任给两区间灰数

1、12.3非标准灰矩阵博弈过程分析12.2节研究了标准灰矩阵博弈问题，对于一个有纯策略解的标准灰矩阵博弈问题，我们可以方便地求出它的解.然而，对于一个非标准的灰矩阵博弈问题g/() =s1/,s2； a/(),其中： s/ =%/,，a：为局中人1的策略集,s2 =,，可为局中人2的策略集，a/()为局中 人事先判断的非标准灰损益值矩阵(见式12.3.1),如何求出g/()的解呢？本节我们将主要讨论这种非标准的灰矩阵博弈问题./1a/(二)=二 23 2,4!13 .(12.3.1)、不可判定灰数的标准化拆分i.一/一由于非标准灰博弈矩阵a ()与标准灰博弈矩阵a()的差别在于：在a/(3)中不

2、存在最小和最大可判定灰数.因此，为了便于对非标准灰矩阵博弈问题的研究，在这里我们首先研究不可判定灰数 的拆分问题.定义12.3.1在某灰数集合a ()=网i =a，t2,i =1,2,：中,若存在这样的不可判定灰数 k =ak,bk,该灰数的左(右)端点值ak ( bk )是该集合中所有灰数左(右)端点ak ( bk ) (i =1,2,，k-1,k+1,，m)中的最小(大)值.则,我们称该灰数为该集合中左 (右)端点最小(大)的不可 判定灰数.定义12.3.2若某灰矩阵博弈中，各局中人所使用的策略不是标准灰博弈策略，即他们的博弈损益值矩阵a/()的某个(些)行(列)中，不存在最小(大)可判定

3、灰数，或在a/()中各行(列)最小(大)灰数 集合中不存在最大(小)可判定灰数；则称该灰矩阵博弈为非标准灰矩阵博弈，记 为:g/() =s/s； a()淇中：s/=a/a/为局中人1的策略集，s/=p/ p/p/为局1,2，/、1 , 2 , , ：, 21,2, ,nj中人2的策略集，a/()为事先判断的局中人1的非标准灰损益值矩阵.由定义12.3.2可知，非标准灰矩阵博弈 g/()与标准灰矩阵博弈 g()=s,s2；a()区别在于： /一/一在g/()和g()的博弈中，局中人分别使用的是非标准博弈策略和标准化博弈策略.在g/()中，a/()的某一(些)行(列)中,不存在最小(大)可判定灰数

4、，或在由a/()中各行(列)最小(大)灰数构 成的集合中不存在最大(小)可判定灰数.定义12.3.3任给两个不可判定灰数，若我们可以将他们拆分为若干个灰数.使得拆分后的灰数两 两之间或者重合，或者其交集除端点外是空集，则我们称这样的拆分为这两个不可判定灰数的标准化 拆分.定理12.3.1任意两个不可判定灰数皆可进行标准化拆分证明：不失一般性，不妨设灰博弈矩阵中存在两个不可判定灰数ak,bik,aj,bj(i =1,2,mj =12,n；k=12,n).该两灰数的交集可被分成两种情况来考虑ba11心,b21-a12a22,b12,b22.一aaa1k,b1ka2k,b2kaaa1ja2j,b1j

5、 加 maa1na2n4,b2nm2a215ai1,3ai2,bi2aik,bika,bjainaiotsas1m属as2- + .一,bs2-ask,bskasj-, 一,bsjasn9,bsnctm am1-%m2a.一,bm2aamk,bmkamj-b ,m mj jamnm,bmn -2二 kja/一)=二 n(12.3.2)12.3.1 和 12.3.2 所示.情况1：当aik aj时,这两个不可判定灰数aik,bik,aj,bj的交集情况如图:aik, bik t aj ,bj ,i=ij*k,j袤1事5事图12.3.1 ,bk,aj,bj的关系示意图图12.3.2，bik,aj,

6、bj的关系示意图图12.3.1和12.3.2中，aj , bj ,i=i,j w k,j表示式12.3.2的第i行中除灰数aik,bk,aj ,bj (i =i, j = j, k =k)之外的其余灰数aj ,bj (i = i, j = j, j # k)的交集. a,j, bj ,i=ij 丰情况2：当aj aik时,这两个不可判定灰数aik,bik,aj,bj 的交集情况如图12.3.3和12.3.4所示.图 i233aik，bik,aj,bij的关系示意图图 i234aik，bk,aj,bij的关系示意图图12.3.3和12.3.4中,aij , bij ,i=i,j w k,j表示式

