义一个新矢量 (3.24a)矢量称为电位移矢量或电通量密度。对线性、各向同性和均匀的介质，由式(3.11)，电位移矢量又可表示为 (3.24b)或 (3.24c)式中 (3.25)其中称为相对介电常数

20、，材料的介电常数可表示为。式(3.24)称为介质特性方程，它是一个有关电场和材料之间关系的物态方程。表3-2中给出了几种常见介质的相对介电常数。表3-2 材料的相对介电常数材 料 名 称相对介电常数击穿场强空气(0101325Pa)水汽(110101325Pa)纸聚四氟乙烯矿 物 油石 蜡聚 乙 烯聚苯乙烯软 橡 胶琥 珀尼 龙石 英普通玻璃胶 木瓷 器微晶玻璃云 母大 理 石陶 瓷蒸 馏 水二氧化钛1.00061.01262.03.02.12.22.22.32.562.53.033.53.84.54.9575.668.39.8911003 15303040201525 2130 将式(3.2

21、4)代入式(3.23)后得 (3.26a)式(3.26a)就是一般电介质中高斯定律的微分形式，它也是介质中麦克斯韦方程之一，高斯定律的积分形式为 (3.26b)式(3.26a)和(3.26b)在形式上和第二章中式(2.90)和式(2.77)完全一样，但却具有普遍意义了，说明高斯定律不仅适用于真空，同样也适用于一般介质。式(3.26b)告诉我们：穿过任意封闭曲面的电通量，只与曲面中包围的自由电荷有关，而与介质的状况无关，这给电场计算带来了某些方便。以上有关电介质的性质，是在静电场的情况下得到的，它对于低频时变场也是适用的，有关高频情况下材料的性质，此处不作讨论。最后要指出的是，电介质和导体之间并

22、不存在不可逾越的鸿沟，如果外电场足够大，电介质中的束缚电荷就可能克服分子引力，成为自由电荷，这时绝缘体变成了导体，这种现象称为介质的击穿。材料能承受的最大电场强度称为击穿场强，它在高压技术中是一个表征材料性能的重要参数。【例3-1】 点电荷位于介质球壳的球心，球壳内半径为，外半径为，球壳的相对介电常数为，壳外为真空，如图3.6(a)所示。求：球壳中任一点的电场强度、电位移矢量、极化强度及电位。解 按题意该电场为球对称场，适于用高斯定律求解电场强度和电位移矢量，再分别根据关系式(3.24a)和式(2.17)求。由 可直接写出 所以 由电位公式根据题目条件，应分段积分式中为球壳外的电场强度；为球壳

23、中的电场强度 将、代入积分式后得图3.6 点电荷在介质球壳内外产生的电场读者可用类似的方法，计算球壳外和球壳内的电场和电位。图3.6(b)、(c)和(d)分别给出的变化曲线。3.3 磁场中的磁介质3.3.1 物质的磁化物质的磁化和电介质的极化一样，也是和物质的结构紧密相关的，根据原子的简单模型，电子沿圆形轨道围绕原子核旋转，其作用相当于一个小电流环，这个微观电流也会产生磁效应，换句话说，它具有一定的磁矩，该磁矩称为轨道磁矩。此外，电子还围绕本身的轴作自旋运动，形成圆电流，也产生一个磁矩，称为自旋磁矩，以及原子核的自旋也会产生一个自旋磁矩，这三个磁矩总和称为原子（或分子）磁矩，原子核的质量比电子

24、大得多，原子核的自旋角速度也比较小，因而一般原子核的自旋磁矩可忽略不计。介质中电子和原子核都是束缚电荷，它们进行的轨道运动和自旋运动都是微观运动，由束缚电荷的微观运动形成的电流，称为束缚电流或安培电流。通常情况下，绝大部分材料中所有原子磁矩的取向是杂乱的，结果总的磁矩为零，对外不呈现磁性。但在外磁场作用下，物质中的原子磁矩都将受到一个扭矩作用，所有原子磁矩都趋于和外磁场方向一致排列，彼此不再抵消，结果对外产生磁效应，影响磁场分布，这种现象称为物质的磁化，如图3.7所示。在外磁场作用下能产生磁化的物质称为磁介质。为了便于宏观分析物质磁化的程度，引入磁化强度矢量，用表示。在磁化后的物质中，单位体积

