高等数学(同济第六版)课件第一章绪论、第1节

1、 、数学是什么？、数学是什么？ 蜂巢：由一个个正六边形组成。为什么？蜂巢：由一个个正六边形组成。为什么？ 因为蜜蜂懂得因为蜜蜂懂得:只有这只有这 样才能用最少的建筑样才能用最少的建筑 材料营造最大的居住材料营造最大的居住 空间。空间。 一条柔软的绳子两端固一条柔软的绳子两端固 定，使其自然下垂，这定，使其自然下垂，这 条绳子形成什么样的曲条绳子形成什么样的曲 线？线？ 为什么？为什么？ 因为只有这样才能使绳子的总位能最小，因为只有这样才能使绳子的总位能最小， 从而使绳子最稳定！从而使绳子最稳定！ -1-0.500.511.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

2、x y o )( 2 a x a x ee a y )( g h a 悬链线悬链线 光的传播：光的传播： 反射定律：反射定律： 折射定律：折射定律： sinsin 21 vv 为什么？为什么？ 因为光懂得因为光懂得:只有这样才能使传播只有这样才能使传播 时的用时最少！时的用时最少！ 数学是什么？数学是什么？ （1）上帝是按数学的法则创造世界的，）上帝是按数学的法则创造世界的， 数学的规律是宇宙格局的精髓，数学的规律是宇宙格局的精髓， 数学是开启宇宙奥妙之门的钥匙数学是开启宇宙奥妙之门的钥匙。 （2）数学是一种语言，是一切科学的共同语言数学是一种语言，是一切科学的共同语言 伽利略：伽利略：“展现

3、在我们眼前的宇宙像一本用数学展现在我们眼前的宇宙像一本用数学 语言写成的大书，如不掌握数学符号语言，就像在语言写成的大书，如不掌握数学符号语言，就像在 黑暗的迷宫里游荡，什么也看不清。黑暗的迷宫里游荡，什么也看不清。” 爱因斯坦在研究广义相对论时遇到了难题，他求爱因斯坦在研究广义相对论时遇到了难题，他求 助于研究数学的朋友格洛斯曼，后者将黎曼关于弯助于研究数学的朋友格洛斯曼，后者将黎曼关于弯 曲空间的研究工作告诉了他，才使广义相对论的研曲空间的研究工作告诉了他，才使广义相对论的研 究得以继续。究得以继续。 （3）数学是一种工具、一种思维的工具数学是一种工具、一种思维的工具 诺贝尔化学奖获得者哈

4、特曼的晶体结构研究：诺贝尔化学奖获得者哈特曼的晶体结构研究： 哈特曼在获得诺贝尔奖后说过：哈特曼在获得诺贝尔奖后说过：“其实我这一生只学过一门其实我这一生只学过一门 化学，那就是大学一年级时所学的的化学。化学，那就是大学一年级时所学的的化学。” 然而哈特曼却用数学解决了困扰许多化学家然而哈特曼却用数学解决了困扰许多化学家40多年的难题！多年的难题！ 诺贝尔经济学奖获得者阿洛的一般均衡模型：诺贝尔经济学奖获得者阿洛的一般均衡模型： 哈佛大学的一位数学教授看了阿洛的论文后说：哈佛大学的一位数学教授看了阿洛的论文后说：“他用的数他用的数 学很基本，我们哈佛一年级的学生就能完成学很基本，我们哈佛一年级

5、的学生就能完成”。 然而阿洛用的是什么样的数学这一点并不重要，重要的是他然而阿洛用的是什么样的数学这一点并不重要，重要的是他 将数学与经济学成功的相结合，用数学建立了重要的经济学模型！将数学与经济学成功的相结合，用数学建立了重要的经济学模型！ 从公元前从公元前3世纪世纪Euclid的的几何原本几何原本起到起到17世纪，世纪， 称为称为初等数学初等数学时期。又称时期。又称常量数学常量数学时期。时期。 主要研究对象：主要研究对象： 1.匀速的运动（速度不变）；匀速的运动（速度不变）； 2.匀加速的运动（速度均匀变化）匀加速的运动（速度均匀变化） ； 3.直边图形（不弯曲）；直边图形（不弯曲）； 4

6、.圆弧边图形（均匀弯曲）；圆弧边图形（均匀弯曲）； 5.有限次四则运算。有限次四则运算。 两大分支：两大分支： 1.几何学；几何学； 2.代数学。代数学。 伟大功绩：伟大功绩：实现了几何与代数间的一一对应。实现了几何与代数间的一一对应。 1. 点点(几何基本元素几何基本元素)与有序数组与有序数组(代数基本元素代数基本元素) （静态对应）（静态对应） 2. 动点的轨迹动点的轨迹(几何基本元素几何基本元素)与二元方程与二元方程(代数基本元素代数基本元素) （动态对应）（动态对应） 法国数学家法国数学家Descartes引进了引进了直角坐标系直角坐标系。 Newton和和Leibniz各自独立的创造