7、12.3.2的第i行中除灰数 尔，卜1 ,bj (i =i, j = j, k =k)之外的其余灰数a。，bj (i = i, j # j, j # k)的交集.1)在图12.3.1中，区间灰数 田汰，除,但卜的端点满足以下关系：aik waj bik bj.此时，灰数aik ,bik被分解为除端点外其交集为空集的两个灰数外,两和aj,除;灰数aij,bj被分解为除端点外交集为空集的两个灰数aj,bik和除，济.这样不可判定灰数 尔，卜冏，bj可被拆分为四个灰数aik,aj, aj,bk ,aj,bik和除由.这四个灰数两两之间 或者重合，或者其交集除端点外是空集.2)在图12.3.2中，区间

8、灰数 ,卜，除,a。，bj的端点满足以下关系：aik majbj.此时次数aik, bik 被分解为除端点外其交集为空集的三个灰数：aik, aj ,aj,bj 和bj ,切;灰数aj, bj 没有被分解.这样不可判定灰数灰数aik,bik,aj,bij可被拆分为四个灰数 aik, aj ,aij,bj ,aj,bj和bj,bik.这四个灰数两两之间或者重合,或者其交集除端点外是空集.3)在图12.3.3中，区间灰数aik,bik,aj ,bj的端点满足以下关系：aj aik bj k.此时，灰数a。,bj被分解为除端点外其交集为空集的二个灰数：aj, aik和aik ,bj ；灰数aik,b

9、k被分解为除端点外其交集为空集的二个灰数：aik,bj和bj ,惊.这样不可判定灰数灰数aik,bik,aij,bj可被拆分为四个灰数再同/ , 由,a。，bj 和b。，bk.这四个灰数两两之间 或者重合，或者其交集除端点外是空集.4)在图12.3.4中，区间灰数aik,bk,aj ,bj的端点满足以下关系：a。 aik bk |)；当水与该行中的 多个不可判定灰数相交时，我们可按同样的方法逐个处理；第四步：按第三步的方法对 a()中各行左端点最小不可判定灰数进行标准化拆分；第五步：局中人1的灰博弈策略的标准化过程结束.定义12.3.5对于非标准灰矩阵博弈g/() =s/,s2； a婚)，若按

10、下述步骤对局中人 2的非标准灰博弈策略进行处理；则称这一过程为局中人2的策略标准化.局中人2策略标准化过程如下：第一步：检查a()中各列是否存在最大可判定灰数；若皆存在，进行第二步；否则，转到第三步；第二步：检查各列最大可判定灰数组成的集合中是否存在最小可判定灰数，若存在，则局中人2的灰博弈策略已经标准化，局中人2的策略标准化过程结束；否则，对由各列最大灰数所组成的集合中的 左端点最小不可判定灰数进行标准化处理；第三步：若某列中的右端点最大不可判定灰数ik =ak ,bik,(见式12.3.2)与另一不可判定灰数sk =askhk,(s=1,2,，i 1,i+1,，m)既不重合，其交集除端点外

11、也不是空集，如图12.3.5和12.3.6所示;根据定理12.3.1，可对该两灰数进行标准化拆分，在保才i儿列中的 ik (或 sk)和其它可判定灰数不变的条件下，用ik(或sk)的标准化灰数分别替换ik(或 sk),从而将局中人2的非标准策略 凫拆分为l个标准化子策略p；, (v =1,2，l);当ik与该列中的多个不可判定灰数相交时，可按同样的方法逐个处理；第四步：按第三步的方法对 a()中各列右端点最大不可判定灰数进行标准化拆分第五步：局中人2的灰博弈策略的标准化过程结束.aj,bj,ii,s；j=kask, bskaik , bk aik , dk ajask, bsk ,bj，x图1

12、235aik，bk,ask，bsj的关系示意图图 12.3.6aik，bik,ask，bsk 的关系示意图图 12.3.5 和 12.3.6 中，aj,bj ,i wi,s；j=k 表示式 12.3.2 的第 k 列中除灰数aik,3 ,ask,bsk之外的其余灰数aj ,bj (i丰i,s;j=k)的交集.定理12.3.2任一非标准灰矩阵博弈过程g/(8)=s/；a/()(其中：a/(。)如式12.3.2所示),可以通过对局中人1和2的非标准博弈策略的标准化处理，将其化为标准化灰矩阵博弈.证明：由定义12.3.2可知，对非标准灰矩阵博弈6/(3)=8/,卷;及()的标准化处理 淇实质就是对局

