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文档简介
1、 基于动态视角认知数学抽象geogebra视角下圆切线问题的探求 摘要:文章从一个简单的圆的切线问题出发,利用geogebra软件动态背景,在具体的情境表征,动态演示的过程中学生发现问题,提出问题,并进行了符号表征,在再创造的过程中认识了数学的本质.同时在解决问题的过程中,通过可视化教学,提供直观的感知,视觉的感觉、暴露了数据的内在关系和总体趋势,揭示数据所传递的内在本质,揭示数学本质,锤炼思维品质,培育了学生的数学抽象能力,进一步提升了学生的数学学习力.关键词:geogebra;数学抽象;动态视角普通高中数学课程标准明确提出:数学核心素养包含具有数学基本特征的思维品格和关键能力,是数学知识、
2、技能、思想经验及情感、态度、价值观的综合体现.数学的抽象性是数学的三大特征之一,也是数学核心素养的第一要素,数学抽象达到的程度大大超过其他学科,在一定程度上造成了数学学习的困难.因此,在课堂实践中,教师要不断探索合理途径,促进学生数学抽象素养的形成和发展.如何引导学生进行数学抽象,在具体的教学中,我们应抓住数学内容的本质、知道学生的认知规律,创设合适的情境、提出合适的问题,启发学生独立思考、鼓励学生与他人交流,在掌握知识、技能的同时理解数学的本质、形成和发展数学核心素养.2018年7月16日,由人民教育出版社开发的人教智慧教学平台1.7版实现了geogebra在数字教材中的嵌入,创新了人教数字
3、教材与学科工具的结合方式,能够更好地支持自主、合作、探究等教学模式.而geogebra软件是一款集几何作图、代数运算和数据处理等于一体的动态数学软件,能够帮助学生深入数学学科内部,帮助学生认识数学的本质、推动学生的数学思维往更高层次发展.学生“经历技术思考数学思考技术实现思考”这样一个不断循环往复的体验过程,让学生在掌握知识和技能的同时,感悟数学的本质,形成和发展数学核心素养,不断提升学生数学学习力.例题:求过圆 上一点 的切线方程.本例学生利用几何与代数两种方法进行求解,基本上掌握了切线问题的常见处理办法.如果仅此而已,不利于培养学生的核心素养.为此,我在课堂上利用geogebra的动态性进
4、行了可视化教学,进一步培养学生的数学抽象能力.动态视角一:从具体到抽象利用geogebra,我们依次在指令栏输入指令:1. (0,0),作出点2. 画圆(a,2),作出圆锥曲线 (即圆a);3. 描点(c),作出圆上任一点 ;4. 切线(b,c),作出直线 .图1 图2如图1,我们可以发现直线 中 和 前面的系数就是点 的横坐标与纵坐标,而等式的右边就是圆半径的平方.这是巧合还是必然呢?利用geogebra,我们改变点 的位置(如图2、图3),我们可以发现该结论还是成立.图3 图4也就是说过圆 上任意一点 的切线方程是 .如图4,当圆心坐标改为 时,对应的圆锥曲线方程变为 (即圆a).我们可以
5、发现直线 中 和 前面的系数不是点 的横坐标与纵坐标,而是分别减去了1和2,减去的值恰好为圆心的横坐标与纵坐标,此时等式的右边也不是圆半径的平方.继续改变点 的位置(如图5),结论类似. 和 前面系数的规律找到了,那么等式右边的值与是圆半径的平方有啥关系呢?于是猜测:过圆锥曲线 (即圆a)上任意一点 的切线方程是 .如图6,在指令栏中我们输入:(x(b)-x(a)(x-x(a)+(y(b)-y(a)(y-y(a)=4,作出了直线 ,我们可以发现与直线 完全一样.在圆上移动点b的位置,结论还是成立.从可视化实验的角度验证了猜想的正确性.图5 图6于是我们进一步猜测:过圆 上任意一点 的切线方程是
6、 .学生证明:由于(1)当 且 时,得 ,所以过点 的切线方程为: ;(2)当 时,直线 斜率不存在,此时过点 的切线方程为: 或 ;当 时,直线 斜率为 ,此时过点 的切线方程为: 或 也符合(*).得证.利用geogebra动态背景下数学可视化教学,在特例的基础上学生能够抽象出数学概念和规则,并形成简单的数学命题,并用数学语言表达的推理和论证,感悟数学的通性通法,体会其中的数学思想,实现了第一层次的数学抽象能力的培养.动态视角二:从特殊到一般有同学提出,假如点 不在圆上时又会怎么样呢?我们继续进行数学实验的探究.如图7,我们把点 的坐标改为 ,圆心 ,圆 ,此时我们发现切线 消失了,但是直
