史瓦西时空中自由粒子的运动方程

1、第 30 卷第 7 期2011 年 7 月大 学 物 理college physicsvol 30 no 7july 2011史瓦西时空中自由粒子的运动方程牛振风1 ，刘文彪2( 1 河北北方学院理学院 物理系，河北 张家口 075000; 2 北京师范大学 物理系，北京师范大学 理论物理研究所，北京 100875)摘要: 直接求解史瓦西时空中自由粒子的测地线方程，得出粒子运动方程的一般常见形式 此方法与一般教材中根据史瓦西度规的静态球对称性以及四速归一条件得出的运动方程完全相同 此方法物理意义更清晰、明确，同时对理解弯曲时空 中的测地线方程具有重要意义关键词: 史瓦西时空; 测地线方程; 弯

2、曲时空中的运动方程; 水星进动; 光线偏折中图分类号: o 412 1文献标识码: a文章编号: 1000-0712( 2011) 07-0019-041915 年爱因斯坦发表了广义相对论，其核心就是反映物质的能量 动量张量如何决定时空曲率的 爱因斯坦场方程，它是广义相对论的基本方程 1916 年数学家、天文学家史瓦西精确求出了场方程的第 一个严格解静态球对称真空 解1，称 为 史 瓦 西解 爱因斯坦提出广义相对论的同时，就预言了验证 广义相对论的 3 大实验引力红移、光线偏折、水星近日点进动 这 3 大实验验证全部是用史瓦西解 算出理论结果，进而和实验观测数据进行比较，最终 才使得广义相对论

3、的正确性得以完全确立下来广义相对论 3 大实验验证中的两个水星近日点进动和光线偏折，其理论计算的基础均是自由 粒子在史瓦西时空中的运动 方 程，而自由粒子在史 瓦西时空中的运动方程在多数广义相对论教材中都是依据史瓦西度规的静态球对称性给出两个守恒量以及进一步 根 据 四 速归一条件得到 的2-4 本 文 将 采用直接求解史瓦西时空中自由粒子的 测 地 线 方 程，得出对应的常见形式的运动方程 自 然，此 方 法 与前一种方法得到的结果应 该 完 全 相 同 但 从 测 地 线方程出发，其物理意义更加简单、明 确，因 为 弯 曲 时空中自由粒子的运动方程就是测地线方程 此 方 法在教材中很少被采

4、用的原因是求解测地线方程比 较复杂，不如利用对称性直接得到运动方程的第一 积分来得简单 但通过测地线方程直接求解，一方面 可以加深对测地线的理解，同时使得学生在理解水 星进动和光线偏折计算的物理概念更加具体、清晰 因此我们建议，如果条件允许，可以把此内容作为给 出史瓦西时空中自由粒子运动方程的补充知识介绍给学生1自由粒子的拉氏量和测地线方程弯曲时空 自 由 粒 子 ( 质 点 或 光 子 ) 变 分 原 理 可写为3 1 ( d )2d = 0( 1)2 d其中 表示固有时间， 为标量型参量 此时的拉氏量为2l = 1 ( d )= 1dx dx1 d = 2 g x x ( 2)2 g dd

5、2对于光子， 不能取做 ，ds2 = d2 = 0，则 l = 0，对1于 质 点， 可 取 做 ，则定 义l = 2 =1，0，( 光子)( 质点)则 l = 2 把式( 2) 代入拉格朗日方程ldlxd = 0( 3) x可导出测地线方程d2 xdx dx( 4)+ dd = 0d22由守恒量以及四速归一条件得出运动方程一般在广义相 对 论 教 材 中，史瓦西时空中自由 粒子的运动方程都是依据其度规的静态球对称性给出两个守恒量以及进一步根据四速归一 条 件 得 到 的2-4 为了和后面的 方 法 对 比，下面把这种方法作 一简单介绍收稿日期: 2010 12 21; 修回日期: 2011

