4-5证明不等式的基本方法自主训练

1、精品资源第二讲 证明不等式的基本方法自主广场 我夯基我达标1.下列关系中对任意 ab0的实数都成立的是a.a2b2b.lgb 21d.(a思路解析:ab-b0.(-a) 2(-b) 20,即 a2b20.by lg1=0. ab2p 221.又 igb -iga =lga1 . igb 20且 awl,p=log a(a3+1),q=log a(a2+1),则 p,q 的大小关系是(a.pqb.pqc.p=qd.大小不确定思路解析：p-q=log a(a3+1)-loga(a 2+l) = log3a 1a a21当 0a1 时,0a3+1a2+1,0 aa2 10a 0.a2 1欢迎下载即

2、p-q0,. .pq.当 a1 时,a3+1a2+10,3a2a1 .1, - -log13a2a1八0.1即 p-q0,. .pq.答案：a3 .a,b都是正数，p= ab ,q= va+b ,则p,q的大小关系是(2a.pqb.pqd.pwq思路解析:. a,b都是正数，.-.p0,q0.-p2-q2=(a 、b )2-( . a b)22=_( a )2 v0-0.2.p2-q20. .,.p q.答案：d4.已知0x1,a= 2jx ,b=1+x,c=1 ，则其中最大的是()1 -xa.a b.b c.c d.不能确定思路解析：因为0x0,b0,c0,又 a2-b2=( 2 x)2-(

3、1+x) 2=-(1-x) 20,所以 a2-b 20,a0,1 -x 1-x所以cb,所以cba. 答案：c5.已知 a,b,c,de 正实数且且2,则()b da.a a c cb.a c a c b b d db d b dc.a c a cd.以上均可能b d b d思路解析：因为a-亘上=ad bc b b d b(b d)又因为a,b,c,d e正实数且2,ad -bcaa c所以,0.所以一.b(b d)bb dacc ad-bcacc又因为-=0,所以.bdd(b d) *dbdd答案：a6 .若-1ab1 ,a 2b2,故只需比较1与b2的大小. a bb因为 b20, 1

4、0,1 x 2+2x3.证法一 ：1+2x4-(x 2+2x3)=2x3(x-1)-(x-1)(x+1)=(x-1)(2x 3-x-1)=(x-1) 2(2x2+2x+1)=(x-1) 2 (x+1) 2+x2 0,即 1+2x4-(x 2+2x3) 0.所以 1+2x4x2+2x3.证法二：1+2x4-(x 2+2x3)=x4-2x3+x2+x4-2x 2+1=x2(x-1) 2+(x2-1) 20.即 1+2x4-(x 2+2x3) 0.所以 1+2x4x 2+2x3.8 .已知 abc0,求证：a 2ab2bc2cab+cba+cca+b.证明：由 abc0,得 ab+cbc+aca+b

5、0.a a b b c c a a b b c cb c c a a b a a b b c c2al 2b 2c a a b c 作商 f c-v-ba b ca-b a-c bb-c b b-a c-a c-b=(a)a-b(a)a-c(b)b-c.b c c由 abc0,得 a-b0,a-c0,b-c0,且 a1, a1, b 1.b c ca)a-b( a)a-c( b)b-c1.2a i_2bc2cab+cbc+aca+b9.已知x0,x w 1,mn0,比较 :x m+ xmn+ 1x nx的大小.解:x m+=xm-x n+4m-(xx1-mxn 1：+ )x1nx=xm-x n

6、+m-xn m=(x m-x n)(1-当 0xn0,知 xmxn且 xm+n1,则有 1-$0.m n /x当 x1 时，由 mn0,知 xmxn且 xm+n1,则有 1- -0.m nx所以(x*xn)(1-综上所述:xm+mx我综合我发展福)0. x-xn+10. 已知acrbcr且awb,在 j+3ab2b2; a5+b5a3b2+a2b3; a 2+b: 2(a-b- 1); a +- 2.四个式子中恒成立的有 b a( )a.4个 b.3 个 c.2 个 d.1 个思路解析：举反例很容易排除，对利用作差法a5+b5-a 3b2-a 2b3=a3(a 2-b 2)-b 3(a 2-b

7、 2)=(a2-b2)(a 3-b3)=(a-b) 2(a+b)(a 2+ab+b2),因为(a-b) 20,a 2+ab+b20,而 a+b 的符号是不确定的 故差值符号不能确定，因此不正确.对于a 2+b2-2a+2b+2=(a-1) 2+(b+1) 20,故 a2+b22(a-b+1),故正确.综合以上分析，只有正确.答案：d11 .已知x=2.3a b,y=a-b,其中a,b均为正数,t c r则下列结论成立的是a.当 ayc.x刁b.当awb时,x &d.xwy2.思路解析：x-y= ( 一 )aa+b(a -t)2b(a b-t)(bt-a) (a b-t)(b-a t)ab(a

8、b t)2 2(a b t)2( (b -a +at-bt)= (b -a),abab故当ay.答案：a12 .设二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a0),方程 f(x)-x=0 的两个根 xi,x2 满足 0xix2，当ax e (0,x 1)时，求证:xf(x)x证明：令 f(x)=f(x)-x=ax 由 x1,x2 是方程 f(x)-x=0 f(x)=a(x-x 1)(x-x 2).2+(b-1)x+c.的两根，则又x c (0,x 1),由 0x1x20,af(x)=a(x -x 1)(x-x 2)0, 1. f(x) -x0, 1. f(x)x.又x1-f(x)=x 1- x+f

9、(x) =x1 -x-a(x-x 1)(x-x 2)=a(x 1-x) 工+x-x2,a又 0x1x20, + +x-x20.a.xi-f(x)0, .-.x if(x).故 xf(x)|loga(1+tanx)|, 其中 a0,a w 1,x c (0,).证明：由 xc (0, ), /.tanx c (0,1).1.1 - tanx (0,1),1+tanx (1,2).1 |log a(1-tanx)|0,|loga(1+tanx)|0,| log a (1 -tanx) |-=|log (1+tanx) (1-tanx)|i log a (1 tanx) |1=-log (1+tan

10、x) (1-tanx) = log(1+tanx) 1 tan x= log (1+tanx)1 tan x(1 tan x)(1 tan)=1+log (1+tanx)11 - tan2.1 1+tanx1,01 -tan.磊jx2x1.|log a(1-tanx)|loga(1+tanx)|.14.设函数f(x)= vx2 +1 -ax,其中a0.若函数f(x)在0,+ 8)上是单调函数，求a的取值范围.解：设取 x1,x 2 0,+),且 x1l时，由：x1 +x2f(x 2),所以，当al时，函数f(x)在区.x12 t , x221间0,+ 8)上是单调递减函数.2a(2)当 0a1 时，在区间0,+ )上存在两点xi=0,x 2=,满足 f(x 1)=f(x 2)=1,从而 f(x)1 -a2在0,+ 8)不是单调函数.所求a的取值范围是ac 1,+ ).15.已知数列an是等差数列，其前n项和为sn,a3=7,s4=24.(1)求数列an的通项公式； (2)设 p,q 是正整数，且 pwq,求证：sp+q 1 (s2p+s2q).2解用差数列an的公差是d,依题意，得:2d = 7,4m3 解得 a1=3,d=2. d = 2