数学建模-模糊数学理论

1、1 模糊数学的基本概念 2 模糊关系与模糊矩阵 3 模糊聚类分析 4 模糊模式识别 5 模糊综合评判 模糊数学模糊数学 1 模糊数学的基本概念模糊数学的基本概念 1.1 模糊数学概述模糊数学概述 模糊数学是研究和处理模糊性现象（或 概念）的数学方法，而不是把数学变成 模模糊糊的东西，它所要处理事物的概 念本身是模糊的，即一个对象是否符合 这个概念难以确定，我们称这种不确定 性为模糊性。 它与普遍性不同，普遍性是是指一种可用 来表达整个明确定义的现象和活动的特性。 它与随机不确定性不同，随机的不确定性 也是概率的不确定性，其研究的事件本身有 着明确的含义，只是由于发生的条件不充分， 而使得在条件

2、与事件之间不能出现决定的因 果关系，从而事件的出现与否表现出不确定 性，这种不确定性称为随机性。例如“掷一 个骰子时出现4点”是一个明确的事件，但 掷骰子时并非只出现4点，我们说出现4点的 概率是1/6。 回总目录回本章目录 模糊数学所研究的不确定性是：它所处理事 物的概念本身是模糊的，即一个对象是否符合 这个概念难以确定，称这种不确定性为模糊性。 如“青年人”、“老年人”、“漂亮的女 生”、“黎明时刻”、“班上高个子学生”等。 我们无法明确地指出，从几点钟开始就算黎明， 或身高多少就是高个子。这种概念具有模糊性， 无法用普通集合来描述。为了定量地表示这类 模糊概念，并研究它们的客观规律性，就

3、必须 把普通集合的概念加以拓广，借助于模糊集合 来研究。 论域：如果将所讨论的对象限制在一定范围 内，并记所讨论的对象全体构成的集合为U， 称之为论域。 普通集合特征函数 设U是论域，A是U的子集,定义如下映射为集合 A的特征函数 :（集合A可由特征函数唯一确定） 1.2 模糊集与隶属函数 模糊集合隶属函数 1.2.1模糊集与隶属函数的概念模糊集与隶属函数的概念 1）论域）论域U上的模糊集合上的模糊集合A指指：对于任意的uU, 总是以某个程度 属于A；即对于所研究的 某个对象，我们不能确定它有或者没有一个模 糊概念所描述的性质。而只能讨论它具有这种 性质的程度是多少。用集合论的观点说，定义 一

4、个模糊集合，我们无法确定一个元素是否属 于这个模糊集合，而只能说它有多大程度属于 这个模糊集合。这种从属程度我们用0，1之间 的一个数来表示。这就是Zadeh的隶属函数的 想法。 2）隶属函数）隶属函数 设在论域设在论域U上给定了一个映射，上给定了一个映射， 则定义了则定义了U上的一个模糊子集上的一个模糊子集A，映射，映射 称为模糊称为模糊 集集A的隶属函数，的隶属函数， 称为称为x对模糊集对模糊集A的隶属的隶属 程度，也可表示为程度，也可表示为A(x)。 3）模糊集的表示 4）模糊集的运算）模糊集的运算 模糊集与普通集一样，有相同的运算和相应的运模糊集与普通集一样，有相同的运算和相应的运 算

5、规律。算规律。 A与与B的并集、交集及的并集、交集及A的补集定义如下：的补集定义如下： 1.2.2 隶属函数的确定方法隶属函数的确定方法 模糊数学的基本思想是隶属程度的思想，应用模模糊数学的基本思想是隶属程度的思想，应用模 糊数学方法建立数学模型的关键是建立符合实际糊数学方法建立数学模型的关键是建立符合实际 的隶属函数，下面介绍几种常用的确定隶属函数的隶属函数，下面介绍几种常用的确定隶属函数 的方法：的方法： 1）模糊统计方法）模糊统计方法 它可以算是一种比较客观的方法，主要是基于它可以算是一种比较客观的方法，主要是基于 模糊统计实验的基础上，根据隶属度的客观存在模糊统计实验的基础上，根据隶属

