2021届高三数学每天一练半小时(56)向量法求解立体几何问题

1、训练目标会用空间向量解决立体几何的证明、求空间角、求距离问题训练题型(1)用空间向量证明平行与垂直；(2)用空间向量求空间角；(3)求长度与距离解题策略(1)选择适当的空间坐标系；(2)求出相关点的坐标，用坐标表示直线的方向向量及平面的法向量；(3)理解并记住用向量表示的空间角和距离的求解公式；(4)探索性问题，可利用共线关系设变量，引入参数，列方程求解.1.(2021吉林实验中学质检)如图，矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB，且ABBP2，ADAE1，AEAB，且AEBP.(1)设点M为棱PD的中点，求证：EM平面ABCD；(2)线段PD上是否存在一点N，使得直线B

2、N与平面PCD所成角的正弦值为？假设存在，试确定点N的位置；假设不存在，请说明理由2(2021上饶月考)如下图，正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是线段EF的中点求证：(1)AM平面BDE；(2)AM平面BDF.3.(2021南昌月考)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，B1BB1AABBC，B1BC90，D为AC的中点，ABB1D.(1)求证：平面ABB1A1平面ABC；(2)在线段CC1(不含端点)上，是否存在点E，使得二面角EB1DB的余弦值为？假设存在，求出的值；假设不存在，说明理由4(2021太原质检)如下图，该几何体是由一个直三棱柱ADEBCF和一个正

3、四棱锥PABCD组合而成的，ADAF，AEAD2.(1)证明：平面PAD平面ABFE；(2)求正四棱锥PABCD的高h，使得二面角CAFP的余弦值是.答案精析1(1)证明因为平面ABCD平面ABPE，且BCAB，所以BC平面ABPE，所以BA，BP，BC两两垂直以B为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如下图的空间直角坐标系，那么P(0,2,0)，D(2,0,1)，M，E(2,1,0)，C(0,0,1)，所以.易知平面ABCD的一个法向量为n(0,1,0)，所以n(0,1,0)0，所以n.又EM平面ABCD，所以EM平面ABCD.(2)解当点N与点D重合时，直线BN与平面PCD所成

4、角的正弦值为.理由如下：因为(2，2,1)，(2,0,0)，设平面PCD的法向量为n1(x1，y1，z1)，由得取y11，得平面PCD的一个法向量为n1(0,1,2)假设线段PD上存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值为.设(01)，那么(2，2,1)(2，2，)，(2，22，)所以sin |cos，n1|.所以92845，解得1或(舍去)因此，线段PD上存在一点N，当N点与D点重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值为.2证明(1)建立如下图的空间直角坐标系，设ACBDN，连接NE，那么点N，E的坐标分别为(，0)，(0,0,1)所以(，1)又点A，M的坐标分别是(，0)，(，

5、1)，所以(，1)所以，且NE与AM不共线所以NEAM.又因为NE平面BDE，AM平面BDE，所以AM平面BDE.(2)由(1)知(，1)，因为D(，0,0)，F(，1)，所以(0，1)所以0，所以，所以AMDF，同理AMBF，又DFBFF，DF平面BDF，BF平面BDF，所以AM平面BDF.3(1)证明取AB的中点O，连接OD，OB1.因为B1BB1A，所以OB1AB.又ABB1D，OB1B1DB1，OB1平面B1OD，B1D平面B1OD，所以AB平面B1OD，因为OD平面B1OD，所以ABOD.由条件知，BCBB1，又ODBC，所以ODBB1.因为ABBB1B，AB平面ABB1A1，BB1

6、平面ABB1A1，所以OD平面ABB1A1.因为OD平面ABC，所以平面ABB1A1平面ABC.(2)解由(1)知OB，OD，OB1两两垂直，所以以O为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，|为单位长度1，建立如下图的空间直角坐标系，连接B1C.由题设知，B1(0,0，)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(1,0,0)，C(1,2,0)，C1(0,2，)，(0,1，)，(1,0，)，(1,0，)，(1,2，)，设(01)，由(1，2，(1)，设平面BB1D的法向量为m(x1，y1，z1)，那么得令z11，那么x1y1，所以平面BB1D的法向量为m(，1)设平面B1DE的法向量为

7、n(x2，y2，z2)，那么得令z21，那么x2，y2，所以平面B1DE的一个法向量n(，1)设二面角EB1DB的大小为，那么cos.解得.所以在线段CC1上存在点E，使得二面角EB1DB的余弦值为，此时.4(1)证明在直三棱柱ADEBCF中，AB平面ADE，AD平面ADE，所以ABAD.又ADAF，ABAFA，ADAFA，AB平面ABFE，AF平面ABFE，所以AD平面ABFE.因为AD平面PAD，所以平面PAD平面ABFE.(2)解由(1)知AD平面ABFE，以A为原点，AB，AE，AD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设h为点P到平面ABCD的距离那么A(0,0,0)，F(2,2,0)，C(2,0,2)，P(1，h,1)，(2,2,0)，(2,0,2)，(1，h,1)设平面AFC的一个法向量为m(x1，y1，