三角形的证明题

1、 2014年12月22日汇智教育的初中数学组卷一选择题（共2小题）1（2006天津）如图，a、c、b三点在同一条直线上，dac和ebc都是等边三角形，ae、bd分别与cd、ce交于点m、n，有如下结论：acedcb；cm=cn；ac=dn其中，正确结论的个数是（）a3个b2个c1个d0个2（2013绥化）已知：如图在abc，ade中，bac=dae=90，ab=ac，ad=ae，点c，d，e三点在同一条直线上，连接bd，be以下四个结论：bd=ce；bdce；ace+dbc=45；be2=2（ad2+ab2），其中结论正确的个数是（）a1b2c3d4二填空题（共7小题）3如图，在等边abc和等

2、边dbe中，点a在de的延长线上，则aec=_4如图，abc中，边ab的中垂线分别交bc、ab于点d、e，ae=3cm，adc的周长为9cm，则abc的周长是_cm5（2002海南）如图，ab=db，1=2，请你添加一个适当的条件，使abcdbe，则需添加的条件是_6如图，在abc中，abc=90，ab=cb，点e在bc上，cae=15，ae=6，则eb的长度为_7如图，在rtabc中，c=90，ac=bc，将其绕点a逆时针旋转15得到rtabc，bc交ab于e，若图中阴影部分面积为，则be的长为_8如图，abc，c=90，bd平分abc交ac于点d，如果cd=6cm，那么点d到ab的距离为_

3、cm9如图，abc是边长为2的等边三角形，bd是ac边上的中线，延长bc至点e，使ce=cd，联结de，则de的长是_三解答题（共13小题）10（2010泰安模拟）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图所示放置，图是由它抽象出的几何图形，b，c，e在同一条直线上，连接dc，（1）请找出图中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）试说明：dcbe11已知在三角形abc中，c=90，ad平分bac交bc于d，cd=3，bd=5，求ac的长12数学课上，李老师出示了如下框中的题目小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点e为ab的中点时，如图1，确

4、定线段ae与db的大小关系，请你直接写出结论：ae_db（填“”，“”或“=”）（2）一般情况，证明结论：如图2，过点e作efbc，交ac于点f（请你继续完成对以上问题（1）中所填写结论的证明）（3）拓展结论，设计新题：在等边三角形abc中，点e在直线ab上，点d在直线bc上，且ed=ec 若abc的边长为1，ae=2，则cd的长为_（请直接写出结果）13已知：如图，abc中，acb=90，a=30，cdab于d，点e在ab的延长线上，e=45，若ab=8，求be的长14如图所示，ad是abc的角平分线，ef是ad的垂直平分线，交bc的延长线于点f，连接af求证：baf=acf15如图，d为a

5、bc外一点，dab=b，cdad，1=2，若ac=7，bc=4，求ad的长16如图，在abc中，bac=60，acb=40，p、q分别在bc、ca上，并且ap、bq分别是bac、abc的角平分线求证：（1）bq=cq； （2）bq+aq=ab+bp17（2014吉林）如图，abc和dae中，bac=dae，ab=ae，ac=ad，连接bd，ce，求证：abdaec18（2014鄂州）在平面内正方形abcd与正方形cefh如图放置，连de，bh，两线交于m求证：（1）bh=de（2）bhde19在abc中，ad平分bac，bdad，垂足为d，过d作deac，交ab于e，若ab=5，求线段de的长

6、20已知：如图，abc是等边三角形d、e是abc外两点，连结be交ac于m，连结ad交ce于n，ad交be于f，ad=eb当afb度数多少时，ecd是等边三角形？并证明你的结论21如图1，已知三角形纸片abc，ab=ac，a=50，将其折叠，如图2，使点a与点b重合，折痕为ed，点e，d分别在ab，ac上，求dbc的大小22如图，ad是abc的角平分线，点f，e分别在边ac，ab上，且fd=bd（1）求证：b+afd=180；（2）如果b+2dea=180，探究线段ae，af，fd之间满足的等量关系，并证明2014年12月22日汇智学堂的初中数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共2小题）1（2