6、度的客观存在 性来确定的。性来确定的。 模糊统计试验的四要素为：模糊统计试验的四要素为： 假设我们做假设我们做n次模糊统计试验，则可算出次模糊统计试验，则可算出 当当n不断增大时，其频率的稳定值称为不断增大时，其频率的稳定值称为x0对对A的隶属的隶属 度，即度，即 2）指派方法）指派方法 指派方法是一种主观的方法，它主要依据人们的实指派方法是一种主观的方法，它主要依据人们的实 践经验来确定某些模糊集隶属函数的的一种方法。践经验来确定某些模糊集隶属函数的的一种方法。 若模糊集定义在实数域若模糊集定义在实数域R上，则模糊集的隶属函数上，则模糊集的隶属函数 称为模糊分布；指派方法就是根据问题的性质主

7、称为模糊分布；指派方法就是根据问题的性质主 观地选用某些模糊分布，再根据实际测量数据确观地选用某些模糊分布，再根据实际测量数据确 定其中的参数，常用的模糊分布见下表：定其中的参数，常用的模糊分布见下表： 偏小型：适合描述偏小型：适合描述 “小小”“”“少少”“”“冷冷”“”“浅浅”“”“疏疏”“”“青年青年”等等 偏大型：适合描述偏大型：适合描述 “大大”“”“多多”“”“热热”“”“深深”“”“密密”“”“老年老年”等等 中间型：适合描述中间型：适合描述“中中”“”“不太多不太多”“”“不太不太 深深”“”“不太浓不太浓” “暖和暖和”“”“中年中年”等处于中间等处于中间 状态的模糊现象。状

8、态的模糊现象。 常用的模糊分布常用的模糊分布 3）借用已有的）借用已有的“客观客观”尺度尺度 在经济管理、社会科学中可以直接借用已有的尺度在经济管理、社会科学中可以直接借用已有的尺度 作为模糊集的隶属度，如在论域作为模糊集的隶属度，如在论域U U上定义模糊集上定义模糊集 A=“A=“设备完好设备完好”，可以，可以“设备完好率设备完好率”作为隶属度作为隶属度 来表示来表示“设备完好设备完好”这个模糊集。在论域这个模糊集。在论域U(U(家庭家庭) ) 上定义模糊集上定义模糊集C=“C=“贫困家庭贫困家庭”可用恩格尔系数可用恩格尔系数 =“=“食品消费支出食品消费支出”/“/“总消费总消费”作为隶属

9、度来表示作为隶属度来表示 家庭贫困程度。家庭贫困程度。 4 4）二元对比排序法）二元对比排序法 对于有些模糊集，很难直接给出隶属度，但通过对于有些模糊集，很难直接给出隶属度，但通过 两两比较确定两个元素相应隶属度的大小排出顺序，两两比较确定两个元素相应隶属度的大小排出顺序， 再用数学方法加工得到隶属函数，其实是隶属函数的再用数学方法加工得到隶属函数，其实是隶属函数的 一种离散表示法一种离散表示法 1）模糊关系 2模糊关系与模糊矩阵模糊关系与模糊矩阵 2.1 模糊关系与模糊矩阵的概念模糊关系与模糊矩阵的概念 2) 模糊矩阵模糊矩阵 2.2模糊等价关系与模糊相似关系模糊等价关系与模糊相似关系 1）