25、内，所有磁矩的矢量和定义为磁化强度，即 (3.27)图3.7 物质的磁化其中：为第个原子的磁矩，磁化强度的单位为安/米。如果磁化均匀，那么在磁介质中束缚电流相邻的部分相互抵消（如图3.7），于是在磁介质内部束缚电流为零，而只剩磁介质表面的束缚电流。如果磁化不均匀，相邻的束缚电流便不能完全抵消，磁介质内部也就存在束缚电流密度。在磁介质中取体积元,可得到一个等效磁矩,等效磁矩产生的矢量磁位由式(2.48)得 (3.28)由矢量运算式(3.28)可表示为整个磁介质在场点产生的矢量磁位为 (3.29)再根据矢量等式则式(3.29)可改写为 (3.30)根据矢量关系式，可将式(3.30)等号右边第二项的

26、体积分变为面积分，即式中为面元法线方向的单位矢量，故得 (3.31)式中为包围体积的曲面，将式(3.31)和式(2.46)及(2.47)比较，可见，相当于磁介质中的束缚电流体密度，而相当于束缚电流面密度，这里束缚电流也称为磁化电流。 (3.32) (3.33)于是矢量磁位可写成 (3.34)式(3.34)为介质磁化后束缚电流在空间产生的矢量磁位。现在，若将产生外磁场的传导电流密度也考虑进去，则磁介质中总的矢量磁位变为 (3.35)式(3.35)与式(3.21)比较，它们有相似的数学形式。可见，只要把等效磁化电流密度考虑进去，加上宏观的电流密度后，磁介质中磁场的计算就和真空中的计算一样了。3.3

27、.2 磁场强度现在讨论磁介质中磁感应强度、磁化强度和磁场强度之间的关系。引出磁化电流后，磁介质中安培环路定律的微分形式可写成由式(3.33)知，因为这里的旋度运算就是对磁化电流所在点的坐标进行的，此处可将改写为，于是上式可改写为这样可定义磁场强度矢量 (3.36)将磁场强度作为一个场函数，在一般媒质中，麦克斯韦方程中就不再出现束缚电流项，故上式为 (3.37)这就是一般媒质中安培环路定律的微分形式。实验指出，除了某些铁磁材料外，大多数磁介质的磁化强度和磁场强度之间是线性关系 (3.38)式中称为磁化率。将式(3.38)代入式(3.36)后得 (3.39a)或 (3.39b)式中称为物质的磁导率

28、，单位为亨/米；称为相对磁导率。式(3.39)也是一个物态方程，它描述物质在磁场中的性质。几种常用材料的磁化率见表3-3。表3-3 材料的磁化率材料名称磁化率材料名称磁化率铋金银铅锌铜镁锂铂镍纯铁-16.6-3.6-2.6-1.8-1.4-0.981.24.4266001021010石英汞水氮（101325Pa）CO2钠铝钨钴硅钢片玻莫合金-6.2-2.9-0.91-0.5-1.00.622.26.82501057 0001051010103.3.3 磁介质的分类磁介质就是在外磁场的作用下发生磁化，并能影响外磁场分布的物质。按照物质结构理论，物质在外磁场作用下都会发生磁化，显示某些磁效应。这样