7、线 还是存在的.图7 图8它与过点b的切线到底有啥关系呢?如图8,我们在指令栏输入:切线(b,c),画出过点b的圆c的两条切线,我们可以发现这两个切点的均在直线g上。事实究竟如此吗?如图9,我们输入指令:直线(交点(c,e),交点(c,f),作出直线h,我们可以发现与直线g是一样的(显示的形式不一样).图9 图10如图10-12,进一步改变圆心a和点b的位置(在已知圆外),我们可以发现结论还是成立的(将直线g的表示形式改为斜截式,可以发现直线g和h完全一样).于是我们得到:过圆 外任意一点 作圆的切线,两切点连线的方程为: .图11 图12证明:由条件可知,题中两切点分别在圆 和以 为直径的圆
8、上,其方程为: ,两圆方程相减即得两切点连线的方程为: .利用geogebra动态背景下数学可视化教学,学生能够在关联的情境中抽象出一般的数学规则,并将已知数学命题推广到更一般的情形,能够在新的情境中选择和运用数学方法解决问题.能够用数学语言表达,理解其中的数学思想,实现了第二层次的数学抽象能力的培养.动态视角三:从模型到本质进一步,我们可以发现,如图13,当点b在圆外向圆心靠拢的过程中,直线g也逐渐向点b靠拢.图13如图14,当点b到达圆c上是,直线g就变成过点b的圆的切线了,此时直线e、f和h都变成未定义了.图14 图15如图15,当点b位于圆锥曲线c(即圆a)内的时候,我们可以发现直线g
9、与圆c相离,此时直线e、f和h都变成未定义.这条直线与圆存在着怎样的关系呢?借助于geogebra的动态功能,我们继续进行探究.如图16-19利用图像变换中的反演功能,我们选择直线g,再选择圆锥曲线c(即圆a),我们得到了一个以ab为直径的圆锥曲线g.当点b在圆上、圆外的时候该结论还是成立的.图16 图17图18 图19如图18-19,当我们在指令栏内输入:左边(c)-左边(g)=右边(c)-右边(g),得到直线i,我们可以发现它跟直线g是一样的.课后,学生查阅了相关的资料发现:(1)极点与极线:如果圆锥曲线的切于a,b两点的切线相交于p点,那么p点称为直线ab关于该曲线的极点(pole),直
10、线ab称为p点的极线(polar).但是上面定义仅适用于p点在此圆锥曲线外部的情况.实际上,在p点在圆锥曲线内部的时候同样可以定义极线,这时我们可以认为极线是过p点做此圆锥曲线两条虚切线切点的连线.特别的,如果这个圆锥曲线是一个圆,我们同样有圆的极线和极点的概念.(2)反演:首先约定,反演圆的圆心o是反演中心.规定反演半径就是反演圆的半径r(在解题和具体的应用上,可以用不同的反演半径,不必非得是反演圆的半径).再约定,如果a经过反演之后变成a,那么,o、a、a共线,且 .结论:已知圆 的圆心为 , 平面上任意一点,则以 为直径的圆关于圆 的反演图形是直线特别地,圆心 时,对应的反演图形是直线
11、.利用geogebra动态背景下数学可视化教学,学生能够在综合的情境中抽象出数学问题,并用恰当的数学语言予以表达,能够理解数学结论的一般性,能够感悟高度概括,把握研究对象的数学特征,并用准确的数学语言予以表达,实现了第三层次的数学抽象能力的培养.利用geogebra动态背景下数学可视化教学,学生以研究者的身份“做数学”、“发现数学”、“理解数学”和“应用数学”.(1)有效促进学生对数学的理解.借助geogebra的交互性的学习环境,通过学生的操作,实验或试验,使学生从原有的知识中自然“生长”出新的知识.(2)培养学生的非逻辑思维能力.在数学实验中,学生通过自己动手实验.对问题的观察、发现、解决
12、、引申、变化等过程的模拟和实验.在深刻理解知识、把握逻辑演绎证明本质的同时,观察能力、探索能力、创造能力、实际操作能力等都得到相应的发展.(3)促进学习方式的转变.数学教学的目的绝非仅仅是传授数学知识,更重要的是改善学生的数学学习方式,由过去被动地接受转为主动地参与,由以前做书本中的习题变为做自己设计的问题,由被动地学习变为主动地发现探索式学习.(4)有效地提高了学生的数学素养.通过geogebra引领下的可视化教学,学生学会用数学的眼光观察世界,会用数学的思维思考世界,会用数学的语言表达世界.而数学的眼光本质就是抽象,抽象使得数学具有一般性;所谓数学思维,本质就是推理,推理使得数学具有严谨性;所谓数学的语言,注意就是数学模型,模型使得数学的应用具有广泛性.参考文献1 中华人民共和国教育
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