7、了各自独立的创造了微积分微积分 Newton应用微积分的方法证明了应用微积分的方法证明了 的一一对应。的一一对应。 的一一对应。的一一对应。 Kepler行星运动三定律：行星运动三定律： 1.行星以椭圆轨道绕太阳旋转，太阳在椭圆的一个焦点上。行星以椭圆轨道绕太阳旋转，太阳在椭圆的一个焦点上。 2.在相同的时间里，行星的向径扫过相同的面积在相同的时间里，行星的向径扫过相同的面积. 3.行星公转周期的平方与椭圆轨道长半轴的立方比是常数行星公转周期的平方与椭圆轨道长半轴的立方比是常数. Newton进一步指出：这些定律是能量守恒、角动能守恒进一步指出：这些定律是能量守恒、角动能守恒 的具体表现形式。

8、的具体表现形式。 Leibniz德国数学家德国数学家,实现了微积分内容与形式的完美统一。实现了微积分内容与形式的完美统一。 微积分的方法迅速的在天文学、力学、物理学和工程技术微积分的方法迅速的在天文学、力学、物理学和工程技术 中被广泛应用。中被广泛应用。 以微积分为主要内容的学科以微积分为主要内容的学科 微积分的创立微积分的创立 变量的数学变量的数学 微积分的发展历程 初等数学时代（初等数学时代（1717世纪前）世纪前） 常量的数学常量的数学 算术算术 初等几何初等几何 初等代数初等代数 初等数学时代初等数学时代 算术算术 数的起源数的起源 起初，人们没有数的概念。起初，人们没有数的概念。 在

9、在生产实践生产实践中人们逐渐把数了解为物体集合不中人们逐渐把数了解为物体集合不 可或缺的属性。可或缺的属性。 在更高的发展阶段，数作为抽象的概念而出在更高的发展阶段，数作为抽象的概念而出 现。现。 初等数学时代初等数学时代 算术算术 数的记号数的记号：现代的阿拉伯数字和数字书写法起源：现代的阿拉伯数字和数字书写法起源 于印度，十世纪时由阿拉伯人从印度传入欧洲，于印度，十世纪时由阿拉伯人从印度传入欧洲， 再经历好几个世纪后才最终固定下来。再经历好几个世纪后才最终固定下来。 数的运算及数制的完善数的运算及数制的完善。 算术概念最终产生算术概念最终产生并作为一种理论出现。并作为一种理论出现。 初等数

10、学时代初等数学时代 初等几何初等几何 几何的起源几何的起源 起初，人们没有几何对象的概念。起初，人们没有几何对象的概念。 在在生产实践生产实践中人们逐渐把一些具体的几何形中人们逐渐把一些具体的几何形 状了解为物体不可或缺的属性。状了解为物体不可或缺的属性。 在更高的发展阶段，一些几何体甚至几何量在更高的发展阶段，一些几何体甚至几何量 ( (长度、面积、体积长度、面积、体积) )作为抽象的概念而出现。作为抽象的概念而出现。 初等数学时代初等数学时代 初等几何初等几何 几何是埃及人发现的，从测量土地中产生几何是埃及人发现的，从测量土地中产生 的。因为尼罗河的水泛滥，经常冲去界限，所的。因为尼罗河的

11、水泛滥，经常冲去界限，所 以这种测量对埃及人是必需的。这门科学和其以这种测量对埃及人是必需的。这门科学和其 他科学一样，是从人类的需要产生的，对于这他科学一样，是从人类的需要产生的，对于这 一点没有什么可惊异的，任何新产生的知识都一点没有什么可惊异的，任何新产生的知识都 是从不完善的状况过渡到完善的状况。是从不完善的状况过渡到完善的状况。 古希腊学者罗德的欧第姆古希腊学者罗德的欧第姆 初等数学时代初等数学时代 初等几何初等几何 欧几里德欧几里德几何原本几何原本的出现的出现(约公元前三世纪约公元前三世纪) 使得几何学作为一门理论第一次被完整而严密的使得几何学作为一门理论第一次被完整而严密的 表述