13、中人1和2的策略集s/x,“和s/xpip/,，p/进行处理，从而使得a/()的各行 112m212n(列)中的不可判定灰数，或a/()中各行(列)最小(大)可判定灰数集合中的不可判定灰数标准化为可判定灰数，即对这些不可判定灰数进行标准化拆分.不失一般性，不妨设某非标准灰矩阵博弈的损益值矩阵如式(12.3.2)所示.首先进行局中人1的策略标准化，在式(12.3.2)中，我们不妨设其第i(i=12，m)行中存在左端点 最小不可判定灰数ik=ak,bk ( i=i;k=k )数，且该灰数仅与该行中某一不可判定灰数 j =aj,bj,(j =1,2,，k 1,k+1,，n)既不重合，交集除端点外也不

14、是空集，如图12.3.1和12.3.2 所示.对局中人1的策略进行标准化拆分，可先保持灰数 j =图， (j =1,2,，k1,k+1,，n)不变, 把灰数ik=ak,bk标准化拆分为aik,aij和aij,bik ,如式12.3.3所示.再由图12.3.1可知，在式212.3.2的第i行中，由于灰数aj ,bik和aij ,bj还需进行标准化拆分，故再对局中人1的策略叫书进行 标准化拆分，为%2；,%222,见式12.3.3;如此类推，我们可对局中人1的所有非标准化策略进行标准化拆 分.肾ftpka1ja2jpj,b1j,b2j mma1na2npn,b1n,b2n1 a1, bn a12

15、, b2 a22 , b22 mma1k,b1k2a21, b21 sa2k,b2kmm1 aiai 1, bi1ai2,bi2aik,aijaij,bjain，bin21a uw *ai1,bi1ai2,bi2aij,bikaij,bikain，bin228书ai 1, bi1sai2,bi2mmaij,bikmmbik,bjmmain,bin%as1,bs1 mas2，bs2mmask,bskmmasj,bsjmmasn，bsn m3m.am1, bm1 a m2,bm2amk,bmkamj,bmj amn,bmn 然后对局中人2的策略进行标准化拆分，与以上过程类似，在此不再赘述经过上述二

16、个步骤处理之后，一个非标准灰矩阵博弈a(二)二(12.3.3)g/() =s/,s2； a/()问题已被化为标准灰矩阵博弈问题.定理12.3.2表明，对于任一非标准灰矩阵博弈问题g/() =s|/,s2;a/(),可以通过对局中人1和2的非标准灰博弈策略进行标准化拆分，将其化为标准化灰矩阵博弈问题g() =s ,s2; a(),其中：s1,s2分别为局中人1和2的标准灰博弈策略集合，a()为局中人1的标准灰损益值矩阵.例12.3.1局中人1和2的非标准灰博弈矩阵如式(12.3.4)所示,试将该非标准灰矩阵博弈化为标准灰矩阵博弈.在式(12.3.4)中,局中人1的非标准灰博弈策略 与局中人2的博

17、弈策略 a和凡博弈时的损益值 分别为1,6和3,4;在行中不存在最小可判定灰数，该两灰数之间白关系如图12.3.7所示.因此，需，并且已知式(12.3.5)中所有灰数3,4的取数是要对局中人1的非标准灰博弈策略进行标准化拆分 一致的.-1,43,717,9图12.3.7灰数-1,4,3,7, 7,9关系示意图、 * -1，4 a(-) =-2ii -3,-237_47,9 1电(12.3.4)11：121a(二)=122二 101甩卷-1,33,4 4,73,43,4：2 3,-2 *max 3,43,4 3,44,7 4,7-4-44,7 4,7一7,97,97,9min -1,3 *3,4*3,4(12.3.5)野p2久mint3-13347,9 -1,33434347,9*3,4t,3344,77,9-1,3-1,31 -4 7,911 吠.122 _a (二)二2：1024v刊tt t-1,3/4(12.3.6)7max 3,43,4 4,7 7,9由图12.3.7中灰数1,6和3,4的关系，根据定理12.3.2，可将这一非标准灰矩阵博弈问题(式12.3.4)化为标准