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1、总结离散数学知识点第二章命题逻辑1.，前键为真，后键为假才为假；，相同为真，不同为假；2.主析取范式：极小项 (m) 之和；主合取范式：极大项(M)之积；3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为 0，求极大项时相反；4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假；5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R 的顺序依次写；6.真值表中值为 1 的项为极小项，值为0 的项为极大项；7.n 个变元共有 2n 个极小项或极大项，这2n 为(0 2n -1)刚好为化简完后的主析取加主合取；8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范

2、式；9.推证蕴含式的方法 (=) ：真值表法；分析法 (假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假)10.命题逻辑的推理演算方法：P 规则， T 规则真值表法；直接证法；归谬法；附加前提法；第三章谓词逻辑1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质；多元谓词：谓词有n 个个体，多元谓词描述个体之间的关系；2.全称量词用蕴含 ，存在量词用合取 ;3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词；第四章集合1.N ，表示自然数集， 1,2,3 ，不包括 0；2.基：集合 A 中不同元素的个数， |A|；3.幂集：给定集合 A，以集合 A 的所有子集为元素组成的集合，P(A

3、) ；4.若集合 A 有 n 个元素，幂集 P(A) 有 2n 个元素， |P(A)|= 2| A| = 2n ；5.集合的分划： (等价关系 )每一个分划都是由集合A 的几个子集构成的集合；这几个子集相交为空，相并为全(A)；6.集合的分划与覆盖的比较：分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中；覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次；第五章关系1.若集合 A 有 m 个元素，集合 B 有 n 个元素，则笛卡尔 AB 的基数为 mn，A 到 B 上可以定义 2mn 种不同的关系；2.若集合 A 有 n 个元素，则 |A A|= n2 ，A 上有 2n2 个不同的关系；3.全关系的性质

4、：自反性，对称性，传递性；空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性；全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性；4.前域 (domR) ：所有元素 x 组成的集合；后域 (ranR) ：所有元素 y 组成的集合；5.自反闭包： r(R)=RU I x ;对称闭包： s(R)=RU R-1 ;传递闭包： t(R)=RU R2 U R3 U6.等价关系：集合A 上的二元关系 R 满足自反性，对称性和传递性，则 R 称为等价关系；7.偏序关系：集合A 上的关系 R 满足自反性，反对称性和传递性，则称 R 是 A 上的一个偏序关系；8.covA=|x,y属于 A，y 盖住 x ；9.极小元：集合

5、 A 中没有比它更小的元素 (若存在可能不唯一 )；极大元：集合 A 中没有比它更大的元素 (若存在可能不唯一 )；最小元：比集合 A 中任何其他元素都小 (若存在就一定唯一 )；最大元：比集合 A 中任何其他元素都大 (若存在就一定唯一 )；10.前提： B 是 A 的子集上界： A 中的某个元素比B 中任意元素都大，称这个元素是B 的上界 (若存在，可能不唯一 )；下界： A 中的某个元素比B 中任意元素都小，称这个元素是B 的下界 (若存在，可能不唯一 )；上确界：最小的上界 (若存在就一定唯一 )；下确界：最大的下界 (若存在就一定唯一 )；第六章函数1.若|X|=m,|Y|=n, 则

6、从 X 到 Y 有 2mn 种不同的关系，有 nm 种不同的函数；22.在一个有n 个元素的集合上，可以有2n 种不同的关系，有nn 种不同的函数，有 n!种不同的双射；3.若|X|=m,|Y|=n ，且 m=n ，则从 X 到 Y 有 A mn 种不同的单射；4.单射： f:X-Y ，对任意 x1 , x2 属于 X, 且 x1 x2 ，若 f( x1 )f( x2 )；满射： f:X-Y ，对值域中任意一个元素 y 在前域中都有一个或多个元素对应；双射： f:X-Y ，若 f 既是单射又是满射，则f 是双射；5.复合函数： fog=g(f(x);6.设函数 f:A-B ，g:B-C ，那么

7、如果 f,g 都是单射，则 fog 也是单射；如果 f,g 都是满射，则 fog 也是满射；如果 f,g 都是双射，则 fog 也是双射；如果 fog 是双射，则 f 是单射， g 是满射；第七章代数系统1.二元运算：集合A 上的二元运算就是A2 到 A 的映射；2. 集合 A 上可定义的二元运算个数就是从 AA 到 A 上的映射的个数，即从从 AA 到 A 上函数的个数，若 |A|=2, 则集合 A 上的二元运算的个数为 22* 2 = 24 =16 种；3. 判断二元运算的性质方法：封闭性：运算表内只有所给元素；交换律：主对角线两边元素对称相等；幂等律：主对角线上每个元素与所在行列表头元素