12、表述 初等几何学。初等几何学。 拉拉 丁丁 文文 译译 本本 徐光启和利玛窦徐光启和利玛窦 初等数学时代初等数学时代 初等几何初等几何 欧几里德欧几里德几何原本几何原本的出现的出现(约公元前三世纪约公元前三世纪) 使得几何学作为一门理论第一次被完整而严密的使得几何学作为一门理论第一次被完整而严密的 表述表述 初等几何学。初等几何学。 初等几何学的研究对象初等几何学的研究对象，主要是静态的有很强，主要是静态的有很强 对称性的几何体。对称性的几何体。 初等数学时代初等数学时代 初等代数初等代数 初等代数学来源于算术的发展初等代数学来源于算术的发展，它的基础是脱离，它的基础是脱离 了具体数字在一般形

13、态上形式地加以考察的关于了具体数字在一般形态上形式地加以考察的关于 算术运算的学说。算术运算的学说。 事实上，英文的代数一词事实上，英文的代数一词 algebra 本意就是整理本意就是整理 和对比：整理和对比：整理 把负项移到方程的另一边，对把负项移到方程的另一边，对 比比 把方程两边的相同项消掉。把方程两边的相同项消掉。 初等数学时代（初等数学时代（1717世纪前）世纪前） 常量的数学常量的数学 算术算术 初等几何初等几何 初等代数初等代数 哪些主要的科学问题呢哪些主要的科学问题呢? 有四种主要类型的问题有四种主要类型的问题. 微积分的创立，首先是为了处理十七微积分的创立，首先是为了处理十七

14、 世纪主要的科学问题。世纪主要的科学问题。 第一类问题第一类问题 已知物体的移动距离和移动时间的函数式，求已知物体的移动距离和移动时间的函数式，求 物体在物体在任意时刻任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物的速度和加速度；反过来，已知物 体的加速度表为时间的函数式，求速度和距离。体的加速度表为时间的函数式，求速度和距离。 困难在于：例如，计算瞬时速度，就不能象计算困难在于：例如，计算瞬时速度，就不能象计算 平均速度那样，用运动的时间去除移动的距离，因为平均速度那样，用运动的时间去除移动的距离，因为 在给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是在给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是 0，而，而 0

15、 / 0 是无意义的。但根据物理学，每个运动的物体在是无意义的。但根据物理学，每个运动的物体在 它运动的每一时刻必有速度，是不容怀疑的。它运动的每一时刻必有速度，是不容怀疑的。 第一类问题第一类问题 求曲线的切线。求曲线的切线。 这个问题的重要性来源于几个方面：纯几何问题、这个问题的重要性来源于几个方面：纯几何问题、 光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体在它光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体在它 的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。 第二类问题第二类问题 第二类问题第二类问题 困难在于：曲线的困难在于：曲线的“切线切线”的定义本身就是一个的定义

16、本身就是一个 没有解决的问题。没有解决的问题。 古希腊人把圆锥曲线的切线定义为古希腊人把圆锥曲线的切线定义为“与曲线只接与曲线只接 触于一点而且位于曲线的一边的直线触于一点而且位于曲线的一边的直线”。这个定义对。这个定义对 于十七世纪所用的较复杂的曲线已经不适应了。于十七世纪所用的较复杂的曲线已经不适应了。 第三类问题第三类问题 求函数的最大最小值问题。求函数的最大最小值问题。 十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以 角角 发射炮弹时，射程最大。发射炮弹时，射程最大。 研究行星运动也涉及最大最小值问题。研究行星运动也涉及最大最小值问题。 45 困难在于：原有的

17、初等计算方法已不适于解决研困难在于：原有的初等计算方法已不适于解决研 究中出现的问题。但新的方法尚无眉目。究中出现的问题。但新的方法尚无眉目。 第三类问题第三类问题 第四类问题第四类问题 求曲线的长度、曲线所围成的面积、曲面所围成求曲线的长度、曲线所围成的面积、曲面所围成 的体积、物体的重心。的体积、物体的重心。 困难在于：古希腊人用穷竭法求出了一些面积和困难在于：古希腊人用穷竭法求出了一些面积和 体积，尽管他们只是对于比较简单的面积和体积应用体积，尽管他们只是对于比较简单的面积和体积应用 了这个方法，但也必须添加许多技巧，因为这个方法了这个方法，但也必须添加许多技巧，因为这个方法 缺乏一般性

18、，而且经常得不到数值的解答。缺乏一般性，而且经常得不到数值的解答。 穷竭法先是被逐步修改，后来由微积分的创立而穷竭法先是被逐步修改，后来由微积分的创立而 被根本修改了。被根本修改了。 第四类问题第四类问题 圆可以被圆内接多边形圆可以被圆内接多边形 穷竭。穷竭。 在圆里面内接一个正方在圆里面内接一个正方 形。形。 圆可以被圆内接多边形穷竭圆可以被圆内接多边形穷竭 8 边形边形 16边形边形 32边形边形 64边形边形 16边形边形 这种做法你想做这种做法你想做 多少次就可以做多少多少次就可以做多少 次。可以肯定，圆与次。可以肯定，圆与 某一边数足够多的正某一边数足够多的正 多边形面积之差可以多边

