方向导数与梯度.完整版

1、 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页 一一、方向导数的定义方向导数的定义 ),1 0000 zyxPf（在在点点三三元元函函数数定定义义 l ),( 0000 zyxP P 为为内内有有定定义义，的的某某邻邻域域lRPU 3 0 )( 上上为为出出发发的的射射线线，从从点点lzyxPP ),( 0 表表示示内内的的任任一一点点，以以且且含含于于 )( 0 PU . 0 两两点点间间的的距距离离与与 PP fPfPf l 0 0 0 lim )()( lim 若若极极限限 沿沿方方向向数数在在点点存存在在，则则称称这这极极限限为为函函 0 P .的的方方向向导导数数l ),()(, 0000

2、 0 zyxfPf l f llP 或或 记记作作： 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页 若若 f 在在 P0 点存在关于点存在关于 x 的偏导数的偏导数，则则 f 在在 P0 点沿点沿 x 轴正向的方向导数轴正向的方向导数 00 PP x f l f f 在在 P0 点沿点沿 x 轴负方向的方向导数则为轴负方向的方向导数则为 00 PP x f l f 沿任一方向的方向导数与偏导数的关系由下述定沿任一方向的方向导数与偏导数的关系由下述定 理给出理给出. 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页 ,),( 0000 处可微处可微在点在点若函数若函数zyxPf 则函数在该点则函数在该点沿任意方

3、向沿任意方向 l 的方向导数都存在的方向导数都存在 , cos)(cos)(cos)()( 0000 PfPfPfPf zyxl .cos,cos,cos的方向余弦的方向余弦为方向为方向其中其中l 证明证明: )()( 0 PfPff 且有且有 由函数由函数 f 在点在点 P0 可微可微 , 得得 )()()()( 000 ozPfyPfxPf zyx x yO z y x z P l 0 P 222 zyx 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页 )( )()()( )()( 000 0 oz Pf y Pf x Pf PfPf zyx cos)( 0 Pf x 上式两边同除以上式两边同除以

4、 令令 0 取极限，得取极限，得 cos)(cos)(cos)()( 0000 PfPfPfPf zyxl x yO z y x z P l 0 P cos)( 0 Pf y )( cos)( 0 o Pf z 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页 对于二元函数，相应结果为对于二元函数，相应结果为 x f l f 特别特别: : 当 l 与 x 轴同向 有时, 2 ,0 当 l 与 x 轴反向 有时, 2 , x f l f cos)(cos)()( 000 PfPfPf yxl x l y O 0 P 注：函数在一点可微是方向导数存在的充分条注：函数在一点可微是方向导数存在的充分条 件，而

5、不是必要条件件，而不是必要条件. . 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页 x z y 0 l y x z z l z P 0 lim 0 P P0 z = f (x,y) x y )()( lim y,xfyy,xxf Q )()( lim 0 0 PfPf M 是曲面在是曲面在 点点P0 处沿处沿方向方向l 的变化率，的变化率， 即半切线即半切线 0 P l z MN 方向导数方向导数 的斜率的斜率. N 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页 在点在点 P0 (1, 1, 1) 沿方向沿方向 zyxu 2 l : (2, -1, 3 ) 的方向导数的方向导数 . , 14 2 3)1(

6、2 2 cos 222 解解: , 14 1 3)1(2 1 cos 222 , 14 3 3)1(2 3 cos 222 向量向量 l 的方向余弦为的方向余弦为 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页 0 P l u 14 2 2 14 1 1 14 3 1 ,2zxyux , 2 zxu y yxu y 2 下面计算函数的偏导数：下面计算函数的偏导数： , 2)1 , 1 , 1( x u, 1)1 , 1 , 1( y u, 1)1 , 1 , 1( z u 14 6 zyxu 2 P0 (1, 1, 1) 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页 二二、梯度的概念梯度的概念 ),(),(

7、2 0000 zyxPzyxf在在点点若若定定义义 )(),(),( 000 PfPfPf， zyx 则称向量则称向量存在偏导数存在偏导数 记记为为的的梯梯度度在在点点为为函函数数，Pf 0 )(),(),(grad 000 PfPfPff zyx 2 0 2 0 2 0 )()()(|grad|PfPfPff zyx grad f 的长度（或模）为的长度（或模）为 下面考察梯度与方向导数之间的关系下面考察梯度与方向导数之间的关系. . 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页 所以方向导数是梯度在方向所以方向导数是梯度在方向 l 上的投影上的投影. 方向导数公式方向导数公式 coscoscos

