高中物理极值问题的处理方法

1、高中物理极值问题的处理方法 “极值问题”是高中物理习题和检测中经常出现的一种典型问题，是高考大纲明确规定学生必须掌握的一种技能，其中用数学知识解决物理问题也是必须培养的一种能力，高考中也经常“光顾”极值问题。下面提供三种处理高中物理极值问题的思想方法，供大家参考。 1 找临界状态 “临界状态”是一种状态转变为另一种状态的转折点对应的状态，描述临界状态时往往对应“刚好”、“恰好”或“恰好要”等词语，临界状态往往就是极值出现的状态，要注意体会临界状态所提供的极值条件。 tp11gw167。tif，y# 例1 质量为0。2 kg的小球用细线吊在倾角为=60的斜面体的顶端，斜面体静止时，小球紧靠在斜面

2、上，线与斜面平行，如图1所示，不计摩擦，求在下列二种情况下，细线对小球的拉力。（取g=10 m/s2） （1） 斜面体以2 m/s2的加速度向右加速运动； （2） 斜面体以4 m/s2的加速度向右加速运动。 解析 小球与斜面体一起向右加速运动，当a较小时，小球与斜面体间有挤压；当a较大时，小球将飞离斜面，只受重力与绳子拉力作用。因此要先确定临界加速度a0（即小球即将飞离斜面，与斜面只接触无挤压时的加速度），此时小球受力情况如图2所示，由于小球的加速度始终与斜面体相同，因此小球所受合外力水平向右，将小球所受力沿水平方向和竖直方向分解。 tp11gw168。tif，bp# 解 根据牛顿第二定律有

3、tcos=ma0，tsin=mg， 联立上两式得a0=5。77 m/s2。 （1） a1=2kf（3kf） m/s2 所以小球受斜面的支持力fn1的作用，受力分析如图3所示，将t1， fn1沿水平方向和竖直方向分解，同理有 t1cos-fn1sin=ma1， t1sin+fn1cos=mg， 联立上两式得t1=2。08 n， fn1=0。4 n。 （2） a2=4kf（3kf） m/s25。77 m/s2，所以此时小球飞离斜面，设此时细线与水平方向夹角为0，如图4所示， 同理有t2cos0=ma2，t2sin0=mg， 联立上两式得t2=2。43 n， 0=arctan1。44。 tp11gw

4、169。tif，bp# 点评 本题考察了运动状态的改变与受力情况的变化，关键要明确何时有临界加速度。解题时需讨论临界状态，计算其临界值。 例2 如图5所示，质量为m=1 kg的物块放在倾角为=37的斜面体上，斜面质量为m=2 kg，tp11gw170。tif，y#斜面与物块间的动摩擦因数为=0。2，地面光滑，现对斜面体施一水平推力f，要使物体m相对斜面静止，试确定推力f的取值范围。（g=10 m/s2） 解析 此题有两个临界条件，当推力f较小时，物块有相对斜面向下运动的可能性，此时物体受到的摩擦力沿斜面向上；当推力f较大时，物块有相对斜面向上运动的可能性，此时物体受到的摩擦力沿斜面向下。找准临

5、界状态，是求解此题的关键。 tp11gw171。tif，y# （1）设物块处于相对斜面向下滑动的临界状态时的推力为f1，此时物块受力如图6所示，取加速度的方向为x轴正方向。 对物块分析，在水平方向有 jzfnsin-fncos=ma1， 竖直方向有fncos+fnsin-mg=0， 对整体有jzf1=（m+m）a1，hj1。16mm 代入数值得jza1=4。78 m/s2，f1=14。3 n。 （2）设物块处于相对斜面向上滑动的临界状态时的推力为f2。对物块分析，在水平方向有 jzfnsin+fncos=ma2， 竖直方向有jzfncos-fnsin-mg=0， 对整体有jzf2=（m+m）a

6、2， 代入数值得jza2=11。2 m/s2，f2=33。6 n。 综上所述可知推力f的取值范围为14。3 nf33。6 n。 点评 物体由静止到运动，恰好要动，此时物体的摩擦力仍为静摩擦力但恰好达到最大值。 2 用动态思维解决极值问题 动态思维常用的两种情况：一是平衡问题中的动态三角形（或平行四边形），二是磁偏转问题中动态圆，从动态变化中找到极值点。 tp11gw172。tif，y# 例3 如图7所示，质量为m的球放在倾角为的光滑斜面上，试分析挡板ao与斜面间的倾角多大时，ao所受压力最小？ tp11gw173。tif，y# 解析 虽然题目问的是挡板ao的受力情况，但若直接以挡板为研究对象，