19、形面积之差可以 弄得比任何预先给定弄得比任何预先给定 的量还要小。的量还要小。 微积分的基本内容微积分的基本内容 研究函数研究函数，从量的方面，从量的方面研究事物的运动变化研究事物的运动变化是微积分是微积分 的基本方法。这种方法叫做的基本方法。这种方法叫做数学分析数学分析。 本来从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等本来从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等 许多数学的分支学科，但是现在一般已习惯于把数学许多数学的分支学科，但是现在一般已习惯于把数学 分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义 词。词。 微积分的内容包括微积分的内容包括 微

20、分学微分学 和和 积分学积分学。 微分与积分是分析中的两种基本的极限过程。微分与积分是分析中的两种基本的极限过程。 这两种过程的一些特殊的情况，甚至在古代就已经这两种过程的一些特殊的情况，甚至在古代就已经 有人考虑过（在阿基米德工作中达到高峰），而在有人考虑过（在阿基米德工作中达到高峰），而在 十六世纪和十七世纪，更是越来越受到人们的重十六世纪和十七世纪，更是越来越受到人们的重 视。然而，视。然而，微积分的系统发展是在十七世纪才开始微积分的系统发展是在十七世纪才开始 的，的，通常认为通常认为是牛顿和莱布尼茨两位伟大的科学先是牛顿和莱布尼茨两位伟大的科学先 驱的创造。这一系统发展的关键在于认识到

21、：过去驱的创造。这一系统发展的关键在于认识到：过去 一直分别研究的微分和积分这两个过程，实际上是一直分别研究的微分和积分这两个过程，实际上是 彼此互逆的联系着。彼此互逆的联系着。 牛顿牛顿，是英国伟大的数学家、物理学家、，是英国伟大的数学家、物理学家、 天文学家和自然哲学家。天文学家和自然哲学家。1642年年12月月25日日 生于英格兰林肯郡格兰瑟姆附近的沃尔索生于英格兰林肯郡格兰瑟姆附近的沃尔索 普村普村,1727年年3月月20日在伦敦病逝。日在伦敦病逝。 牛顿牛顿1661年入英国剑桥大学三一学院，年入英国剑桥大学三一学院， 1665年获文学士学位。随后两年在家乡躲年获文学士学位。随后两年在

22、家乡躲 避瘟疫。这两年里，他制定了一生大多数避瘟疫。这两年里，他制定了一生大多数 重要科学创造的蓝图。重要科学创造的蓝图。1667年回剑桥后当年回剑桥后当 选为三一学院院委，次年获硕士学位。选为三一学院院委，次年获硕士学位。 1669年任卢卡斯教授直到年任卢卡斯教授直到1701年。年。1696年年 任皇家造币厂监督，并移居伦敦。任皇家造币厂监督，并移居伦敦。1703年年 任英国皇家学会会长。任英国皇家学会会长。1706年受女王安娜年受女王安娜 封爵。他晚年潜心于自然哲学与神学。封爵。他晚年潜心于自然哲学与神学。 牛顿牛顿在科学上最卓越的贡献是微积分在科学上最卓越的贡献是微积分 和经典力学的创建

23、。和经典力学的创建。 牛顿牛顿在在1671年写了年写了流数法和流数法和 无穷级数无穷级数，这本书直到，这本书直到1736年才年才 出版，它在这本书里指出，变量是出版，它在这本书里指出，变量是 由点、线、面的连续运动产生的，由点、线、面的连续运动产生的， 否定了以前自己认为的变量是无穷否定了以前自己认为的变量是无穷 小元素的静止集合。他把连续变量小元素的静止集合。他把连续变量 叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流动量，把这些流动量的导数 叫做叫做流数流数。牛顿牛顿在流数术中所提出在流数术中所提出 的中心问题是：的中心问题是：已知连续运动的路已知连续运动的路 径，求给定时刻的速度（微分法）；径，求

24、给定时刻的速度（微分法）； 已知运动的速度求给定时间内经过已知运动的速度求给定时间内经过 的路程的路程(积分法积分法)。 莱布尼茨莱布尼茨，德国数学家、哲学家，和牛顿同，德国数学家、哲学家，和牛顿同 为微积分的创始人；为微积分的创始人；1646年年7月月1日生于莱比锡，日生于莱比锡， 1716年年11月月14日卒于德国的汉诺威。日卒于德国的汉诺威。 他父亲是莱比锡大学伦理学教授，家庭丰富他父亲是莱比锡大学伦理学教授，家庭丰富 的藏书引起他广泛的兴趣。的藏书引起他广泛的兴趣。1661年入莱比锡大学年入莱比锡大学 学习法律，又曾到耶拿大学学习几何，学习法律，又曾到耶拿大学学习几何，1666年在年在