8、 z f y f x f l f 令向量令向量 这说明这说明 方向：方向：f 变化率最大的方向变化率最大的方向 模模 : f 的最大变化率之值的最大变化率之值 方向导数取最大值：方向导数取最大值： ),( z f y f x f G ),cos( 0 lGG )1( 0 l 00 gradlGlf l f ,grad 0 方方向向一一致致时时与与当当fl fgrad f l f gradmax )cos,cos,(cos 0 l fgrad 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页 这就是说，这就是说，f 在在 P0 的梯度方向是的梯度方向是 f 的值增长的值增长 最快的方向，且沿这一方向的变化

9、率就是梯度最快的方向，且沿这一方向的变化率就是梯度 的模；而当的模；而当 l 与梯度向量反方向时，方向导数与梯度向量反方向时，方向导数 取得最小值取得最小值 - | grad f (P0 ) | . 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页 0grad(1) C uCuCgrad)(grad(2) vuvugradgrad)(grad(3) uvvuvugradgrad)(grad(4) uufufgrad)()(grad(5) 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页 ,),(3 32 yzxyzyxf 设设例例在在求求 f .)1, 1, 2( 0 处的梯度及它的模处的梯度及它的模点点 P 上

10、一页上一页 下一页下一页 主主 页页 1. 方向导数方向导数 三元函数三元函数 ),(zyxf 在点在点 ),(zyxP沿方向 l (方向角 ),为的方向导数为 coscoscos z f y f x f l f 二元函数 ),(yxf在点 ),(yxP ), 的方向导数为 coscos y f x f l f 沿方向 l (方向角为 y f x f cossin 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页 2. 梯度梯度 三元函数 ),(zyxf 在点 ),(zyxP处的梯度为 z f y f x f f,grad 二元函数 ),(yxf在点),(yxP处的梯度为 ),(, ),(gradyxf

11、yxff yx 3. 关系关系 方向导数存在偏导数存在 可微 0 gradlf l f 梯度在方向 l 上的投影. P.127 1，2，3 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页 ,)(可导设rf),( 222 zyxPzyxr为点其中 证证: x rf )( )(r f y rf)( )( gradrf )( 1 )(kzjyix r rf r r rf 1 ) ( r z rf z rf )( )( 0 )(rrf j y rf )( k z rf )( x r rf )( 222 zyx x P x o z y ,)( r y r f i x rf )( 试证 r x rf) ( .)(

12、)(radg 0 rrfrf处矢径 r 的模 , r 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页 例例 2 2 求求函函数数 yxzyxu2332 222 在在点点 )2 , 1 , 1 (处处的的梯梯度度，并并问问在在 哪哪些些点点处处梯梯度度为为零零？ 讨论函数讨论函数 22 ),(yxyxfz 在在)0 , 0( 点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？ 思考题思考题 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页 1. 设函数 z yxzyxf 2 ),( (1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线 12 3 2 tz ty tx 在该点切线方

13、向的方向导数; (2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度梯度与(1)中切线方向切线方向 的夹角 . 2. P73 题 16 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页 ,),( 2z yxzyxf曲线 12 3 2 tz ty tx 1. (1)在点 )3,4, 1 ( 1d d , d d , d d tt z t y t x )1 , 1 , 1( coscoscos zyx M fff l f 26 6 函数沿 l 的方向导数 l M (1,1,1) 处切线的方向向量 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页 )0,1,2(grad)2( M f M M f l f grad 13

14、0 6 130 6 arccos M fgrad l cos M fgrad l 4 2 0 4 2 0 4 2 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 2 2 2 2 2 2 0 c z b y a x c z z b y y a x x n u M 4 2 0 4 2 0 4 2 0 2 c z b y a x 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页 函数)ln( 222 zyxu在点)2,2, 1 (M 处的梯度 M ugrad )2, 2, 1 ( ,grad z u y u x u u M 解解: , 222 zyxr令则 x u 2 1 r x2 注意 x , y , z 具有轮换对称性 )2, 2, 1 ( 222 2 , 2 , 2 r z r y r x )2,2, 1 ( 9 2 )2,2, 1 ( 9 2 (92考研考研) 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页 指向 B( 3