2005几何与代数相结合的综合问题..doc

1、几何与代数相结合的综合问题【考点透视】几何与代数相结合的综合题是初屮数学屮涵盖广、综合性最强的题型它可以包含初屮阶段所 学的代数与几何的若干知识点和各种数学思想方法，还能有机结合探索性、开放性等有关问题；它既突出考查了初中数学的主干知识，又突出了与高中衔接的重要内容，女口函数、方 程、不等式、三角形、四边形、相似形、圆等综观全国各地的中考试题，90%左右的压轴题都是几何与代数相结合的综合题就江苏省十三个大市来说，有十一个大市最后的压轴题都是这样的题型，占分比例都很高编制这样的综合题，不但考查学生数学基础知识和灵活运用知识的能力；考查学生对数学知识迁移整合能力；考查学生学会将大题分解为小题，逐个

2、击破的能力；考查学生对几何与代数之间的内在联系，多角度、多层面综合运用数学知识、数学思想方法分析问题和解决问题的能力；还考 查学生知识网络化、创新意识和实践能力几何与代数综合题在屮考试题屮还有特别重要的功能，它关系到整个试卷的区分度；有利于高 -级学校选拔人才典型例题例1 已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+4k -3=0(1)求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)当RtA ABC的斜边长a=、_31,且两条直角边的长b和c恰好是这个方程的两个根时，求 ABC的周长(2003年江苏省连云港市中考试题)分析：(1)由一元二次方程根的判别式 得厶=(2k-3)2

3、+40即可( 2)由一元二次方程根与系数关系，再由直角三角形的勾股定理建立关于k的一元二次方程，从而求出三角形的另两边2和解：证明： =- ( 2k+1) 2-4X 1 x (4k-3 )=4k2- 12k+13=(2k -3 )2+4 无论 k 取什 么实 数值，总有，2k-3)2+40,即厶0, 无论k取什么实数值时，该方程总有两个不相等的实数根由一元二次方程根与系数的关系，得 b+c=2k+1 , bc=4k3又在RtA ABC屮，根据勾股定理，得 b2+c2=a2, ( b+c) 2-2bc=(J5if,即(2k+1) 2-2(4k-3)=31,整理得，得 k2- k- 6=0 , 解

4、这个方程，得k=- 2或k=3.当k=2时，b+c=4+1 = - 3AC .(2) 在线段BC的延长线上是否存在点D,使得以DAC为顶点的三角形与 ABC相似？若存在，求出CD的长；若不存在，请说明理由.A图132镇江市屮考试题)(2003年江苏省2、已知：如图123,四边形ABCD为菱形，AF丄AD交BD于2 1(1) 求证：ad2= de db ；2(2) 过点E作EG丄AF交AB于点G,若线段 BE、DE (BE0)图133的两个根，且菱形ABCD的面积为6 3,求EG的长.4例3如图13-4,直线y=-_ 4 5与X轴、y轴分别交于点M(2003年江苏省 无锡市中考试题)(2)如果点

5、P在坐标轴上，以点p为圆心，12为半径的圆与N.(1)求MN两点的坐标;(2003年江苏省南京市中考试题)P与直线相切，因此点P到直线MN的距离等于圆的网络改进学习学习改变命运(2003年江苏省宿迁市屮考试题)一分析：(1)由圆的切割线定理、方程的根与系数关系易求0 O的半径.(2)由切 线长相 等，设CD=CB=)用勾股定理建立关于x的一元二次方程即可求出CD的 长.解：(1 )T AD 是 OO 的切线，aD=AE AB 又 AD=2.,3/ AE AB=12NA=Z MNO, RANAAMON.RA RN亠亠i2-一二一.在 Rt A OMN 屮，OM=3 ON=4 MN=5.又 PA=

6、, BN=4. Pi 点坐 MO MN 5 标是(0, 0).当P2点在x轴上，并且在M点的左侧时，同理可得P2点坐标是(0, 0).4 当P3点在x轴上，并且在M点的右侧时，设0P3与直线y=x4相切于点B,连结巳B,3则 PsB 丄 MN. OA/P sB. / OA=PB,. P3M=OM=3. OP=6. P3 点坐标是(6, 0). 当P4点在y轴上，并且在点N上方时，同理可得P4N=ON=4. - OP=8. P4点坐标是(0, 8).综上,P 点坐标是(0, 0), (6, 0), ( 0, 8).说明：本题不仅考查学生函数与方程，相似三角形，同时也考查了数形结合，分类讨论等思想，其屮熟练地进行线段长与坐标的互化也是解题的关键.其实本题若能从轨迹的角度去考虑，就可以避免了分类的遗漏，也可以把问题转化为求一次函数的解析式，