7、006天津）如图，a、c、b三点在同一条直线上，dac和ebc都是等边三角形，ae、bd分别与cd、ce交于点m、n，有如下结论：acedcb；cm=cn；ac=dn其中，正确结论的个数是（）a3个b2个c1个d0个考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：压轴题分析：根据等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质采用排除法对各个结论进行分析从而得出答案解答：解：dac和ebc都是等边三角形ac=cd，ce=bc，acd=ecb=60ace=dcbacedcb（sas）（正确）aec=dbcdce+acd+ecb=180，acd=ecb=60dce=ecb=60ce=bc

8、，dce=ecb=60，aec=dbcemcbnc（asa）cm=cn（正确）ac=dc 在dnc中，dc所对的角为dnc=ncb+nbc=60+nbc60，而dn所对的角为60，根据三角形中等边对等角、大边对大角，小边对小角的规律，则dcdn，即是acdn，所以错误，所以正确的结论有两个故选b点评：考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定方法，要求学生做题时要能灵活运用2（2013绥化）已知：如图在abc，ade中，bac=dae=90，ab=ac，ad=ae，点c，d，e三点在同一条直线上，连接bd，be以下四个结论：bd=ce；bdce；ace+dbc=45；be2=2（ad2+ab2）

9、，其中结论正确的个数是（）a1b2c3d4考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形菁优网版权所有专题：证明题分析：由ab=ac，ad=ae，利用等式的性质得到夹角相等，利用sas得出三角形abd与三角形ace全等，由全等三角形的对应边相等得到bd=ce；由三角形abd与三角形ace全等，得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到bd垂直于ce；由等腰直角三角形的性质得到abd+dbc=45，等量代换得到ace+dbc=45；由bd垂直于ce，在直角三角形bde中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可作出判断解答：解：bac=dae=90，bac+cad=dae+ca

10、d，即bad=cae，在bad和cae中，badcae（sas），bd=ce，故正确；badcae，abd=ace，abd+dbc=45，ace+dbc=45，dbc+dcb=dbc+ace+acb=90，则bdce，故正确；abc为等腰直角三角形，abc=acb=45，abd+dbc=45，abd=aceace+dbc=45，故正确；bdce，在rtbde中，利用勾股定理得：be2=bd2+de2，ade为等腰直角三角形，de=ad，即de2=2ad2，be2=bd2+de2=bd2+2ad2，而bd22ab2，故错误，综上，正确的个数为3个故选：c点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，勾

11、股定理，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键二填空题（共7小题）3如图，在等边abc和等边dbe中，点a在de的延长线上，则aec=abc考点：全等三角形的判定与性质菁优网版权所有分析：根据等边三角形的性质得到ba=bc，bd=be，abc=dbe=60，则dba=ebc，然后根据“sas”可判断dbaebc，再根据全等的性质即可得到aec=abc解答：解：aec=abc，理由如下：abc和dbe都是等边三角形，ba=bc，bd=be，abc=dbe=60，abc+abe=dbe+abe，即dba=ebc，在dba和ebc中，dbaebc（sas），eab=b

12、ca，又1=2，aec=abc，故答案为：abc点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“sss”、“sas”、“asa”、“aas”；全等三角形的对应边相等也考查了等边三角形的性质4如图，abc中，边ab的中垂线分别交bc、ab于点d、e，ae=3cm，adc的周长为9cm，则abc的周长是15cm考点：线段垂直平分线的性质菁优网版权所有分析：由abc中，边ab的中垂线分别交bc、ab于点d、e，ae=3cm，根据线段垂直平分线的性质，即可求得ad=bd，ab=2ae，又由adc的周长为9cm，即可求得ac+bc的值，继而求得abc的周长解答：解：abc中，边ab的中垂

13、线分别交bc、ab于点d、e，ae=3cm，bd=ad，ab=2ae=6cm，adc的周长为9cm，ac+ad+cd=ac+bd+cd=ac+bc=9cm，abc的周长为：ab+ac+bc=15cm故答案为：15点评：此题考查了线段垂直平分线的性质此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等量代换思想的应用5（2002海南）如图，ab=db，1=2，请你添加一个适当的条件，使abcdbe，则需添加的条件是bc=be考点：全等三角形的判定菁优网版权所有专题：开放型分析：1=2可得dbe=abc，已知一个角和角的一边，再加一个角，由aas可得三角形全等，或加角的另一边由sas可证得二个

