用不动点法和三角代换法求通项

1、用不动点法和三角代换法求通项 摘 要：数列通项公式不仅在高考中占有一席之地，而且在中学数学竞赛中也是常客.通过不动点法和三角代换法来解决某两类数列通项的求法. 关键词：不动点；不动点法；三角代换法 数列通项公式直接表述了数列的本质，经常渗透在高考和数学竞赛中.本人结合自身的数学教学实践，就两类特殊数列求通项的方法做些归纳延伸，以期能给大家一些启示. 一、不动点法求通项 不动点概念简介：若f（）=，则称为f（x）的不动点.利用不动点可将非线性递推关系转化为常规数列求解.我们不加证明的引入三个定理来辅助利用不动点法求通项. 定理1：设f（x）=ax2+bx+c（a0），数列an有初始条件a0f（x

2、）及递推关系an=f（an-1）（n0）确定，那么当且仅当=-是f（x）的不动点时，有an-=a（an-1-）2. 定理2：设f（x）=（c0，ad-bc0），数列an有初始条件a0f（a0）及递推关系an=f（an-1）（n1）确定，那么： （1）若，且、是f（x）的两个不相等的不动点时，有=k，其中k=. （2）若是f（x）的唯一不动点时，有=+k，其中k=. 定理3：设f（x）=（ad0），数列an有初始条件 a0f（a0）（n1）及递推关系an=f（an-1）（n1）确定，那么当且仅当 b=0，d=2a，、是f（x）的两个不相等的不动点时，有= （）2（n1，）. 举例1：若数列an满

3、足a1=1，且an+1=an2+6an+6（nn*），求通项an. 【解析】依题f（x）=x2+6x+6，解x=x2+6x+6可知f（x）的对称轴x=-3刚好是f（x）的一个不动点，则由定理1可得an+1+3=（an+3）2，所以an+3=（an-1+3）2=（an-2+3）2=（a1+3）2，所以an=42-3 举例2：若数列an满足a1=5，且an+1=，n=1，2，求通项an. 【解析】解方程x=得x1=1，x2=-1，则=，故=（）n-1=3（）n，解得：an=. 评注：由定理2（1）可知两个不动点不相等时，通过构造可得新数列是等比数列. 举例3：若数列an满足a1=2，且an+1=，

4、求通项an. 【解析】解方程x=得x1=x2=1，依据定理2可得=+1，所以=+（n-1）1，所以an=+1=. 评注：由定理2（2）可知两个不动点相等时，通过构造可得新数列是等差数列.定理3的应用读者可自行举例体会. 二、三角代换法求通项 三角代换是代换法中运用频率较高的一种方法，主要的原理在于下列几个三角关系式：sin2x+cos2x=1，tan2x+1=，1+cos2x=2cos2x，1-cos2x=2sin2x. 举例4：已知a0=，an+1=，求通项an. 【解析】因为a0=sin，设an=sin，由已知递推关系式得： an+1=sin，所以an=sin. 举例5：（1）若数列an满足a0=1且an=，求通项an. （2）若数列bn满足b1=且bn+1=，求通项bn. 【解析】依据另三个三角代换关系式，参照例4的方法不难得到an=tan，bn=2cos. 参考文献： 1李名德，李胜宏.高中数学竞赛培优教程.浙江大学出版社，2