25、 纽伦堡阿尔特多夫取得法学博士学位。他当时写纽伦堡阿尔特多夫取得法学博士学位。他当时写 的论文的论文论组合的技巧论组合的技巧已含有数理逻辑的早期已含有数理逻辑的早期 思想，后来的工作使他成为数理逻辑的创始人。思想，后来的工作使他成为数理逻辑的创始人。 1667年他投身外交界，曾到欧洲各国游历。年他投身外交界，曾到欧洲各国游历。 1676年到汉诺威，任腓特烈公爵顾问及图书馆的年到汉诺威，任腓特烈公爵顾问及图书馆的 馆长，并常居汉诺威，直到去世。馆长，并常居汉诺威，直到去世。 莱布尼茨莱布尼茨的多才多艺在历史上很少有人能和的多才多艺在历史上很少有人能和 他相比，他的著作包括数学、历史、语言、生物他

26、相比，他的著作包括数学、历史、语言、生物 、地质、机械、物理、法律、外交等各个方面。、地质、机械、物理、法律、外交等各个方面。 莱布尼茨是一个博才多学的学者莱布尼茨是一个博才多学的学者,1684 年，他发表了现在世界上认为是最早的微年，他发表了现在世界上认为是最早的微 积分文献，这篇文章有一个很长而且很古积分文献，这篇文章有一个很长而且很古 怪的名字怪的名字一种求极大极小和切线的新方一种求极大极小和切线的新方 法，它也适用于分式和无理量，以及这种法，它也适用于分式和无理量，以及这种 新方法的奇妙类型的计算新方法的奇妙类型的计算。就是这样一。就是这样一 片说理也颇含糊的文章，却有划时代的意片说理

27、也颇含糊的文章，却有划时代的意 义。他以含有现代的微分符号和基本微分义。他以含有现代的微分符号和基本微分 法则。法则。1686年，年，莱布尼茨莱布尼茨发表了第一篇积发表了第一篇积 分学的文献。他是历史上最伟大的符号学分学的文献。他是历史上最伟大的符号学 者之一，他所创设的微积分符号，远远优者之一，他所创设的微积分符号，远远优 于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大 的影响。现在我们使用的微积分通用符号的影响。现在我们使用的微积分通用符号 就是当时就是当时莱布尼茨莱布尼茨精心选用的精心选用的. 任何一件新事物出现时，一般不可能是十任何一件新事物出现时，一般不可能

28、是十 分完美的。如果牛顿和莱布尼茨想到过连续函分完美的。如果牛顿和莱布尼茨想到过连续函 数不一定有导数数不一定有导数而这却是一般情形而这却是一般情形那那 么微分学就决不会被创造出来。么微分学就决不会被创造出来。 毕卡毕卡 十八世纪，人们扩展了微积分，并创立了一些十八世纪，人们扩展了微积分，并创立了一些 新的分支。数学家们对微积分以及随后产生的分支新的分支。数学家们对微积分以及随后产生的分支 做了纯形式的处理。在这个经受了挫折、错误、不做了纯形式的处理。在这个经受了挫折、错误、不 完全和混乱的处理过程中，虽然他们的技巧是很高完全和混乱的处理过程中，虽然他们的技巧是很高 超的，但却不是由明确的数学

29、思想指导的，而是由超的，但却不是由明确的数学思想指导的，而是由 直观和物理见解指引的。直观和物理见解指引的。 历史进入十九世纪，数学陷入更加自相矛盾历史进入十九世纪，数学陷入更加自相矛盾 的处境。虽然它在描述和预测物理现象方面所取的处境。虽然它在描述和预测物理现象方面所取 得的成功远远超过人们的预料，但是，正如十八得的成功远远超过人们的预料，但是，正如十八 世纪的人所指出的那样，大量的数学结构没有逻世纪的人所指出的那样，大量的数学结构没有逻 辑基础，因此不能保证数学是正确无误的。尽管辑基础，因此不能保证数学是正确无误的。尽管 这种自相矛盾的情况一直存在于十九世纪上半这种自相矛盾的情况一直存在于

