大物第五章答案

1、刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律角动量角动量转动转动惯量惯量角动量角动量变化率变化率力矩力矩角动量角动量定理定理角动量守角动量守恒定律恒定律空间旋转空间旋转对称性对称性学时：学时：6重要性：重要性：大到星系，小到基本粒子都有旋转运动；大到星系，小到基本粒子都有旋转运动；微观粒子的角动量具有量子化特征；微观粒子的角动量具有量子化特征；角动量遵守守恒定律，与空间旋转对称性相对应。角动量遵守守恒定律，与空间旋转对称性相对应。：将一绕通过质心的固定轴转动的圆盘视为一个质点系，将一绕通过质心的固定轴转动的圆盘视为一个质点系，则由于该系统质心速度为零，所以，系统总动量为零。但系统则由于该系统质心速度为零，

2、所以，系统总动量为零。但系统有机械运动，总动量却为零？有机械运动，总动量却为零？引入与动量引入与动量 对应的角量对应的角量 角动量角动量(动量矩动量矩)pL当质点作曲线运动或对某点有转动趋势时当质点作曲线运动或对某点有转动趋势时mvLrOO说明不宜用动量来量度转动物体的机械运动量。说明不宜用动量来量度转动物体的机械运动量。12smkgsin单位：服从右手螺旋法则。组成的平面，和方向：垂直于大小：prrpprrmvLL1. 质点的角动量质点的角动量vmrprLxyzmrpoLr作直线运动设m质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋转运动的强弱。转运动的

3、强弱。ovmer：玻尔氢原子理论假设之一：玻尔氢原子理论假设之一：3, 2, 12nnhnmvr电子对核电子对核的角动量的角动量量子化量子化orpmorpLppr，大小不变时，则：、若以以为参考点为参考点0L以以为参考点为参考点0LiciicivvvrrriciiicvvmrrLiiiiiiiiivmrprLL2. .质点系角动量质点系角动量系统内所有质点对系统内所有质点对同一参考点同一参考点角动量的角动量的oipimirccririiiiciiiiiiciciiiiiicvmrvmrvmrvvmrvmr 由由0MrmrMvmvmMiiiciiicii第一项：第一项：icciicvMrvmr即

4、将质点系全部质量集中于质心处的一个质点上，即将质点系全部质量集中于质心处的一个质点上，该质点对参考点的角动量该质点对参考点的角动量轨道L描述质点系整体绕参考点的旋转运动：描述质点系整体绕参考点的旋转运动：第二项：第二项：0ccciiiciiiciiivrMvMrmMvrmvmr质心对自己的位矢质心对自己的位矢iiiiciiiiiicvmrvmrvmrL iiiiciiiiiicvmrvmrvmrL 于是于是自旋轨道LLvmrvMrLiiiicc 自旋L反映质点系绕质心的旋转运动，与参考点的选择无关，反映质点系绕质心的旋转运动，与参考点的选择无关，描述系统的内禀性质：描述系统的内禀性质：第三项：

5、第三项：iiiivmr各质点相对于质心角动量的矢量和各质点相对于质心角动量的矢量和自旋L轨道LL轨道L自旋L自自旋旋轨轨道道LLvmrvMrLiiiicc:轨轨道道L描述质点系整体绕参考点的旋转运动描述质点系整体绕参考点的旋转运动:自自旋旋L描述质点系绕质心的旋转运动，描述质点系绕质心的旋转运动，与参考点的选择无关。与参考点的选择无关。自自旋旋L轨轨道道LL轨轨道道L自自旋旋L3. 定轴转动刚体的角动量定轴转动刚体的角动量方向：沿大小：2iiiiiioiormvmrLL2iiiormL 即即o对对 的角动量：的角动量：imiiiiovmrLo转轴转轴 角速度角速度刚体上任一质点刚体上任一质点转

