几何光学中的常用数学方法分析

1、几何光学中的常用数学方法分析 几何光学这一章涉及的物理原理并不难，主要知识点有：光的直线传播、光的反射、光的折射和透镜成像.其中光的直线传播、光的反射和透镜成像部分学生在初中就学过一些，高中进一步深入学习并加入光的折射、全反射这一重点知识.这一章节的试题往往要求学生通过光路分析画出光路图，结合几何代数知识进行相应的分析或计算.在实际的教学中，我们发现有些学生题目完成不好往往不是被物理考倒了，而是数学！下面我具体分析一下几何光学中所涉及到的常用数学方法. 1相似三角形规律 例1如图1所示，l为薄凸透镜，点光源s位于l的主光轴上，它到l的距离为36 cm；m为一与主光轴垂直的挡光圆板，其圆心在主光

2、轴上，它到l的距离为12 cm；p为光屏，到l的距离为30 cm.现看到p上有一与挡光板同样大小的圆形暗区ab.求透镜的焦距. 分析求透镜的焦距，利用透镜成像公式需要知道物距和像距，物距u=36 cm，像距则需要根据题目条件来确定.光屏上的暗区是由于挡光圆板挡住部分光线而形成的.画出点光源s经过挡光圆板边缘后射到屏上的光路图，可以发现光线sch可能落在a点也有可能落在b点，所以本题要分两种情况讨论. 情况一光线sch经过凸透镜折射后落在a点，则像点为s1，设cc1=r，scc1与soh相似 联立（1）、（2）得v1=90 cm. 由成像公式sx（1usx）+sx（1v1sx）=sx（1f1sx

3、）， 将u=36 cm，v1=90 cm代入得f1=25.7 cm. 情况二光线sch经过凸透镜折射后落在b点，则像点为s2， scc1与soh相似， 联立（3）、（4）得v2=18 cm. 由成像公式sx（1usx）+sx（1v2sx）=sx（1f2sx）， 总结相似三角形的规律通常运用在涉及平面镜、凸透镜、凹透镜成像中.一般的处理方法为：画出光线图，找出临界光线，寻找三角形的关系. 2三角函数的规律 例2如图3所示，用折射率n=kf（2kf）的玻璃做成内径为r，外径为r=kf（2kf）r的半球形空心球壳，一束平行光射向此半球的外表面，与中心对称轴oo平行，试求：（1）球壳内部有光线射出的区

4、域；（2）要使球壳内部没有光线射出，至少用多大的遮光板，如何放置才行？ 分析（1）沿oo射入的光线一定能射出，离oo越远则偏折越明显，找出恰好发生全反射的临界光线，画出临界 光线的光路图.设临界光线与外壳交于a，出球壳点为b，进入外壳的入射角为i，折射角为，离开内径时入射角为. 当sin=sx（1nsx）=sx（1kf（2kf）sx），即=45时，光线恰好不能射出.要求boo=+i，先要算出角，在abo中，已知两条边，一个角，可以利用正弦定理，列出 得=15. 所以i=45. 所以boo=+i=15+45=60， 也就是说与oo夹角范围在60以内的光线可以射出. （2）r=kf（2kf）rsi

5、ni=kf（2kf）sx（kf（2kf）2sx）r=r. 所以用一个半径为r的遮光板，垂直于oo放置. 拓展本题若将空心球壳改为实心的半球形的玻璃体，则情况又如何？ 分析仍然画出临界光线光路图 利用三角函数的两角和差公式，展开得 所以全部的光线都可以射出. 总结三角函数的利用通常出现在折射定律的应用的习题上，往往出现两次折射现象.这需要同学们掌握当光路图画好之后，出现的角和边的条件比较琐碎时，能正确地分析角和边的关系，利用正弦定理、余弦定理、三角函数的和差公式、倍角、半角公式等，解出我们需要的角度或边. 3灵活寻找几何关系 例3如图6所示，一束截面为圆形（半经为r）的平行复色光垂直射向一玻璃半

6、球的平面，经折射后在屏幕s上形成一个圆形彩色亮区.已知玻璃半球的半径为r，屏幕s至球心的距离为d（d3r），不考虑光的干涉和衍射，试问： （1）在屏幕s上形成的圆形亮区的最外侧是什么颜色？ （2）若玻璃半球对（1）中色光的折射率为n，请你求出圆形亮区的最大半径. 分析（1）不同颜色的光对应光的折射率不同，紫光最大，临界角最小，红光最小，临界角最大.画出这两条临界光线，比较距离中心轴的距离. 从作图可以看出： 若dbb至球心的距离，则紫光位于最外侧； 若d 若屏幕在aa与bb之间，则中心轴两侧光线出现重合，情况比较复杂. 本题题设中交代（d3r），我们把它当做第一种情况考虑，则紫光位于最外侧.是

7、不是一定这样呢？我们再结合第二问的结论讨论. （2）方法一：如图8，紫光刚要发生全反射时的临界光线射在屏幕s上的点h到亮区中心g的距离r就是所求最大半径.设紫光临界角为c，由全反射的知识可知： oef与fgh相似， 代入（2），得hg=dkf（n2-1kf）-nr. 方法二临界角仍然满足sinc=sx（1nsx）， 过e点做一条垂直于og的辅助线ie， 讨论：若屏s的位置在aa以下，则hg 即hg=dkf（n2-1kf）-nr 玻璃对有色光的折射率为1.51.9，n 反思本题涉及的光学知识不难，只有一个临界角的判断，但是学生在做这道题时错误率很高.原因是不少学生不善于寻找边长之间的关系，找出彼

8、此的联系，必要时增添辅助线帮助解题.灵活寻找几何关系，简单的说就是寻找角度的关系和长度的关系，不仅在几何光学中应用广泛，在涉及洛伦兹力的计算时应用也相当广泛. 4巧妙利用辅助圆 例4一半圆柱形透明物体横截面如图10所示，底面aob镀银（图中粗线）， o表示半圆截面的圆心，一束光线在横截面内从m点入射，经过ab面反射后从n点射出.已知光线在m点的入射角为30，moa=60，nob=30.求：（1）光线在m点的折射角；（2）透明物体的折射率. 分析要求出在m点的折射角，要将光路图画出来， 然后找出角度关系. 方法一入射光线在aob上反射，与入射光有对称性，想到将半圆柱补成一个圆，利用圆的特征来解题.q为m点的对称点，q、p、n三点共线. 设在m点处，光的入射角为i，折射角为， 根据题意有=30，=60. 由于对称性，可知 又因为oq=on， 所以pqo=pno=， 由于对称性emp=pnf， 方法二：由几何关系可得 （2）同方法一. 反思这道题难度在于找折射角.方法一，巧妙的通过补全圆，利用圆的对称性找到角度关系；方法二，运用灵活寻找几何关系，ef即可以是eo与of