30、十九世纪上半 叶，但并不影响许多数学家在开始研究的自然科叶，但并不影响许多数学家在开始研究的自然科 学的一些新领域中成绩斐然。学的一些新领域中成绩斐然。 直到十九世纪中后期，经过直到十九世纪中后期，经过 波尔查诺、柯西、波尔查诺、柯西、 魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯 等一些数学家的工作才给分析提供了等一些数学家的工作才给分析提供了 严密性。这些工作将微积分及其推广从几何概念、严密性。这些工作将微积分及其推广从几何概念、 运动和直觉的完全依赖中解放出来。运动和直觉的完全依赖中解放出来。 这些研究一开始就造成了巨大轰动。在一次科这些研究一开始就造成了巨大轰动。在一次科 学会议上，柯西提出了级数收敛性理

31、论，会后拉普学会议上，柯西提出了级数收敛性理论，会后拉普 拉斯急忙赶回家并隐居起来，直到查完他的拉斯急忙赶回家并隐居起来，直到查完他的天体天体 力学力学中所用到的级数为止（幸亏他用到的级数都中所用到的级数为止（幸亏他用到的级数都 是收敛的）。是收敛的）。 当魏尔斯特拉斯的工作通过演讲为人们所知当魏尔斯特拉斯的工作通过演讲为人们所知 时，其影响更为显著。时，其影响更为显著。 微积分创立的现实意义微积分创立的现实意义 微积分是与应用联系着发展起来的，最初微积分是与应用联系着发展起来的，最初牛顿牛顿 应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导 出了开普勒行星

32、运动三定律。此后，微积分学极出了开普勒行星运动三定律。此后，微积分学极 大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天 文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、 经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分 支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应 用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不 断发展。断发展。 刘徽（生于公元250年左右），是中国数学史上一 个非常伟大的数学家，在世界数学史

33、上，也占有杰出的 地位他的杰作九章算术注和海岛算经，是我 国最宝贵的数学遗产 刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直 观他是我国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数 学命题的人 刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生他虽然地位低 下，但人格高尚他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不 厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富 刘徽 九章算术约成书于东汉之初，共有246个问题的 解法他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十 进小数来表示无理数的立方根在代数方面，他正确地 提出了正负数的概念及其加减运算的法则；改进了线性 方程组的解法在几何方面，提出了割圆术，即将圆 周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆

34、面积和圆周长 的方法他利用割圆术科学地求出了圆周率=3.14的结 果刘徽在割圆术中提出的割之弥细，所失弥少，割之 又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣，这可视为 中国古代极限观念的佳作 海岛算经一书中， 刘徽精心选编了九个测 量问题，这些题目的创造性、复杂性和富有代表性， 都在当时为西方所瞩目 课程介绍 (一）微积分是什么？ （二）为什么要学微积分？ （三）怎样学好微积分？ (一）微积分是什么？ 1. 研究对象： 函数 2. 研究方法： 极限 3. 与初等数学的区别： 方法上主要是利用极限 返回返回 （二）为什么要学微积分？ 1. 生活中的实例： （1）中国数学家的极限、积分思想中国数学家的

35、极限、积分思想 “割圆求周割圆求周”（三国三国刘徽刘徽） 圆周率、球体积、球表面积的研究（圆周率、球体积、球表面积的研究（祖冲之、祖暅祖冲之、祖暅） 一尺之棰，日取其半，万世不竭（一尺之棰，日取其半，万世不竭（ 朴素、朴素、 典型的典型的 极限极限概概 念念 （2）气温、植物生长、热量等连续不断地变 化（函数的连续性） （3) 质点的自由落体运动，已知路程，如何求速度？ （导数） （4) 质点的自由落体运动，已知速度，如何求路程？ （不定积分） （5）变力做功（定积分） 2. 与专业学习的关系： （1）能力(素质）培养（逻辑思维能力、抽象、 归纳总结、推理、空间想象等能力和刻苦钻研、 一丝不苟

36、等精神以及认真负责的工作态度）； （2） 专业所需（经济中的成本、收入、利润函 数，成本最小化和利润最大化，边际、弹性，新 产品新技术推广模型和价格调整模型等）； （3）考试必需 （继续深造如考研等）。 返回返回 （三）怎样学好微积分？ “学思习” 华罗庚：“抓住要点”使“书本变 薄”。 学学+问（主动学习，多于老师接触，加强 同学间的交流） 思思考 习课前预习、课后复习、多做习题 微积分包括以下内容： （1）一元函数微积分：函数、极限与连续、导数与微分、 不定积分与定积分； （2）多元函数微积分：多元函数、二元函数的极限与连 续、二元函数的偏导数与全微分、二重积分； （3）无穷级数； （4）