29、说来，除了真空是唯一真正的非磁性介质外，其它物质都是可磁化的介质，但不同的磁介质，其磁化效应的强弱差别甚大。根据材料磁效应的不同，磁介质可以分为抗磁质、顺磁质、铁磁质和亚铁磁质等。抗磁质：抗磁质的磁效应主要是电子轨道磁矩引起的。这类磁介质的电子自旋磁矩的贡献不大，在外磁场的作用下，电子轨道磁矩的方向和外磁场方向相反，磁化强度和方向相反。这样，在这类磁介质内部，磁感应强度将减弱，抗磁质的磁化率为负，其相对磁导率略小于1，即 且 在表3-3中，金、银和水等属于抗磁质。 图3.8 磁滞回线顺磁质：顺磁质的磁效应主要是电子自旋磁矩引起的，轨道磁矩的抗磁效应不能完全抵消它，在外磁场作用下，电子自旋磁矩和

30、外磁场方向一致，即磁化强度和磁感应强度方向相同，使磁介质中的磁感应强度增强。顺磁质的磁化率为正，相对磁导率略大于1，即表3-3中镁、锂和钨等属于顺磁质。抗磁质和顺磁质材料的磁化率都较小，其相对磁导率约为1，工程计算时常常把这类磁效应很弱的材料，都看成非磁性材料。铁磁质：在铁磁性材料中，有许多小天然磁化区，称为磁畴，磁畴的形状和大小因不同材料样品而异，一般尺寸范围在微米和几个厘米之间。每个磁畴由磁矩方向相同的数以百万计的原子组成。在无外磁场时，各磁畴排列混乱，磁矩相互抵消，对外不显磁性。在外磁场作用下，大量磁畴转向外磁场方向排列，形成强烈磁化效应。铁磁性材料的磁化率非常大，其相对磁导率。如表3-

31、3中铁、镍和钴等。可见，铁磁性物质的磁化，是由于外磁场与磁畴作用的结果。撤去外磁场后，部分磁畴的取向仍保持一致，对外仍然呈现磁性，称为剩余磁化。铁磁材料是一种非线性磁介质，BH曲线不是一条直线，而且铁磁材料的BH曲线还和磁化历史有关，图3.8的BH曲线称为磁滞回线。铁磁材料的磁性和温度也有很大关系，超过某一温度值后，铁磁材料会失去磁性，这个温度叫做居里点，铁的居里点为绝对温度1043K。亚铁磁质：在亚铁磁性物质中，某些分子（或原子）磁矩和磁畴平行，但方向相反，在外磁场作用下，这类材料也呈现较大磁效应，但由于部分反向磁矩的存在，其磁性比铁磁材料的要小，铁氧体属于一种亚铁磁性材料，在工程上有重要应

32、用。表3-4列出了一些材料的相对磁导率和分类情况。表3-4 材料的磁导率材 料 名 称分 类相对磁导率铋银铅铜水真空空气铝钯2-18玻莫合金粉*钴镍锰锌铁氧体粉软钢铁（0.2杂质）硅钢（4Si）*78玻莫合金纯铁（0.05杂质）导磁合金（5Mo,79Ni）抗磁性抗磁性抗磁性抗磁性抗磁性非磁性顺磁性顺磁性顺磁性铁磁性铁磁性铁磁性铁磁性铁磁性铁磁性铁磁性铁磁性铁磁性铁磁性0.999830.999980.9999830.9999910.99999111.00000041.000021.000813025060015002000500070001000002000001000000*百分比成份，其余为

33、铁，杂质。* *用于电源变压器【例3-2】 某一各向同性材料的磁化率，磁感应强度，求该材料的相对磁导率、磁导率、磁化电流密度、传导电流密度、磁化强度及磁场强度。解 根据关系式 得 及 （）又 （）而 （）由 （）同理 （）3.4 媒质中的麦克斯韦方程组 在第二章中，我们已经讨论过真空中电磁场的基本定律，给出了真空中麦克斯韦方程组的微分和积分表达式。本章前三节对导体、电介质和磁介质三种主要材料的宏观电磁性质作了分析研究，定义了两个新的场量：电位移矢量和磁场强度,它们分别反映了介质的极化和磁化效应，最后得到反映介质极化和磁效应的物态方程。在上述基础上，现在我们可以写出一般媒质中的麦克斯韦方程组。麦

