函数的极限及函数的连续性

1、函数的极限及函数的连续性、重点难点分析:此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限。 要掌握常见的几种函数式变形求极限。 函数f(x)在x=x0处连续的充要条件是在x=x0处左右连续。精选范本 计算函数极限的方法，若在 若函数在a,b上连续，则它在二、典型例题例 1 求极限x=x0 处连续，则a,blh有最大值，最小值。解析：m,n。例 2 已知解：x2+mx+2含有x+2这个因式x=-2是方程x2+mx+2=0的根，m=3代入求得n=-1。例 3 讨论 的连续性。解析：函数的定义域为(-8,+ 8),由初等函数的连续性知，在非分界点处函数是连续的, f(x)在x=1处连续。由，从而f(x)在

2、点x=-1处不连续。f(x)在(-8广1),(-1,+ oo)上连续，x=-1为函数的不连续点。例4.已知函数，(a,b为常数)。试讨论a,b为何值时，f(x)在x=0处连续。，.二 a=1,b=0 。例5.求极限解析： 例 6 设 ，问常数 k 为何值时，有存在？解析：要使存在，只需2k=1 ，故时，存在。例 7 求函数极限？在 x=-1 处左右极限，并说明在x=-1 处是否有解析： 由f(x)在x=-1处极限不存在。训练题：123.4精选范本2a+b=0 ,求a与b的值。5已知a 的值。3.参考答案： 1. 32.精选范本4. a=2, b=-45. a=0在线测试选择题2.存在是函数存在

3、的（）。 a、充分非必要条件b、必要非充分条件c、充要条件 d、既不充分又不必要条件3.,则下列结论中不正确的是（）。a、b、c、f(xo)=ad、f(xo)可能不为 a4.设，若存在，则常数b的值是（）。a、0b、1c、-1d、e精选范本其中正确的是()。1a、和 cb、和 一 c、都成立一 d、6.有下面四个命题：(1)如果函数f(x)在点xo处极限存在，那么f(x)在点xo处连续；(2)如果函数f(x)在点xo处左连续又有右极限，那么f(x)在点xo处连续；(3)如果函数f(x)在点xo处不连续，g(x)在点xo处连续，则f(x)g(x)在点xo处不连续;(4)函数在卜1, 1上存在最大

4、值和最小值。其中错误的命题有()。ja、1 个 b、2 个c、3个 d、4 个7. “函数f(x)在点xo处有定义且极限存在”是“f(x)在点xo处连续”的()。a、充分不必要条件b必要不充分条件c、充分必要条件d、既不充分也不必要条精选范本a、f(x)在点x=1处不连续，在点 x=2处连续b、f(x)在点x=1处连续，在点 x=2处不连续c、f(x)在点x=1和x=2处都不连续d、f(x)在点x=1和x=2处都连续8.已知函数则下列结论正确的是()。9.a、 1b、2c、3d、0在区间0, +8上连续，则实数a的值是()。10.对函数，下列说法正确的是(- a、f(x)在x=1处连续，在开区

5、间(0, 1)内不连续b、f(x)在x=1处不连续，在开区间(0, 1)内连续c、f(x)在x=1处及开区间(0, 1)内均连续 d、f(x)在x=1处及开区间(0, 1)内都不连续答案与解析答案：2.b3. c 4. b 5. a 6. d 7. b 8. d 9. b 10. b解析：2.若不存， 则函数在。3 根据函数在一点处的极限、左极限和右极限的定义：a、 b 正确；在点 x=x 0处是否有定义，因此选c。4.提示：若存在，则， ，所以b=1 。5.提示：容易求得正确，也可知w不存在，不成立。7.提示：f(x)在点xo处连续必须满足三个条件:存在；(1)函数f(x)在点x0处有定义；

6、(2)3)在点x0处的极限值等于这一点的函数值。因此“函数f(x)在点x0处有定义且极限存在”是“f(x)在点x0处连续”的必要不充分条件。8.提示：首先，函在点 x=1 和点 x=2 处有定义，而且 所以f(x)在点x=1和x=2处都连续。9.提示：因为函数在区间0, +00上连续，所以10.提示：函数,其中xw1,所以f(x)在x=1处不连续；当xw 1 时,在开区间 (0, 1)内连续。例i.曲i出卜列函数图象.并找出其不连坡点，并说明 理由。(1) 当 x a 0：(1)当、-班-i当工k-mi.31f(x),jc-*0s-0*.k=0 jl. tlq的不连续点n-当。信(2) 中二

7、k1 当无 mu,ttr vhm ,m)j不存在,k-mis-*f i二30是献)的不连续点.flx = 0例，讨论函数“q的连续性。u1 = 0解由皿=-上 0 x 2 ，知 xf 2天 量便蛇e之kfco在伊3卜(。卜q,+8)各区间内任一点处均连续, 因此只需讨论在无母和x=2处的连续性.v r(x)nh-(x ：)= 2!吐2 3不存在.二q)在x=0处不连续.综上所述,ffq在、=)处不连续.在(-m)及(&+ 3 )内等一点处都连续口例3,已知的数可玉尸5*：*丁54n),试求：(1)的定义或，并西出r(k)的图像*求;1m上:伙之一/；(3) “价在哪些点不连续.解：求月母的定义

8、域即确定工的取值范用j蜷二” 存在.t +、.(t)节国一不存在.1 + 1当e时7=9 1 + in 2当国1 即寓磊1或xi时,y八ifrn _llm 1_】1.i t+ 1+1i 0 n -1工41* * 1f (1 )* = 1m = 1l 4 t 或、 1jj(劝定义域为(6广1)5 e).s)0建5 , i l jc0kb*0，k 小口)丰5 / “工)h 二止.i0不存在.(j) vs* w吟:& 0 = 0,/(野二5+】二1 n-rt-k-i-m-h+f国事工g，但励不存在*:.“外在x=-l和x-1处不连续.例4.已知r(t)= h=誓当叫h分别取何值时. fco在*0处连

9、续a解：要使wu在0处连续，必须旦只须匕hm ho), 因此的先考察小b分别取他俏时，；%)存在,冉考察 购h取眄值时，皿 “x)j) = 1, * fh)=11rt (ek4-a)=l+a k 工 m xht xt-；当:” 时，1(、)在1=处连络b = 11 h = 1q)若巴工m：-n-b)=o,求h,b的值，解：此jb应先通分，再观察.分析并进行极限的四则运算,im + 1klm+ 1 -(. + b)(x a 1)，*(777一 曲 - 1_jtn j + 1-肛1一加一“&比十111tl. 。一s +占+ 1 一匕x +1i b(i+。)+ = |mx-xrn1*要使匕式极限为n

10、：则必须：u=4：=an h-n b = - l二号=1* b=l当口.时，m)三产了 /0.1.m当心时，、s.4 故.f 8 时,fg)fg例3.若匕工;”-2,求心的也.x -x-2解：,三一2时.支-1.2fo.目分母中含有因式缶2),又分式极限存在.故分子中含有因式h-2),约去建-2),其极限值应是工令 x* +ai+b=( i-2)(i+c)=x3+(c-2 )x -.2 c* a=c-2, 2c.m, x + ax + i) 3 (工一 2)(k*c) 2 i x3 -x-2 (x-2mx + i) 3即 = 2 -4,：0 31-4-2 2t7xh + i例4.判断函数(x)二r(mjicn*)；当icrg时* 工一1(力的极限是否存在,若存在,请写出极限值. 2支+1分析t当发一=时, 30二丸的极限是否存在，与x - 1明n的大小有关.若nm,则当f