8、相同；有幺元：元素所对应的行和列的元素依次与运算表的行和列相同；有零元：元素所对应的行和列的元素都与该元素相同；4.同态映射：, 满足 f(a*b)=f(a)f(b), 则 f 为由 到的同态映射；若f 是双射，则称为同构；第八章群1.广群的性质：封闭性；半群的性质：封闭性，结合律；含幺半群 (独异点 )：封闭性，结合律，有幺元；群的性质：封闭性，结合律，有幺元，有逆元；2.群没有零元；3.阿贝尔群 (交换群 )：封闭性，结合律，有幺元，有逆元，交换律；4.循环群中幺元不能是生成元；5.任何一个循环群必定是阿贝尔群；第十章格与布尔代数1.格：偏序集合 A 中任意两个元素都有上、下确界；2.格的

9、基本性质：1) 自反性aa对偶 : aa2) 反对称性ab b a= a=b对偶 :ab b a= a=b3) 传递性ab b c=ac对偶 :ab b c=ac4) 最大下界描述之一ab a对偶 avb aAb b对偶 avb b5）最大下界描述之二ca,cb=cab对偶 ca,c b=cavb6) 结合律a(bc)=(ab)c对偶 av(bvc)=(avb)vc7) 等幂律aa=a对偶ava=a8) 吸收律a(avb)=a对偶av(ab)=a9)ab ab=aavb=b10) ac,bd = ab cd avb cvd11) 保序性bc=ab acavb avc12 ） 分配不等式av(b

10、c) (avb)(avc)对偶a(bvc) (ab)v(ac)13 ）模不等式acav(bc) (avb)c3.分配格：满足 a(bvc)=(ab)v(ac) 和 av(bc)=(avb)(avc) ；4.分配格的充要条件：该格没有任何子格与钻石格或五环格同构；5.5. 链格一定是分配格，分配格必定是模格；6.全上界：集合 A 中的某个元素 a 大于等于该集合中的任何元素，则称 a 为格 A, 的全上界，记为1；(若存在则唯一 )全下界：集合A 中的某个元素b 小于等于该集合中的任何元素，则称 b 为格 A, 的全下界，记为0；(若存在则唯一 )7.有界格：有全上界和全下界的格称为有界格，即有

11、0 和 1 的格；8.补元：在有界格内，如果ab=0,avb=1 ，则 a 和 b 互为补元；9.有补格：在有界格内，每个元素都至少有一个补元；10.有补分配格 (布尔格 )：既是有补格，又是分配格；11.布尔代数：一个有补分配格称为布尔代数；第十一章图论1.邻接：两点之间有边连接，则点与点邻接；2.关联：两点之间有边连接，则这两点与边关联；3.平凡图：只有一个孤立点构成的图；4.简单图：不含平行边和环的图；5.无向完全图：n 个节点任意两个节点之间都有边相连的简单无向图；有向完全图 :n 个节点任意两个节点之间都有边相连的简单有向图；6.无向完全图有 n(n-1)/2 条边，有向完全图有n(

12、n-1) 条边；7.r- 正则图：每个节点度数均为r 的图；8.握手定理：节点度数的总和等于边的两倍；9.任何图中，度数为奇数的节点个数必定是偶数个；10.任何有向图中，所有节点入度之和等于所有节点的出度之和；11.每个节点的度数至少为2 的图必定包含一条回路；12.可达：对于图中的两个节点 vi , v j ，若存在连接 vi 到 vj 的路，则称 vi 与 v j 相互可达，也称 vi 与 v j 是连通的；在有向图中，若存在 vi 到 v j 的路，则称 vi 到 v j 可达；13.强连通：有向图章任意两节点相互可达；单向连通：图中两节点至少有一个方向可达；弱连通：无向图的连通；(弱连

13、通必定是单向连通 )14.点割集：删去图中的某些点后所得的子图不连通了，如果删去其他几个点后子图之间仍是连通的，则这些点组成的集合称为点割集；割点：如果一个点构成点割集，即删去图中的一个点后所得子图是不连通的，则该点称为割点；15.关联矩阵： M(G) ， mij 是 vi 与 ej 关联的次数，节点为行，边为列；无向图：点与边无关系关联数为0，有关系为 1，有环为 2；有向图：点与边无关系关联数为0，有关系起点为1 终点为 -1，关联矩阵的特点：无向图：行：每个节点关联的边，即节点的度；列：每条边关联的节点；有向图：所有的入度 (1)=所有的出度 (0);16.邻接矩阵： A(G) ， ai