37、常微分方程。 我们主我们主 要学习要学习 内容内容 返回 微 积 分 的 三大 运 算（概 念） 极限 导数（和微分） （不定积分积分 和定积分） 同济版的教材的基本结构同济版的教材的基本结构 微积分的基本方法：微元分析法微积分的基本方法：微元分析法 例例1 Galileo通过实验通过实验 确立了确立了 2 2 1 )(gtts 自由落体运动规律：自由落体运动规律： 问：在时刻问：在时刻 t 时，落体的速度时，落体的速度v(t)是什么？是什么？ ttt 时间：时间： 路程：路程：)()(tsttss 22 2 1 )( 2 1 gtttg 2 )( 2 1 tgtgt 速度：速度：Vtv t0

38、 lim)( t s t 0 lim ) 2 1 (lim 0 tggt t gt 非非 匀匀 速速 问问 题题 匀速问题匀速问题 近似解近似解 在小范围内在小范围内 初初 数数 等等 学学 缩小范围直至缩小范围直至0 取极限取极限 平均速度：平均速度： tggt t s V 2 1 nn Sn 1 ) 1 ( 2 例例2 计算由计算由 y=0 , x=1 , 2 xy 所围成的曲边形的面积。所围成的曲边形的面积。 x y o 将区间将区间0,1 n 等分，等分， nn 1 ) 2 ( 2 nn n1 ) 1 ( 2 3 222 1 )1(21 n n 用小矩形面积之和代替曲边形的面积用小矩形

39、面积之和代替曲边形的面积 曲边曲边 S 6 )12()1(1 3 nnn n ), 1 2)( 1 1( 6 1 nn ) 1 2)( 1 1( 6 1 lim nn n . 3 1 n n SS lim 曲边曲边 曲曲 边边 问问 题题 直边问题直边问题 近似解近似解 在小范围内在小范围内 初初 数数 等等 学学 缩小范围直至缩小范围直至0 取极限取极限 极限概念是微积分的极限概念是微积分的“源源”，先直观上认识一下极，先直观上认识一下极 限：限： 数列极限的直观定义数列极限的直观定义 若当若当n无限增大时无限增大时,数列数列xn对应的项无限接近于对应的项无限接近于 常数常数a,则称常数则称

40、常数a为数列为数列 xn的极限的极限, 记为记为:axn n lim n n 1 lim p n n 1 lim （其中（其中p为大于零的常数）为大于零的常数） n n ) 2 1 (lim n n q lim C n lim（其中（其中C为常数）为常数）C 0 0 0 （其中（其中q为常数为常数, |q|1）0 数列极限的四则运算法则数列极限的四则运算法则 n n x lim n n y lim n n n n nn n yxyx limlim)(lim)1( n n n n nn n yxyx limlim)(lim)2( 0lim n n y n n n n n n n y x y x

41、lim lim lim n n n n xCxC lim)(lim 求下列数列的极限求下列数列的极限 ) 3 2)( 2 1(lim)1( nn n ) 3 2(lim) 2 1(lim nn nn ) 3 lim2lim)( 2 lim1lim( nn nnnn 221 53 32 lim)2( 2 2 nn n n 2 2 1 5 1 3 1 32 lim nn n n 2 2 1 lim5 1 lim3lim 1 lim32lim nn n nnn nn ) 1 5 1 3(lim ) 1 32(lim 2 2 nn n n n 3 2 2 )1( 2 1 lim n nn n ) 1

42、1( 2 1 lim n n . 2 1 2 21 lim n n n ) 21 (lim)3( 222 n n nn n 作业：作业： 1. 求下列数列的极限求下列数列的极限 3 )23)(12)(1( lim)1( n nnn n 1 52 lim)2( 2 2 n nn n 1 1 235 32 lim)4( nn nn n )1(lim)5( 2n n qqq ( q为常数，且为常数，且|q|0， 数集数集 称为点称为点 a的的邻域，邻域， axx 记为：记为：),( aU 称称 a为邻域中心，为邻域中心，为邻域半径。为邻域半径。 x a a a . 0 axx),( aU 。 点点

43、a的去心邻域，记作：的去心邻域，记作： 定义定义1：设设 X、Y 是两个非空集合，若存在一个是两个非空集合，若存在一个 法则法则 f ，使对，使对 X中每个元素中每个元素 x ，按法则，按法则 f ， 在在Y 中有中有唯一确定唯一确定的元素的元素 y 与之对应，与之对应， 则称则称 f 为从为从 X到到Y 的映射，记作的映射，记作 f ： X Y 记记: Df = X , Rf =f(X)= f(x) | xX 其中其中y称为元素称为元素x在影射在影射f 下的像。下的像。 构成影射的要素：构成影射的要素： （1）定义域）定义域 （2）对应的唯一性）对应的唯一性 例例1 设设，1| ),( 22