14、三角形全等，可添加条件为bc=be或d=a或deb=c解答：解：1=2可得dbe=abc，bc=be，ab=db，所以abcdbe（sas）故填bc=be（答案不唯一）点评：本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：sss、sas、asa、aas、hl添加时注意：aaa、ssa不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键6如图，在abc中，abc=90，ab=cb，点e在bc上，cae=15，ae=6，则eb的长度为3考点：含30度角的直角三角形菁优网版权所有分析：根据等腰直角三角形的性质求出bac=45，然后求出bae=30，再

15、根据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半可得eb=ae解答：解：abc=90，ab=cb，abc是等腰直角三角形，bac=45，cae=15，bae=baccae=4515=30，eb=ae=6=3故答案为：3点评：本题考查了直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键7如图，在rtabc中，c=90，ac=bc，将其绕点a逆时针旋转15得到rtabc，bc交ab于e，若图中阴影部分面积为，则be的长为22考点：旋转的性质菁优网版权所有分析：求出cae=30，推出ae=2ce，ac=ce，根据阴影部分面积为得出cece=2，求出ce

16、=2，即可求出cb，即可求出答案解答：解：将rtacb绕点a逆时针旋转15得到rtabc，acbacb，ac=ac，cb=cb，cab=cab，在rtabc中，c=90，ac=bc，cab=45，cac=15，cae=30，ae=2ce，ac=ce，阴影部分面积为，cece=2，ce=2，ac=bc=cb=ce=2，be=22，故答案为：22点评：本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生的推理和计算能力8如图，abc，c=90，bd平分abc交ac于点d，如果cd=6cm，那么点d到ab的距离为6cm考点：角平分线的性质菁优网版权所有分析

17、：过点d作deab于e，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得cd=de解答：解：如图，过点d作deab于e，c=90，bd平分abc，cd=de=6cm故答案为：6点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键9如图，abc是边长为2的等边三角形，bd是ac边上的中线，延长bc至点e，使ce=cd，联结de，则de的长是考点：等边三角形的性质；等腰三角形的判定与性质菁优网版权所有分析：先根据等边三角形的性质和锐角三角函数（或勾股定理）求出bd的长，再判断出bde是等腰三角形即可解答：解：abc是边长为2的等边三角形，bd是ac边上的中线，acb=60，bd

18、ac，bd平分abc，dbe=abc=30，bd=bcsin60=2=，cd=ce，cde=eacb=60，且acb为cde的外角，cde+e=60，cde=e=30，dbe=deb=30，bd=de=故答案为：点评：考查的是等边三角形的性质，利用等边三角形“三线合一”的性质是解答此题的关键三解答题（共13小题）10（2010泰安模拟）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图所示放置，图是由它抽象出的几何图形，b，c，e在同一条直线上，连接dc，（1）请找出图中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）试说明：dcbe考点：等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质；等腰三

19、角形的判定与性质菁优网版权所有专题：证明题分析：可以找出baecad，条件是ab=ac，da=ea，bae=dac=90+cae由可得出dca=abc=45，则bcd=90，所以dcbe解答：解：abc，dae是等腰直角三角形，ab=ac，ad=ae，bac=dae=90bae=dac=90+cae，在bae和dac中baecad（sas）由得baecaddca=b=45bca=45，bcd=bca+dca=90，dcbe点评：本题主要考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质；充分利用等腰直角三角形的性质是解答本题的关键11已知在三角形abc中，c=90，ad平分bac交bc于d，cd=3

20、，bd=5，求ac的长考点：角平分线的性质；勾股定理菁优网版权所有专题：计算题；方程思想分析：过d作deab于e，根据角平分线性质求出cd=de，根据勾股定理求出ae=ac，在bde中，根据勾股定理求出be，设ae=ac=x，则ab=4+x，根据勾股定理得出方程（4+x）2=x2+82，求出方程的解即可解答：解：过d作deab于e，ad平分bac，c=90，de=cd=3，ae=ac，在rtbde中，bd=5，de=3，由勾股定理得：be=4，在rtacb中设ae=ac=x，则ab=4+x，ab2=ac2+bc2，（4+x）2=x2+82，x=6，即ac=6点评：本题考查了勾股定理，角平分线性