14、j 是 vi 邻接到 v j 的边的数目，点为行，点为列；17.可达矩阵： P(G) ，至少存在一条回路的矩阵，点为行，点为列；P(G)=A(G)+ A2 (G)+ A3 (G)+ A4 (G)可达矩阵的特点：表明图中任意两节点之间是否至少存在一条路，以及在任何节点上是否存在回路；A(G) 中所有数的和：表示图中路径长度为1 的通路条数；A2 (G) 中所有数的和：表示图中路径长度为2 的通路条数；A3 (G) 中所有数的和：表示图中路径长度为3 的通路条数；A4 (G) 中所有数的和：表示图中路径长度为4 的通路条数；P(G) 中主对角线所有数的和：表示图中的回路条数；18.布尔矩阵： B(

15、G) ，vi 到 v j 有路为 1，无路则为 0，点为行，点为列；19.代价矩阵：邻接矩阵元素为1 的用权值表示，为0 的用无穷大表示，节点自身到自身的权值为0；20.生成树：只访问每个节点一次，经过的节点和边构成的子图；21.构造生成树的两种方法：深度优先；广度优先；深度优先：选定起始点v0 ；选择一个与v0 邻接且未被访问过的节点v1 ；从 v1 出发按邻接方向继续访问，当遇到一个节点所有邻接点均已被访问时， 回到该节点的前一个点， 再寻求未被访问过的邻接点，直到所有节点都被访问过一次；广度优先：选定起始点 v0 ；访问与 v0 邻接的所有节点v1 , v2 , vk ,这些作为第一层节

16、点；在第一层节点中选定一个节点v1 为起点；重复，直到所有节点都被访问过一次；22.最小生成树：具有最小权值(T) 的生成树；23.构造最小生成树的三种方法：克鲁斯卡尔方法；管梅谷算法；普利姆算法；（1）克鲁斯卡尔方法将所有权值按从小到大排列；先画权值最小的边，然后去掉其边值；重新按小到大排序；再画权值最小的边，若最小的边有几条相同的，选择时要满足不能出现回路，然后去掉其边值；重新按小到大排序；重复，直到所有节点都被访问过一次；（2）管梅谷算法 (破圈法 )在图中取一回路，去掉回路中最大权值的边得一子图；在子图中再取一回路， 去掉回路中最大权值的边再得一子图；重复，直到所有节点都被访问过一次；

17、（3）普利姆算法在图中任取一点为起点v1 ，连接边值最小的邻接点v2 ；以邻接点 v2 为起点，找到v2 邻接的最小边值，如果最小边值比 v1 邻接的所有边值都小 (除已连接的边值 )，直接连接，否则退回 v1 ，连接 v1 现在的最小边值 (除已连接的边值 )；重复操作，直到所有节点都被访问过一次；24.关键路径例 2 求 PERT 图中各顶点的最早完成时间 , 最晚完成时间 , 缓冲时间及关键路径 .解：最早完成时间TE(v1)=0TE(v2)=max0+1=1TE(v3)=max0+2,1+0=2TE(v4)=max0+3,2+2=4TE(v5)=max1+3,4+4=8TE(v6)=m

18、ax2+4,8+1=9TE(v7)=max1+4,2+4=6TE(v8)=max9+1,6+6=12最晚完成时间TL(v8)=12TL(v7)=min12-6=6TL(v6)=min12-1=11TL(v5)=min11-1=10TL(v4)=min10-4=6TL(v3)=min6-2,11-4,6-4=2TL(v2)=min2-0,10-3,6-4=2TL(v1)=min2-1,2-2,6-3=0缓冲时间TS(v1)=0-0=0TS(v2)=2-1=1TS(v3)=2-2=0TS(v4)=6-4=2TS(v5=10-8=2TS(v6)=11-9=2TS(v7)=6-6=0TS(v8)=12

19、-12=0关键路径 :v1-v3-v7-v825.欧拉路：经过图中每条边一次且仅一次的通路；欧拉回路：经过图中每条边一次且仅一次的回路；欧拉图：具有欧拉回路的图；单向欧拉路：经过有向图中每条边一次且仅一次的单向路；欧拉单向回路：经过有向图中每条边一次且仅一次的单向回路；26.（1）无向图中存在欧拉路的充要条件：连通图；有 0 个或 2 个奇数度节点；（2）无向图中存在欧拉回路的充要条件：连通图；所有节点度数均为偶数；（3）连通有向图含有单向欧拉路的充要条件：除两个节点外，每个节点入度=出度；这两个节点中， 一个节点的入度比出度多1，另一个节点的入；度比出度少 1；（ 4）连通有向图含有单向欧拉回路的充要条件：图中每个节点的出度 =入度；27.哈密顿路：经过图中每个节点一次且仅一次的通路；哈密顿回路：经过图中每个节点一次且仅一次的回路；哈密顿图：具有哈密顿回路的图；28.判定哈密顿图（没有充要条件）必要条件：任意去掉图中 n 个节点及关联