34、克斯韦方程组的积分形式和微分形式为积分形式 微分形式 (3.40) (3.41) (3.42) (3.43)对照表2-1及表2-2，读者可以看出，媒质中麦克斯韦方程和真空中麦克斯韦方程的表达式是相同的。从现在起，表2-1和表2-2可以推广应用于一般媒质，而不再局限于真空的情况。电流连续性方程的积分形式和微分形式分别为 (3.44a)和 (3.44b)正如前面指出过的，麦克斯韦方程组中的四个方程并非都是独立的，例如两个散度方程式(3.42)和(3.43)可以由两个旋度方程式(3.40)、式(3.41)、电流连续性方程式(3.45)和静场条件导出。第二章中已指出，独立方程和非独立方程的区分并不是绝

35、对的，方程式(3.40)、(3.41)和(3.42)亦可取为独立方程，由此导出式(3.43)和电流连续性方程。仅仅三个独立方程还不能完全确定场，因为上述三个独立方程中含有五个矢量及一个标量，每个矢量含有三个标量分量，这样总共有十六个未知标量，而这三个独立方程只包含七个标量方程。为了获得电磁场的解，还需要利用三个物态方程 (3.45) (3.46) (3.47)这三个物态方程在前面三节中已分别给出，它们提供另外九个标量方程。至此我们得到了一般媒质中完整的麦克斯韦方程组。3.5 电磁场的边界条件在实际工程中，往往要遇到由不同的媒质组成的电磁系统。在不同媒质分界面上，由于媒质的特性发生了突变，相应的

36、场量一般也将发生突变。在这一节中，我们将研究电磁场在两种媒质分界面上的变化规律。决定分界面两侧电磁场变化关系的方程称为边界条件。研究边界条件的出发点，仍然是麦克斯韦方程组。但在不同媒质的交界面处，由于媒质不均匀，媒质的性质发生了突变，因此，微分形式的方程不再适用，只能从麦克斯韦方程组的积分形式出发，推导边界条件。3.5.1 电场法向分量的边界条件图3.9 电场法向分量的边界条件如图3.9所示的两种媒质的分界面，第一种媒质的介电常数、磁导率和电导率分别为，和，第二种媒质的介电常数、磁导率和电导率分别为，和。在这两种媒质分界面上取一个小的柱形闭合面，如图3.9所示，其高为无限小量，上下底面与分界面

37、平行，并分别在分界面两侧，且底面积非常小，可以认为在上的电位移矢量和面电荷密度是均匀的。，分别为上下底面的外法线单位矢量，在柱形闭合面上应用电场的高斯定律故 (3.48a)若规定为从媒质指向媒质为正方向，则，式(3.48a)可写为 (3.48b)或 (3.48c)式(3.48)称为电场法向分量的边界条件。 因为，所以式(3.48)可以用的法向分量表示 (3.49a)或 (3.49b)若两种媒质均为理想介质时，除非特意放置，一般在分界面上不存在自由面电荷，即，所以电场法向分量的边界条件变为 (3.50a)或 (3.50b)若媒质为理想介质，媒质为理想导体时，导体内部电场为零，即，在导体表面存在自

38、由面电荷密度，则式(3.48)变为 (3.51a)或 (3.51b)3.5.2 电场切向分量的边界条件在两种媒质分界面上取一小的矩形闭合回路abcd，如图3.10所示，该回路短边为无限小量，其两个长边为，且平行于分界面，并分别在分界面两侧。在此回路上应用法拉第电磁感应定律因为 图3.10 电场切向分量的边界条件和故 (3.52a)若为从媒质指向媒质为正方向，式(3.52a)可写为 (3.52b)式(3.52)称为电场切向分量的边界条件。该式表明，在分界面上电场强度的切向分量总是连续的。用表示式(3.52a)得 (3.53)若媒质为理想导体时，由于理想导体内部不存在电场，故与导体相邻的媒质中电场

