4-4曲线的参数方程课时作业

1、精品资源1.将下列参数方程化为普通方程:x=acos 0,(1)1.(8为参数，a、b为常数，且ab0);y=bsin 0x=2pt2,(2乂(t为参数，p为正常数).、y=2pt22【解】(1)由 cos2 0+ sin2 8= 1,得点 十 b2、，这是一个长轴长为2a,短轴长为2b,中心在原点的椭圆.2(2)由已知 t=2p，代入 x = 2pt2得4p2 2p = x,即 y2 = 2px,这是一条抛物线.x=8t2,2.已知抛物线c的参数方程为(t为参数).若斜率为1的直线经y=8t过抛物线c的焦点，且与圆(x- 4)2 + y2=r2(r0)相切，求r的值.x=8t2,【解】由得y

2、2=8x,抛物线c的焦点坐标为f(2,0),直线方程、y=8t为丫= x- 2,即x y2 = 0.因为直线y= x- 2与圆(x 4)2+y2=r2相切，由题意得 j0；21= 2.x=1-2t,3.若直线i2 + 3t(t为参数)与直线4x+ky= 1垂直，求常数k的值.x=1-2t, 【解】将化为普通方程为y=2+3t3 73y= 2x+ 2，斜率 k1 二 一 2，4当kw0时，直线4x+ ky= 1的斜率k2=-r, k由 k1k2=(3)x(4) = 1 得 k= 6;,， 一 37, 一 一一 ,当k= 0时，直线y=-2x+ 2与直线4x= 1不垂直.综上可知，k= 6.4.过

3、椭圆x9 + 5=1内一定点p(1,0)作弦，求弦的中点的轨迹.9 4【解】设弦的两端点a(x1, y1)，b(x2, y2), ab的中点为m(x, y),当ab与x轴不垂直时，设ab的方程为22y= k(x 1),代入方程 +y4 =1,得(9k2+4)x2欢迎下载22218k2 18kx+ 9k 36= 0.由根与系数的关系，得 xi + x2= 9k2 + 499 k2-4k9k2+4x9,14k，*= 9k2+4， 所以y= k(x-1 产1 24 (x22即 k= -9y,代入 y=k(x1)中，得 4x2+9y24x=0,即一1 - + ：=1.49当ab,ox轴时，线段ab的中

4、点为(1,0),该点的坐标满足方程，所以所求的轨迹方程为2幺19十2)1- 2- 1-40.点m的轨迹是以o、p为长轴端点且离心率与原椭圆相同的一个椭圆.x=1+2t,5 .已知某条曲线c的参数方程为2(其中t是参数，氐r)，点、y=atm(5,4)在该曲线上，(1)求常数a；(2)求曲线c的普通方程.1 + 2t=5,t = 2,【解】(1)由题意，可知2 2故，at 4,a = 1,所以a=1.(2)由已知及得，曲线c的方程为x=1 + 2t,s=t2, ax 1x1 c由得t = x ,代入得丫=(亍)2,即(x 1)2=4y为所求.6.已知极坐标系的极点o与直角坐标系的原点重合，极轴与

5、 x轴的正半轴九lx= 4t2,重合，曲线ci： pcos(8+ 7)= 2，2与曲线c2：(tc r)交于a、b两点.求4y= 4t证：oa, ob.【证明】曲线ci的直角坐标方程为x y= 4,曲线c2的直角坐标方程是抛物线y2 = 4x.设a(xi, yi), b(x2, y2),将这两个方程联立，消去x,得 y2 4y 16 = 0? y1y2=16, y1 + y2 = 4.二xx2+ yy2= (y1 + 4)(y2+ 4) + y1y2 = 2y1 y2 + 4(y1 + y2)+ 16 = 0,oa ob=0,oal ob.7.设点m(x, y)在圆x2+y2=1上移动，求点p(x+y, xy)的轨迹.【解】 设点 m(cos 8, sin ()(0 0 2nt),点 p(x , y),则 x =cos 0+ sin 0,=y =cos osin 0,2 2x ，得 x 2 2y =1,即 x 2 = 2(y +2),1 一 11所求点p的轨迹万程为x2 = 2(y + 2)(|x|v2, y|0),以。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为pcos(8+4) = 2v2.若直线l与圆c相切，求r的值.【解】 将直线l的极坐标方程化为直角坐标方