7、因挡板所受力均为未知力，将无法得出结论。以球为研究对象，球所受重力产生的效果有两个：对斜面产生的压力n1、对挡板产生的压力 n2，根据重力产生的效果将重力分解，如图8所示， 当挡板与斜面的夹角由图示位置变化时，n1大小改变但方向不变，始终与斜面垂直，n2的大小和方向均改变，如图中虚线所示，由图可看出挡板ao与斜面hj1。1mm垂直时=90时，挡板ao所受压力最小，最小压力为mgsin。 点评 本题用到了动态三角形求极值。 例4 （2010年全国卷）如图9，在0xkf（3kf）a区域内存在与xy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为b。在t=0时刻，一位于坐标原点的粒子源在xy平面内发射出大量同

8、种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与y轴正方向的夹角分布在0180范围内。已知沿y轴正方向发射的粒子在t=t0时刻刚好从磁场边界上p（3a，a）点离开磁场。求： （1）粒子在磁场中做圆周运动的半径r及粒子的比荷q/m； （2）此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y轴正方向夹角的取值范围； （3）从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间。 tp11gw174。tif，bp# 解析 （1）沿y轴正方向发射的粒子在磁场中的运动轨迹如图10中的optx（所示，其圆心为c。由题给条件可以得出 ocp=sx（23sx）（1） 此粒子飞出磁场所用的时间为 t0=sx（t3sx）（2） 式中t为粒子做圆

9、周运动的周期。 设粒子运动速度的大小为v，半径为r，由几何关系可得 r=sx（2kf（3kf）sx）a（3） 由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有 qvb=msx（v2rsx）（4） t=sx（2rvsx）（5） 联立（2）、（3）、（4）、（5）式，得 sx（qmsx）=sx（23bt0sx）。 （2）依题意，同一时刻仍在磁场内的粒子到o点距离相同。在t0时刻仍在磁场中的粒子应位于以o点为圆心、op为半径的mntx（上，如图10所示。 设此时位于p、m、n三点的粒子的初速度分别为vp、vm、vn。由对称性可知vp与op、vm与om、vn与on的夹角均为/3。设vm、vn与y轴正向的夹角分别为m、n

10、，由几何关系有 jzm=sx（3sx），n=sx（23sx）。 对于所有此时仍在磁场中的粒子，其初速度与y轴正方向所成的夹角应满足 sx（3sx）sx（23sx）。 tp11gw176。tif，y# （3）在磁场中飞行时间最长的粒子的运动轨迹应与磁场右边界相切，其轨迹如图11所示。 由几何关系可知， omtx-=optx-。 由对称性可知，metx-=optx-。 从粒子发射到全部粒子飞出磁场所用的时间tm=2t0。 答案 （1）r=sx（2kf（3kf）sx）a，sx（qmsx）=sx（23bt0sx） hj1mm （2） sx（3sx）sx（23sx） （3） 2t0 点评 本题用到了圆的

11、旋转找临界圆方法。 3 解析法 解析法即由数学知识建立待求量y与自变量x的关系式，借助数学中的对应知识求出y的极值。常用方法有不等式法、配方法（二次函数极值，判别式法）、三角函数法。 例5 倾角为=30的斜面上放置一个重200 n的物体，物体与斜面间的动摩擦因数为=kf（3kf）/3，要使物体恰tp11gw177。tif，y#好能沿斜面向上匀速运动，所加的力至少为多大？方向如何？ 解析 由于施力的方向没定，先假定一个方向：与斜面成角向上，物体的受力分析如图12所示。 解 x方向：fcos=f+mgsin， y方向：jzfsin+n=mgcos， 其中f=n，联立以上三式求解得 jzf=sx（m

12、gcos+sx（kf（3kf）3sx）sin）sx）=sx（kf（3kf）mg2sin（+）sx）， 其中=60。当=30时f有极值fmin=100kf（3kf） n。 点评 本题用到了三角函数关系求极值。 例6 （2010年重庆）小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地。如图13所示。已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为sx（34sx）d，重力加速度为g。忽略手的运动半径和空气阻力。tp11gw178。tif，y# （1）求绳断时球的速度大小v1和球落地

13、时的速度大小v2。 （2）此绳能承受的最大拉力多大？ （3）改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离为多少？ 解析 （1）设绳断后球飞行时间为t，由平抛运动规律，有 竖直方向sx（14sx）d=sx（12sx）gt2，水平方向d=v1t，得v1=kf（2gdkf）。 由机械能守恒定律，有 jzsx（12sx）mv22=sx（12sx）mv21+mg（d-sx（34sx）d）， 得jzv2=kf（sx（52sx）gdkf）。 （2）设绳子承受的最大拉力为t，这也是球受到绳的最大拉力， 球做圆周运动的半径r=sx（34sx）d， 由向心力公式t-mg=msx（v21rsx），t=sx（113sx）mg。 （3）设绳长为l，绳断时球的速度大小为v