21、质的应用，能熟练地运用定理求出线段的长是解此题的关键，用了方程思想，题目较好，难度适中12数学课上，李老师出示了如下框中的题目小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点e为ab的中点时，如图1，确定线段ae与db的大小关系，请你直接写出结论：ae=db（填“”，“”或“=”）（2）一般情况，证明结论：如图2，过点e作efbc，交ac于点f（请你继续完成对以上问题（1）中所填写结论的证明）（3）拓展结论，设计新题：在等边三角形abc中，点e在直线ab上，点d在直线bc上，且ed=ec 若abc的边长为1，ae=2，则cd的长为1或3（请直接写出结果）考点：等边三角形的判定

22、与性质；平行线的性质；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：计算题；证明题；分类讨论分析：（1）根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理求出d=ecb=30，abc=60，求出d=deb=30，推出db=be=ae即可得到答案；（2）作efbc，证出等边三角形aef，再证dbeefc即可得到答案；（3）分为两种情况：一是e在ab的延长线上，d在线段cb的延长线上，求出cd=3，二是e在ba的延长线上，d在线段bc的延长线上，求出cd=1，即可得到答案解答：解：（1）答案为：=（2）证明：在等边abc中，abc=acb=bac=60，ab=bc=ac，efbc，aef=afe=60=bac，

23、ae=af=ef，abae=acaf，即be=cf，abc=edb+bed=60，acb=ecb+fce=60，ed=ec，edb=ecb，ebc=edb+bed，acb=ecb+fce，bed=fce，dbeefc，db=ef，ae=bd（3）ab=1，ae=2，abc是等边三角形，b是ae的中点，ab=ac=bc=1，易得，ace是rt，ace=90，d=ecb=30，dbe=abc=60，即deb是直角三角形bd=2（30所对的边等于斜边的一半），即cd=1+2=3另法：efcdefc=ebd=18060ec=edd=ecd，deb=ecf=60ecd=60defcedbef=bd又a=

24、aefae=2bc=1cd=3ae=2，ba=bc=1，be=3，作efcd交cd于点f，则在rtefb中，bef=9060=30，bf=be=（1+3）=1.5，cf=bfbc=1.51=0.5，而ed=ec，efcd，df=cf（三线合一），cd=2cf=1答：cd的长是1或3点评：本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键13已知：如图，abc中，acb=90，a=30，cdab于d，点e在ab的延长线上，e=45，若ab=8，求be的长考点：含30度角的直角三角形；勾股定理菁优网版权所有

25、分析：根据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半求出bc，再根据同角的余角相等求出bcd=30，然后求出bd，根据勾股定理列式求出cd的长，根据等角对等边求出de=cd，再根据be=debd进行计算即可得解解答：解：acb=90，a=30，ab=8，bc=ab=8=4，cdab，bcd+abc=90，又a+abc=90，bcd=a=30，bd=bc=4=2，在rtbcd中，cd=2，e=45，dce=9045=45，dce=e，de=cd=2，be=debd=22点评：本题考查了直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，同角的余角相等的性质，等角对等边的性质，熟记各

26、性质是解题的关键14如图所示，ad是abc的角平分线，ef是ad的垂直平分线，交bc的延长线于点f，连接af求证：baf=acf考点：线段垂直平分线的性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：证明题分析：根据线段的垂直平分线得出af=df，推出fad=adf，根据角平分线得出dab=cad，推出caf=b，根据fab=bac+fac和adf=b+bac推出即可解答：证明：ef是ad的垂直平分线，af=df，fad=adf，fad=fac+cad，adf=b+dab，ad是bac的平分线，dab=cad，caf=b，bac+fac=b+bac，