44、 yxyxX1|)0 ,( xxY )0 ,(),( : xyx YXf x y o 定义定义2：设：设 f 是从是从 X到到Y 的映射，的映射， YRf 若若则称则称 f 为为满射满射， 21 xx 若对若对X 中任意两个不同的元素中任意两个不同的元素 )()( 21 xfxf 必有必有则称则称 f 为为单射。单射。 若若 f 既为既为单射又为满射单射又为满射，则称 则称 f 为为一一映射（双射）。一一映射（双射）。 定义定义3：设：设 f 是从是从 X到到Y 的单射，若对每一个的单射，若对每一个yRf ， 有唯一的有唯一的xX，满足，满足f(x)=y, 按此法则定义了一个按此法则定义了一个

45、Rf到到 X的映射的映射g， g: Rf X 称为称为f 的逆映射，的逆映射， 记为：记为： 1 f 例例2 设设，01| ),( 22 yyxyxX 1|)0 ,( xxY )0 ,(),( : xyx YXf ),()0 ,( : 1 yxx XYf 定义定义 设数集设数集 D , 则称映射则称映射 f : DR 为定义在为定义在 D 上的函数，上的函数， 记作记作 y= f(x)，xD 如如(1) y=x+5 (2) x=y+5 对应法则：对应法则： =+5 (1) 符号函数符号函数 几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例 01 00 01 sgn x x x xy 当当 当当 当当 x

46、1 -1 y o xxxsgn| 1 2 3 4 5 -2 -4 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -3 x y o (2) 取整函数取整函数 阶梯曲线阶梯曲线 y=x x表示不超过表示不超过 x 的最大整数的最大整数 是无理数是无理数 是有理数是有理数 x x xDy 0 1 )( (3) 狄利克雷函数狄利克雷函数 , 1 , 12 )( 2 x x xf 12 xy 1 2 xy 当当 x 0 时时 当当 x 0 时时 ,DX 若若 （1）函数的有界性）函数的有界性: 设函数设函数 f(x) 的定义域为的定义域为D， , 0 M ,)(,成立成立有有MxfXx 定义：定义： ,

47、A 若若,)(,成立成立有有AxfXx 则称函数则称函数 f(x) 在在X上上有界有界， 否则称无界。否则称无界。 则称函数则称函数 f(x) 在在X上上有上界有上界。 ,B 若若Bxf )( 有下界。有下界。 例例3 证明证明 4 13 2 x x y有界有界 证证 | 4 13 | 2 x x 4 |13| 2 x x 4 1|3 2 x x 4 1 4 |3 22 xx x )4(2 )1(3 2 2 x x 4 1 2 3 4 1 4 7 4 13 2 x x y有界有界 （2）函数的单调性）函数的单调性: 设函数设函数 f(x)的定义域为的定义域为D，区间，区间,DI 若对区间若对区

48、间I上的任意两点上的任意两点x1与与x2 ,当当x1x2 时时， 恒有恒有f(x1) f(x2) ， 称称y = f(x)在区间在区间 I 上是单调上是单调 增加增加 的的. )(xfy )( 1 xf )( 2 xf x y o I )(xfy )( 1 xf )( 2 xf x y o I （3）函数的奇偶性）函数的奇偶性 （4 4）函数的周期性）函数的周期性 例例4 证明：定义在证明：定义在R上的任意函数，都可以表示为上的任意函数，都可以表示为 一个奇函数与一个偶函数之和。一个奇函数与一个偶函数之和。 证证Rxxf )( 设设 ),()( 2 1 )( xfxfx 记记)()( 2 1

49、)(xfxfx )()( 2 1 )(xfxfx )(x 奇函数奇函数 )()( 2 1 )(xfxfx )(x 偶函数偶函数 )()()(xxxf （1）反函数）反函数 定义：定义：设函数 设函数 y = f(x) xX, 若对若对 ),(Xfy 存在唯一的存在唯一的 xX,使使 y = f(x)成立，成立， 则在则在 f(X)中中 定义了一个函数定义了一个函数)( 1 yfx 称为称为 y = f(x)的反函数的反函数. 例例5 求求)( 2 1 xx eey 的反函数的反函数 解解,2 xx eey , 12 2 xx eye012 2 xx yee 2 442 2 yy e x 1 2 yye x )1ln( 2 yyx反函数反函数)1ln( 2 xxy 记记shxee xx )( 2 1 称为称为双曲正弦双曲正弦函数，函数， 记记称为称为反双曲正弦反双曲正弦函数，函数， arshxxx )1ln( 2 定理定理1 设函数设函数 y = f(x) 在在X上单调增上单调增(减减), 则设则设 y = f(x) 必存在反函数必存在反函数 ),( 1 yfx 且它在且它在 f (X)上也是单调增上也是单调增(减减). （2）复合函数）复合函数 定义定义: ,函数函数u = g(x) 设函数设函数y = f(u)的定义域为的定