10、模糊等价关系）模糊等价关系 2）模糊等价矩阵）模糊等价矩阵 3）模糊相似关系与模糊相似矩阵）模糊相似关系与模糊相似矩阵 2.3 截矩阵与传递矩阵截矩阵与传递矩阵 1）截矩阵）截矩阵 2）模糊传递矩阵）模糊传递矩阵 所谓聚类分析，就是用数学的方法把事物按一定要求 和规律进行分类，它有广泛的实际应用。在模糊数学产生 之前，聚类分析已是是数理统计中研究“物以类聚”的一 种多元分析方法，它通过数学工具定量地确定、划分样品 的亲疏关系，从而客观地、合理地分型划类。由于客观事 物之间在很多情况下并没有一个截然区别的界限，又由于 分类时所依据的数据指标的变化也大都是连续的，同时许 多客观事物之间的界限往往不

11、一定很清晰，使传统的基于 数理统计原理的聚类分析方法遇到了困难。因此用模糊数 学观点解决聚类分析问题，必然会更符合于实际情况。这 种基于建立模糊相似关系对客观事物进行分类的方法，称 为模糊聚类分析。 3 模糊聚类分析模糊聚类分析 3.1 模糊聚类分析理论模糊聚类分析理论： 1) 2) 3) 4) 3.2 基于模糊等价关系的动态聚类分析基于模糊等价关系的动态聚类分析 例题例题 此例题可以用截矩阵的方法来实现此例题可以用截矩阵的方法来实现 3.3 基于模糊相似关系的聚类分析基于模糊相似关系的聚类分析 1）建立模糊相似矩阵）建立模糊相似矩阵 2）传递闭包法）传递闭包法 此外，还有直接聚类法、最大树法

12、、编网法等。此外，还有直接聚类法、最大树法、编网法等。 4 模糊模式识别模糊模式识别 模式识别的问题就是已知事物的各种类别，然后来 判断给定的对象是属于哪一个类别的问题。这里的“模 式”是指标准的样本、式样、样品、图形等。在实际问 题中，有些事物的类别，即模式是明确、清晰和肯定的。 如识别英文字母时，其模式是印刷体英文字母这是清 楚的，但也有很多事物的模式带有不同程度的模糊性。 例如，疾病的类型图象等。对于被识别的对象则往往 特征具有更大的模糊性。例如，手写的英文字母，患者 等我们很难说它们属于那种标准类型。因此，应用模糊 数学的方法进行模式识别显得十分必要。 这里只介绍模糊模式识别中最主要的

13、两种方法，即 直接方法和间接方法。 1）最大隶属原则）最大隶属原则 4.1 最大隶属原则最大隶属原则 2）最大隶属原则）最大隶属原则 4.2 择近原则择近原则 5 模糊综合评判模糊综合评判 5.1 模糊综合评判的一般方法步骤模糊综合评判的一般方法步骤 5.2 模糊综合评判模型的改进模糊综合评判模型的改进 5.3 多级模糊综合评判多级模糊综合评判 在实际问题中，由于问题的复杂性，用上述的一级模糊在实际问题中，由于问题的复杂性，用上述的一级模糊 综合评判的方法得到评判结果可能还不够准确。对于复杂的综合评判的方法得到评判结果可能还不够准确。对于复杂的 问题，由于要考虑的因素较多，且各因素往往层次不同

14、并具问题，由于要考虑的因素较多，且各因素往往层次不同并具 有模糊性，采用一级模糊综合评判，不能解决因素多层次的有模糊性，采用一级模糊综合评判，不能解决因素多层次的 综合评判问题，此时要采用多级模糊综合评判法。多级模糊综合评判问题，此时要采用多级模糊综合评判法。多级模糊 综合评判法的基本思想是：先把每一因素按程度分为若干等综合评判法的基本思想是：先把每一因素按程度分为若干等 级，每一因素及其各个等级都是等级论域上的模糊子集；然级，每一因素及其各个等级都是等级论域上的模糊子集；然 后通过对一个因素的各个等级的综合评判来实现一个因素的后通过对一个因素的各个等级的综合评判来实现一个因素的 单因素评判，从而处理了因素的模糊性；最后再按所有因素单因素评判，从而处理了因素的模糊性；最后再按所有因素 进行综合评