39、强度的切向分量必然为零。即 (3.54)因此，理想导体表面上的电场总是垂直于导体表面，对于时变场，理想导体内部不存在电场，因此理想导体的切向电场总为零，即电场也总是垂直于理想导体表面。 图 3.11 电位边界条件3.5.3 标量电位的边界条件在两种媒质分界面上取两点，分别为A和B，如图3.11所示。A，B分别位于分界面两侧，且无限靠近，两点的连线，且与分界面法线平行，从标量电位的物理意义出发，得由于和为有限值，而所以由上式可知，即 或 (3.55)式中S为两种媒质分界面。该式表明在两种媒质分界面处，标量电位是连续的。标量电位在分界面上的边界条件在静电场求解问题中是非常有用的。考虑到电位与电场强

40、度的关系：，由电场的法向分量边界条件式(3.49b)得 (3.56)式(3.56)称为静电场中标量电位的边界条件。若两种媒质均为理想介质时，在分界面上无自由电荷，标量电位的边界条件为 (3.57)若在理想导体表面上，标量电位的边界条件为（常数） (3.58a) (3.58b)图3.12 磁场法向分量的边界条件式中为导体表面外法线方向。3.5.4 磁场法向分量的边界条件在两种媒质分界面处作一小柱形闭合面，如图3.12所示，其高度，上下底面位于分界面两侧且与分界面平行，底面积很小，为从媒质指向媒质法线方向矢量，在该闭合面上应用磁场的高斯定律则 (3.59a)或 (3.59b)式(3.59)为磁场法

41、向分量的边界条件。该式表明：磁感应强度的法向分量在分界面处是连续的。因为，所以式(3.59b)也可以用的法向分量表示 (3.60)若媒质为理想导体时，由于理想导体中的磁感应强度为零，故 (3.61)因此，理想导体表面上只有切向磁场，没有法向磁场。3.5.5 磁场切向分量的边界条件图 3.13 磁场切向分量的边界条件在两种媒质分界面处作一小矩形闭合环路，如图3.13所示。环路短边，两长边分别位于分界面两侧，且平行于分界面。在此环路上应用安培环路定律 ，即穿过闭合回路中的总电流为 式中为分界面上面电流密度，分别为两种媒质中的传导电流体密度，和分别为两种媒质中的位移电流密度。因为，除外，回路中的其他

42、电流成分均趋向零，即，于是 (3.62a)式中方向与所取环路方向满足右手螺旋法则。用矢量关系，式(3.62a)可表示为 (3.62b)式(3.62)为磁场切向分量的边界条件。式中为从媒质指向媒质的法线单位矢量。用表示式(3.62a)得 (3.63)若两种媒质为理想介质，分界面上面电流密度，则磁场切向分量边界条件为 (3.64a)或 (3.64b)由式(3.59b)和式(3.64b)可得若媒质为高磁导率材料，当小于时，将非常小。换句话说，在铁磁质表面上磁力线近乎垂直于界面。当时，即在理想铁磁质表面上只有法向磁场，没有切向磁场。 (3.65)若媒质之一为理想导体，电流存在于理想导体表面上，因理想导体内没有磁场，理想导体表面切向磁场为 (3.66a)或 (3.66b) 若媒质的电导率有限，即媒质中有电流通过，其电流只是以体电流分布的形式存在，在分界面上没有面电流分布，即，则分界面上磁场切向分量是连续的，即。3.5.6 矢量磁位的边界条件根据矢量磁位所满足的旋度和散度表示式，及磁场的基本方程，可推导出的法向分量和切向分量在两种媒质分界面处是连续的，所以矢量在分界面处也应是连续的，即 (3.67)由式(3.63)可得 (3.6