6、轴与其转动平面交点转轴与其转动平面交点 绕绕 圆周运动半径为圆周运动半径为 imzimoirivimor转动转动平面平面zi刚体定轴转动的特点：刚体定轴转动的特点：(1) 质点均在垂直于转轴的转动平面内，作半径不质点均在垂直于转轴的转动平面内，作半径不 同的圆周运动；同的圆周运动；(2) 各质点的角速度各质点的角速度 大小相等，且均沿轴向。大小相等，且均沿轴向。2iiiiiizrmvmrL刚体对刚体对z轴的总角动量为：轴的总角动量为：JmrmrLLiiiiiiiizz22iiimrJ2质点系的转动惯量质点系的转动惯量：质点质点 对对 点的角动量的点的角动量的，称为质，称为质点点对转轴对转轴的角

7、动量。的角动量。imovmrLodd2dddmrvmrLz刚体对刚体对z 轴的总角动量为：轴的总角动量为：JmrmrLLzzddd22对质量连续分布的刚体：对质量连续分布的刚体：连续分布体的转动惯量连续分布体的转动惯量mrJd2vmdorziiimrJ2质点系的转动惯量质点系的转动惯量vmrprL质点质点自自旋旋轨轨道道LLvmrvMrLiiiicc质点系质点系JmrmrLLiiiiiiiizz22JmrmrLLzzddd22定轴转动刚体定轴转动刚体1. 定义定义iiimrJ2刚体对定轴的转动惯量等于其上各质点的质量与该质点刚体对定轴的转动惯量等于其上各质点的质量与该质点到转轴距离的平方之积求

8、和。到转轴距离的平方之积求和。若质量连续分布若质量连续分布mrJd22. 物理意义物理意义m - 描述质点平动惯性的大小描述质点平动惯性的大小比较：比较：vmpJL J - 描述刚体转动惯性的大小描述刚体转动惯性的大小线线分分布布面面分分布布体体分分布布lSVmdddd- 描述物体转动惯性的大小描述物体转动惯性的大小1.1.由长由长l 的轻杆连接的质点如图所示，求质点系对过的轻杆连接的质点如图所示，求质点系对过A垂直于该平面的轴的转动惯量。垂直于该平面的轴的转动惯量。222)2)(54()2(32lmmlmmlJ232ml刚体的总质量刚体的总质量 (同分布同分布, J大大J小小)影响影响 J

9、的因素的因素刚体质量分布刚体质量分布 (同同m, J空空J实实)转轴的位置转轴的位置3. 计算计算iiimrJ2mrJd2llllAmm2m3m4m5A2213)543(mllmmmmJ若转轴过若转轴过A点点2. 一长为一长为L的细杆，质量的细杆，质量m均匀分布均匀分布 ，求该杆对垂直，求该杆对垂直于杆，分别过杆的中点和一端端点的轴的转动惯量。于杆，分别过杆的中点和一端端点的轴的转动惯量。(1)(1)轴过中点轴过中点22223231dLLLLxLmxLmxmxmrJdd222331218831mLLLLmLoxmdx(2) 轴过一端端点轴过一端端点mxmrJdd222331031mLLxLmx

10、LmxLd022L2Loxmdx3. 求质量求质量 m , 半径半径 R 的圆环对中心垂直轴的转动惯量的圆环对中心垂直轴的转动惯量解解: 圆环上取微元圆环上取微元dmmrJd2mmR02dmRlRmRJR2202d22mRJ1 = mR2+m1R22222xRRmmRJ思考思考1. 环上加一质量为环上加一质量为m1的质点的质点, J1 =? ROdmm1思考思考2. 环上有一个环上有一个 x的缺口，的缺口，J2=? xRO4. 求质量求质量 m , 半径半径 R 的均匀圆盘对中心垂直轴的转动的均匀圆盘对中心垂直轴的转动惯量。惯量。ROrdr: 圆盘上取半径为圆盘上取半径为r宽度宽度dr的圆环的

11、圆环 作为质量元作为质量元dmmrJmRJdd22环环SmddrrRmd22rrRmrJd222rrRmRd2032221mR5. 求质量求质量 m ,半径半径 R 的球体对直径的转动惯量的球体对直径的转动惯量: 球体上取半径为球体上取半径为r厚度厚度dx 的圆盘作为质量元的圆盘作为质量元dmmrJmRJd21d2122盘盘VmddxrRmd) 34(23xxRRmxrRmJRRRRd) 34(21d) 34(21222343252mR教材教材: 球面球面 球体的求解方法球体的求解方法Rorx注意：注意： 对同轴的转动惯量才具有可加减性。对同轴的转动惯量才具有可加减性。平行轴定理平行轴定理CD

