基于动态视角认知数学抽象-GeoGebra视角下圆切线问题的探求

1、 基于动态视角认知数学抽象geogebra视角下圆切线问题的探求 摘要：文章从一个简单的圆的切线问题出发，利用geogebra软件动态背景，在具体的情境表征，动态演示的过程中学生发现问题，提出问题，并进行了符号表征，在再创造的过程中认识了数学的本质.同时在解决问题的过程中，通过可视化教学，提供直观的感知，视觉的感觉、暴露了数据的内在关系和总体趋势，揭示数据所传递的内在本质，揭示数学本质，锤炼思维品质，培育了学生的数学抽象能力，进一步提升了学生的数学学习力.关键词：geogebra；数学抽象；动态视角普通高中数学课程标准明确提出：数学核心素养包含具有数学基本特征的思维品格和关键能力，是数学知识、

2、技能、思想经验及情感、态度、价值观的综合体现.数学的抽象性是数学的三大特征之一，也是数学核心素养的第一要素，数学抽象达到的程度大大超过其他学科，在一定程度上造成了数学学习的困难.因此，在课堂实践中，教师要不断探索合理途径，促进学生数学抽象素养的形成和发展.如何引导学生进行数学抽象，在具体的教学中，我们应抓住数学内容的本质、知道学生的认知规律，创设合适的情境、提出合适的问题，启发学生独立思考、鼓励学生与他人交流，在掌握知识、技能的同时理解数学的本质、形成和发展数学核心素养.2018年7月16日，由人民教育出版社开发的人教智慧教学平台1.7版实现了geogebra在数字教材中的嵌入，创新了人教数字

3、教材与学科工具的结合方式，能够更好地支持自主、合作、探究等教学模式.而geogebra软件是一款集几何作图、代数运算和数据处理等于一体的动态数学软件，能够帮助学生深入数学学科内部，帮助学生认识数学的本质、推动学生的数学思维往更高层次发展.学生“经历技术思考数学思考技术实现思考”这样一个不断循环往复的体验过程，让学生在掌握知识和技能的同时，感悟数学的本质，形成和发展数学核心素养，不断提升学生数学学习力.例题：求过圆 上一点 的切线方程.本例学生利用几何与代数两种方法进行求解，基本上掌握了切线问题的常见处理办法.如果仅此而已，不利于培养学生的核心素养.为此，我在课堂上利用geogebra的动态性进

4、行了可视化教学，进一步培养学生的数学抽象能力.动态视角一：从具体到抽象利用geogebra，我们依次在指令栏输入指令：1. (0,0)，作出点2. 画圆(a,2)，作出圆锥曲线 （即圆a）；3. 描点(c)，作出圆上任一点 ；4. 切线(b,c)，作出直线 .图1 图2如图1,我们可以发现直线 中 和 前面的系数就是点 的横坐标与纵坐标，而等式的右边就是圆半径的平方.这是巧合还是必然呢？利用geogebra，我们改变点 的位置（如图2、图3），我们可以发现该结论还是成立.图3 图4也就是说过圆 上任意一点 的切线方程是 .如图4，当圆心坐标改为 时，对应的圆锥曲线方程变为 （即圆a）.我们可以

5、发现直线 中 和 前面的系数不是点 的横坐标与纵坐标，而是分别减去了1和2，减去的值恰好为圆心的横坐标与纵坐标，此时等式的右边也不是圆半径的平方.继续改变点 的位置（如图5），结论类似. 和 前面系数的规律找到了，那么等式右边的值与是圆半径的平方有啥关系呢？于是猜测：过圆锥曲线 （即圆a）上任意一点 的切线方程是 .如图6，在指令栏中我们输入：(x(b)-x(a)(x-x(a)+(y(b)-y(a)(y-y(a)=4，作出了直线 ，我们可以发现与直线 完全一样.在圆上移动点b的位置，结论还是成立.从可视化实验的角度验证了猜想的正确性.图5 图6于是我们进一步猜测：过圆 上任意一点 的切线方程是

6、 .学生证明：由于（1）当 且 时，得 ，所以过点 的切线方程为： ；（2）当 时，直线 斜率不存在，此时过点 的切线方程为： 或 ；当 时，直线 斜率为 ，此时过点 的切线方程为： 或 也符合(*).得证.利用geogebra动态背景下数学可视化教学，在特例的基础上学生能够抽象出数学概念和规则，并形成简单的数学命题，并用数学语言表达的推理和论证，感悟数学的通性通法，体会其中的数学思想，实现了第一层次的数学抽象能力的培养.动态视角二：从特殊到一般有同学提出，假如点 不在圆上时又会怎么样呢？我们继续进行数学实验的探究.如图7，我们把点 的坐标改为 ，圆心 ，圆 ，此时我们发现切线 消失了，但是直

