变分原理及变分法

1、第一章变分原理与变分法1.1关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则）一、大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理：昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体；对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称 /相似原理；对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，嫡增原理等。变分原理是自然界静止（相对稳定状态）事物中的一个普遍适应的数学定律, 获称最小作用原理。examples：光线最短路径传播;光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（heron）； 光线折射遵循时间最短的途径ae eb ac cbsummary实际上光的传播遵循最小能量原理；在静力学中

2、的稳定平衡本质上是势能最小的原理。、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方法），是计算泛函驻值的数学理论数学上的泛函定义定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）问的（映射）关系特征描述法： j： x d r|j（x） r rexamples: 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间 数域nnn n 2ii al i = max aj ;网 max a。；网2 （ a。 ）2j i 1i j 1j 1 i 1函数的积分:函数空间数域bj fn (x)dxafndnote：泛函的自变量是集合中的元素（定义域）discussion :判定下列那些是泛函：;值

3、域是实数域。ilf i maxf ；(x xo)f(x)dx f(xo)试举另一泛函例子。物理问题中的泛函举例 弹性地基梁的系统势能i.梁的弯曲应变能:1 ld l o qwdxw 2ej(一废)dx 2 0 dx2ii.弹性地基贮存的能量:l 2 kw dx0iii.外力位能:iv.系统总的势能：0gej （誓）20 dxqwdx; x 0dw 八 0 dx泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系 统势能。泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个 wx）,使 系统势能泛函取最小值。最速降线问题问题：已知空间两点a和b,a高于b,要求在两点间连接一条曲线

4、，使得 有重物从a沿此曲线自由下滑时，从a到b所需时间最短（忽略摩擦力）。 作法：i.ii.通过a和b作一垂直于水平面的平面，取坐标系如图。b点坐标（a, b）, 设曲线为 y = y（x）,并已知：x = 0, y = 0；x= a, y= b建立泛函：设p（x , y）是曲线上的点，p点的速度由能量守恒定律求得：2mv2 mgy v . 2gy命ds为曲线弧长的微分，有:dsv . 2gy dt dt2ds ,1 y1dx.2gy .、2gy重物从a点滑到b点的总时间:at=01 y,2i.曲线是封闭的，必存在一个八口。s2ii.该封闭曲线的周长:(dy)2ds该曲线所围成的面积:dxdy

5、iii.转换r的表达式由green公式：q p( )dxdyx ys2pdxqdysi则:q _p x y泛函驻值提法：在0wxwa的区间内找一个函数y(x)使其满足端点几何条 件并使t取最小值。圆周问题问题：在长度一定的闭曲线中，什么曲线所围成的面积最大。作法：假设所考虑的曲线用参数形式表示：x = x(s), y = y(s)s为参数。取s1为曲线上的某一定点，则坐标表示 x1=x(s1), yi=y(s1),因s2点使 x2 = x(s2), y2= y(s2)与点 si(xi,yi)重s(xy(s)syx(s)ds1 小r r 1 xdy ydx2 si泛函驻值的提法：等周问题即是在满

6、足端点条件x(si) = x(s2),y(si)=y( s2)及周长一定s2 j(第2 (豁2l条件下，寻找一个曲线函数x(s)使泛函s1 y(s)r取驻值。 discussion悬索线问题：已知空间中a, b两点及一条长度l福的悬索，单位长的质 量为m%假设绳索的长度是不变的，并忽略绳索的弯曲刚度，把此绳索的 两端挂在a, b两点，求在平衡状态下绳索的形状。要求：列出悬索线应满足的泛函式及泛函驻值提法。提示：绳索在平衡状态下，其势能应为最小值。1.2变分法(泛函驻值的计算方法)关于计算固体力学中的泛函、泛函极值的提法这里所研究的泛函一般用积分显式表达，并不等于所有泛函都能用显 式积分表达。所

7、要研究的泛函都可表示成在一定区间或一定区域内的函数及其导数 (或偏导数)的积分形式，即：ba. i f(f(x), f(x), f(x);x)dx ab. 2 f(f (x,y), fx(x, y), fy(x, y);x,y)dxdyc.泛函中的可变化函数称为自变函数，或称宗量( argument), x或y 仅是积分变量，是被积函数的定义域。(被积函数是复合函数概念的 推广) 要说清楚一个泛函的极值问题，应注意：a.应把泛函本身讲清楚(即写出它的形式)；b.还必须讲明白自变函数的性质，如：- 独立的自变函数的个数(导函数并不独立)；- 每个自变函数定义的区间/区域；- 这些自变函数应满足的