12、dm2mdJJCD正交轴定理正交轴定理yxzJJJ对平面刚体对平面刚体yxzo教材教材P.95 一些均匀刚体的转动惯量表一些均匀刚体的转动惯量表求长求长 L、质量、质量 m 的均匀杆对的均匀杆对 z 轴的转动惯量轴的转动惯量243422487ddmLllLmmlJLLz解一：解一：解三：解三：222248741214mLLmmLLmJJCz解二：解二：2224874343314431mLLmLmJJJOBOAzCA4LmBozL一一、质点角动量的时间变化率、质点角动量的时间变化率tprptrprttLdddd)(ddddprLFrtprtLvmvpvptrdddd0dd质点位矢质点位矢合力合力

13、rmFMrFrtLdd二、二、 力矩力矩FrM服服从从右右手手螺螺旋旋法法则则组组成成的的平平面面和和垂垂直直于于方方向向：大大小小：FrFrFdsin定义：定义：1、对参考点的力矩、对参考点的力矩FrtLddFdrFFrsin大小：大小：方向：方向：服从右手螺旋法则服从右手螺旋法则rFodm2、 对轴的力矩对轴的力矩FrFrFFrFrM/)(第一项第一项/1FrM方向垂直于轴，其效果是改变方向垂直于轴，其效果是改变轴的方位，在定轴问题中，与轴的方位，在定轴问题中，与轴承约束力矩平衡。轴承约束力矩平衡。第二项第二项FrMz方向平行于轴，其效果是改变绕轴转动状态，称为方向平行于轴，其效果是改变绕

14、轴转动状态，称为力对轴的矩，表为代数量：力对轴的矩，表为代数量：FrMzFromz/FFdzM轴与转动平面的交点轴与转动平面的交点O到力作用点的位矢到力作用点的位矢:r:F力在转动平面内的分量力在转动平面内的分量xyzyFxFM：kyFxFjxFzFizFyFFFFzyxkjiFrMxyzxyzzyxFrMz力对力对O点的力矩在点的力矩在z轴方向的分量轴方向的分量a. 力矩求和只能对同一参考点力矩求和只能对同一参考点(或轴或轴)进行。进行。oooMMM21zzzMMM21矢量和矢量和代数和代数和00MF00MFoFFb.FFo三三、质点系角动量的时间变化率、质点系角动量的时间变化率对对 个质点

15、个质点 组成的质点系，由组成的质点系，由NNmmm,21tLFrMdd可得可得内外内外内外NNNMMtLMMtLMMtLdddddd222111两边求和得两边求和得iiiiiiMMtLLt内外dddd于是：于是：外外iiFrMtLidd质点系质点系总总角动量的时间变化率等于质点系所受角动量的时间变化率等于质点系所受外外力矩的矢量和力矩的矢量和 (合外力矩合外力矩 )iiiiiiMMtLLt内外dddd注意：注意： 合外力矩合外力矩 是质点系所受各外力矩是质点系所受各外力矩的矢量和，而非合力的力矩。的矢量和，而非合力的力矩。外M由图可知由图可知0iiM内1212f21f1m2m1r2rdo 质量为质量为m，长为，长为L的细杆在水平粗糙桌面上绕过的细杆在水平粗糙桌面上绕过其一端的竖直轴旋转，杆与桌面间的摩擦系数为其一端的竖直轴旋转，杆与桌面间的摩擦系数为 ，求摩擦力矩。求摩擦力矩。 1) 杆的质量均匀分布杆的质量均匀分布 2) 杆的密度与离轴距离成正比杆的密度与离轴距离成正比 1)mgLrgLmrMML21dd0ozmdfdrrLmmddmgfddfrMdd：rkrrmddd设杆的线密度设杆的线密度kr220221ddLmkkLrrkmmL得得由由rrLmgmgfd2dd2frMddmgLrrLmgMML32d2d022o