7、线 还是存在的.图7 图8它与过点b的切线到底有啥关系呢？如图8，我们在指令栏输入：切线(b,c)，画出过点b的圆c的两条切线，我们可以发现这两个切点的均在直线g上。事实究竟如此吗？如图9，我们输入指令：直线(交点(c,e),交点(c,f)，作出直线h，我们可以发现与直线g是一样的（显示的形式不一样）.图9 图10如图10-12，进一步改变圆心a和点b的位置（在已知圆外），我们可以发现结论还是成立的（将直线g的表示形式改为斜截式，可以发现直线g和h完全一样）.于是我们得到：过圆 外任意一点 作圆的切线，两切点连线的方程为: .图11 图12证明：由条件可知，题中两切点分别在圆 和以 为直径的圆

8、上，其方程为: ，两圆方程相减即得两切点连线的方程为： .利用geogebra动态背景下数学可视化教学，学生能够在关联的情境中抽象出一般的数学规则，并将已知数学命题推广到更一般的情形，能够在新的情境中选择和运用数学方法解决问题.能够用数学语言表达，理解其中的数学思想，实现了第二层次的数学抽象能力的培养.动态视角三：从模型到本质进一步，我们可以发现，如图13，当点b在圆外向圆心靠拢的过程中，直线g也逐渐向点b靠拢.图13如图14，当点b到达圆c上是，直线g就变成过点b的圆的切线了，此时直线e、f和h都变成未定义了.图14 图15如图15，当点b位于圆锥曲线c（即圆a）内的时候，我们可以发现直线g

9、与圆c相离，此时直线e、f和h都变成未定义.这条直线与圆存在着怎样的关系呢？借助于geogebra的动态功能，我们继续进行探究.如图16-19利用图像变换中的反演功能，我们选择直线g，再选择圆锥曲线c（即圆a），我们得到了一个以ab为直径的圆锥曲线g.当点b在圆上、圆外的时候该结论还是成立的.图16 图17图18 图19如图18-19，当我们在指令栏内输入：左边(c)-左边(g)=右边(c)-右边(g)，得到直线i，我们可以发现它跟直线g是一样的.课后，学生查阅了相关的资料发现：（1）极点与极线：如果圆锥曲线的切于a,b两点的切线相交于p点，那么p点称为直线ab关于该曲线的极点(pole),直

10、线ab称为p点的极线(polar).但是上面定义仅适用于p点在此圆锥曲线外部的情况.实际上,在p点在圆锥曲线内部的时候同样可以定义极线,这时我们可以认为极线是过p点做此圆锥曲线两条虚切线切点的连线.特别的，如果这个圆锥曲线是一个圆，我们同样有圆的极线和极点的概念.（2）反演：首先约定，反演圆的圆心o是反演中心.规定反演半径就是反演圆的半径r（在解题和具体的应用上，可以用不同的反演半径，不必非得是反演圆的半径）.再约定，如果a经过反演之后变成a，那么，o、a、a共线，且 .结论：已知圆 的圆心为 ， 平面上任意一点，则以 为直径的圆关于圆 的反演图形是直线特别地，圆心 时，对应的反演图形是直线

11、.利用geogebra动态背景下数学可视化教学，学生能够在综合的情境中抽象出数学问题，并用恰当的数学语言予以表达，能够理解数学结论的一般性，能够感悟高度概括，把握研究对象的数学特征，并用准确的数学语言予以表达，实现了第三层次的数学抽象能力的培养.利用geogebra动态背景下数学可视化教学，学生以研究者的身份“做数学”、“发现数学”、“理解数学”和“应用数学”.(1)有效促进学生对数学的理解.借助geogebra的交互性的学习环境，通过学生的操作，实验或试验，使学生从原有的知识中自然“生长”出新的知识.(2)培养学生的非逻辑思维能力.在数学实验中，学生通过自己动手实验.对问题的观察、发现、解决

12、、引申、变化等过程的模拟和实验.在深刻理解知识、把握逻辑演绎证明本质的同时，观察能力、探索能力、创造能力、实际操作能力等都得到相应的发展.(3)促进学习方式的转变.数学教学的目的绝非仅仅是传授数学知识,更重要的是改善学生的数学学习方式，由过去被动地接受转为主动地参与，由以前做书本中的习题变为做自己设计的问题，由被动地学习变为主动地发现探索式学习.(4)有效地提高了学生的数学素养.通过geogebra引领下的可视化教学，学生学会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界.而数学的眼光本质就是抽象，抽象使得数学具有一般性；所谓数学思维，本质就是推理，推理使得数学具有严谨性；所谓数学的语言，注意就是数学模型，模型使得数学的应用具有广泛性.参考文献1 中华人民共和国教育