8、条件(如：边界条件及其受约束的条件等)。c.除了个别特殊情况外，一般情况下增加一个条件会使泛函极值及相应 的自变函数变化性质发生变化。如：极小值可能变大；极大值可能变 小；非极值的驻值可能成为极值。若干背景知识 泛函的驻值问题可以转化为等价的微分方程问题，变分法的理论计算就是完成这类工作。本章内容沿袭此方法，是要把问题的理论基础讲明确。 从近似解的角度出发，直接求解泛函的驻值，比解微分方程更加方便， 也更为实用。特别计算机技术的发展，带来了大规模数值计算的可能性(有限元的思想基础)。 经 euler, lagrange, dirichlet , hilbert , bernoulli 等数学先

9、驱的卓越 工作，完成了的系统方法。但把微分方程问题转换为泛函问题还很不成熟。在物理、力学中，即先 猜想一个泛函的驻值问题，再校对是否与原微分方程问题等价。 泛函驻值的计算(数值)先驱工作中以ritz , galerkin , treft著名。关于变分法的一个预备定理若f(x)在a, b上连续，若对任意满足(a尸(b)=0的连续函数x 都有：bf(x) (x) dx 0 a则 ”乂)在2,切上处处为零。反证法：设xo为a, b中的点，在xo点f(x)w0,可取f(x0)0,f(x)在区间上连续，必存在xo的一个充分小邻域上f(x)0, xo- xxo+又 x为任意连续函数(满足边界条件)，可取x

10、也在该邻域内大于零，而在该邻域外包等于零。所以有ba f (x) (x) dx 0矛盾！即f(x)必须为零；同理可证小于零情况。该定理可推广多元变量的函数问题。b1.2.1定积分 f(x,y, y)dx的驻值(变分)问题 a目的：通过简单泛函的极值分析，获得建立变分法的基本概念、计算步骤(把变分解转化成微分方程)问题：在自变量x的区间a, b 内决定一个函数y(x),使它满足边界条件：ylx a , y lx b 并使泛函：bv f(x,y,y)dx 取极值。 a计算v方法1:设想已取得了一条曲线gachf程为：y= y (x)在gach寸近另取一条曲线gbdh令该曲线无限接近gach其方程为

11、:yi(x) y(x) y(x)y(x)是一个无穷小量，称为自变函数的变分(若x不变，即为曲线纵坐标的增量)(注意与函数微分的区别，这里函数的变分仍然是一个函数) 相应两条曲线，获得两个泛函值：bf (x, y, y )dxf(x, y y, y y)dx a基本引理：(y) y推广：(y) y另一条认识(y)a c :a b:cd :bd :yi y y证： y(x) yi(x) y(x) ( y)y1(x) y(x) yy的思路：y(xc) y(xa) y dxyi) yga%(xd) y(xc)yc，(xd) yi(xb) yidxy ydx; yi ydx(、yiy(y) = yi y

12、 ydxbv af(x,y y, y y) f(x,y,y)dx a因为f（x, y, y ）是x, y,y的连续可导函数（工程上一般如此），故y及y很小时，v也很小，即 y, y 0 v 0取等式两端的一阶无穷小量，即:b ffvyy dx (可以从tailor展开式去理斛)a yyv称为泛函v的一阶变分，简称变分，即泛函的一阶变分是泛函增量中的 一阶小量部分（把自变函数的变分y作为一阶小量）所以，变分的运算服从 无穷小量的运算规则。计算v方法2:（把求泛函的极值转化成求普通函数的极值）记：yi(x) yo(x)y(x)一bv ( )3 f(x,yoy,yoa0 i ( yo及 y固定)y

13、)dx当v在y。上取极值，则相应于0的泛函值 v（）现在成为普通的函数极值条件：v（ ）| 0 0 （先不管该条件，现仅研究其导数计算）dv( ) b f d(y0y) f d(y0y)b f fv 3 d y y dxd y y dxda y dy da y y上两式中出现，y和y并不能独立变化，可设法把y项转换成只与y有关 的项。取分步积分：y dxbu vdxab uv|a取：ub fb d ff ky dx() ydx y |aa ya dx yy代入一阶变分式：bfdffbv a( ) ydxy|aaydxyy要选定的函数满足边界条件，所以:y 0|xa,y0|x bb fdfv (

14、)ydxa ydxy计算v 0若方括号内的函数在区间内不为 0,则可任选y使v大于零或小于零，即 使v不能获得极值，故需方括号的项为零。即： （）0（euler 方程）y dx y此即与泛函驻值等价的微分方程。或：令v 0由变分基本定理：y任意连续函数，方括号中函数连续。d f dx(v)example最速降线问题：f，2gy（注不显含x）代入euler方程，并乘以函数q可得:cf cd/f、cf cf d/cf、cq q() q q(q ) 0y dx y y y dx y由于 0 （f中不显含x）,上式中只要令q y ,把上式配成全微分形式: xs(f dx-y) 0 y这是因为:9f dxf dyy dx_f dy_fy dx x0）（代回原euler方程，即得全微分）后两项由q的假设 q q y y由全微分方程代入f的具体表达式:1y(i y 2)令：y ctantv2 .y 厂 vsin t1 ctan tv一(12cos2t)dy2