27、即baf=acf点评：本题考查了线段垂直平分线，角平分线，三角形的外角选择，等腰三角形的性质和判定等知识点的应用，综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目综合性比较强，难度适中15如图，d为abc外一点，dab=b，cdad，1=2，若ac=7，bc=4，求ad的长考点：全等三角形的判定与性质菁优网版权所有分析：延长ad，bc交于点e，就可以得出adcedc，就可以得出ce=ac，de=da，就可以求出be的值，从而得出ae的值而得出结论解答：证明：延长ad，bc交于点ecdad，adc=edc=90在adc和edc中，adcedc（asa）dac=dec，ac=ec，ad=edac=7，ec

28、=7bc=4be=11dab=b，ae=be=11ad=5.5答：ad的长为5.5点评：本题考查了全等三角形的判定与性质的运用，等腰三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键16如图，在abc中，bac=60，acb=40，p、q分别在bc、ca上，并且ap、bq分别是bac、abc的角平分线求证：（1）bq=cq； （2）bq+aq=ab+bp考点：全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：证明题分析：（1）由三角形的内角和就可以得出abc=80，再由角平分线就可以得出qbc=40，就有qbc=c而得出结论；（2）延长ab至m，使得bm=bp，连结mp，根据条件就可以得出m=c，进

29、而证明ampacp就可以得出结论解答：证明：（1）bq是abc的角平分线，qbc=abcabc+acb+bac=180，且bac=60，acb=40，abc=80，qbc=40，qbc=c，bq=cq；（2）延长ab至m，使得bm=bp，连结mpm=bpm，abc中bac=60，c=40，abc=80，bq平分abc，qbc=40=c，bq=cq，abc=m+bpm，m=bpm=40=c，ap平分bac，map=cap，在amp和acp中，ampacp，am=ac，am=ab+bm=ab+bp，ac=aq+qc=aq+bq，ab+bp=aq+bq点评：本题主要考查全等三角形的判定与性质的知识点

30、，解答本题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的一般方法：sss、sas、asa、aas、hl注意：aaa、ssa不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角17（2014吉林）如图，abc和dae中，bac=dae，ab=ae，ac=ad，连接bd，ce，求证：abdaec考点：全等三角形的判定菁优网版权所有专题：证明题分析：根据bac=dae，可得bad=cae，再根据全等的条件可得出结论解答：证明：bac=dae，bacbae=daebae，即bad=cae，在abd和aec中，abdaec（sas）点评：本题考查了全等三角形的判

31、定，判断三角形全等的方法有：sss，sas，asa，aas，以及判断两个直角三角形全等的方法hl18（2014鄂州）在平面内正方形abcd与正方形cefh如图放置，连de，bh，两线交于m求证：（1）bh=de（2）bhde考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质菁优网版权所有专题：证明题分析：（1）根据正方形的性质可得bc=cd，ce=ch，bcd=ech=90，然后求出bch=dce，再利用“边角边”证明bch和dce全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）根据全等三角形对应角相等可得cbh=cde，然后根据三角形的内角和定理求出dmb=bcd=90，再根据垂直的定义证明即可解答：

32、证明：（1）在正方形abcd与正方形cefh中，bc=cd，ce=ch，bcd=ech=90，bcd+dch=ech+dch，即bch=dce，在bch和dce中，bchdce（sas），bh=de；（2）bchdce，cbh=cde，又cgb=mgd，dmb=bcd=90，bhde点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟记性质并确定出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点19在abc中，ad平分bac，bdad，垂足为d，过d作deac，交ab于e，若ab=5，求线段de的长考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质菁优网版权所有分析：求出cad=bad=eda，推出ae=d

33、e，求出abd=edb，推出be=de，求出ae=be，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可解答：解：ad平分bac，bad=cad，deac，cad=ade，bad=ade，ae=de，addb，adb=90，ead+abd=90，ade+bde=adb=90，abd=bde，de=be，ab=5，de=be=ae=ab=2.5点评：本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，关键是求出de=be=ae20已知：如图，abc是等边三角形d、e是abc外两点，连结be交ac于m，连结ad交ce于n，ad交be于f，ad=eb当afb度数多少时，ecd是等边三角形？并证明你的结论考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质菁优网版权所有分析：当afb=60时，ecd是等边三角形可通过证明bceacd（sas）得到7=60，由一个角为60度的等腰三角形为等边三角形即可证明解答：解：afb=60，理由如下：abc是等边