6、01 17基金项目: 国家自然科学基金( 10773002，10875012) 和北京师范大学科研基金( 105116) 资助项目作者简介: 牛振风( 1973) ，女，河北阜城人，河北北方学院理学院物理系副教授，硕士，主要从事广义相对论及黑洞的研究及教学工作史瓦西时空线元3由测地线方程得出运动方程由式( 5) ，史瓦西度规的协变分量为 1ds2 = ( 1 2m) dt2 + ( 1 2m)dr2 + r2 ( d2 + sin2rrd2 )取 c = g = 1 的自然单位制在史瓦西时空中，拉氏量( 5) 1g00 = ( 1 )， g11 = ( 1 2 m2 m)，rr222 g22

7、= r ， g33 = r sin( 17)对应的不为零的逆变度规分量为l = 1 ( 1 2m)t2 ( 1 2m) 1r2 r2 2 r2 sin2 2 ( 6) 12rr()2 m2m0011， g = 1 ，g = 1 rrg22 = 11因为史瓦西度规是静态球对称的，所以有2 ，33( 18)g =22rr sin llt = 0， = 0( 7)1由 = g ( g+ g g) 可得克氏符，2由拉格朗 日 方 程 ( 3) 可 知，存在两个守恒量，坐 标能量的非零分量为 m m e = l = ( 1 2m) dt00= r( r 2m) ，111= r( r 2m) ， = (

8、8)1001trd= m( r 2m) ，11= ( r 2m) ，和坐标角动量00r322l槇 = l = r2 sin2 d( 9) 1 1= ( r 2m) sin2 ，2= 2= ，d331221r由拉格朗日方程 ( 3) 及 式 ( 6) 还可以得到关于 的方程 1 23333 = sin cos ，r13 = 31 =r2 + 2rr r2 2 sin cos = 0( 10)3323 = 32 = cot ( 19)若适当地选取坐标使粒子的初始条件满足 0 = 2 ，把式( 19) 代入测地线方程( 4) ，可得0 = 0，则必有 0 = 0，可见粒子将一直保持在赤道面内运动，因

9、此恒有d2 t2mdt dr( 20)d2 + r( r 2m)d d = 0 = ， = d = 0d2 r22( dr )+ m( r 2m)()mdt( 11)d2 r( r 2m) d2将上式代入式( 9) 可得dr3d22( r 2m) ( d ) ( r 2m) sin2 ( d )( 21)= 0dddl槇 = r2 d( 12)d2d2 2 dr sin cos ()dd( 22)2 += 0在史瓦西时空中利用四速归一条件 g = ，可得 rd ddd2 2 drdd d( 23)2 +d d + 2cot d d = 0rd( 1 2m) ( dt )2 ( 1 2m) 12

10、( dr ) r2 ( d )2= ( 13)rdrdd若适当地 选 取 坐 标 使 方 程 ( 22) 满 足 初 始 条 件 0 = ，0 = 0，则其解为62把式( 8) 、( 12) 和式( 13) 整理后可得，史瓦西时空中粒子的运动方程为: = ，d = 0( 24)2利用上式，方程( 23) 转化为d 1 dtd = e( 1 2 m)( 14)rd2 2 drd( 25)= e2 ( 1 2m) ( + l槇 )+= 02( dr )2d2r d d( 15)2drr由上式可看出d可看作仅是 r 的函数，所以可令 dl槇d= f( r) ，于是方程( 25) 可写为dd( 16)

11、d = r2第 7 期牛振风，等: 史瓦西时空中自由粒子的运动方程21df( r)至此，我们有dr2drdf( r)( 26)d += 0drrl槇2= ( d )2 e = ( 1 ) ( +2 ) dr2 m222消去 dr ，得p ( r) errd( 36)由式( 28) 、( 30) 和式( 36) 可得史瓦西时空中自 由粒子的全部运动方程为:df( r) 2 + r f( r) = 0( 27)dr解上式，可得d = e( 1 2 m) 1 dt= d = l槇( 37)rf( r)( 28)r2dl槇2 2 ( dr )= e2 ( 1 2m) ( +r2)其中 l槇 为积分常数

12、由方程( 20) 可看出 dt 也可看作只是 r 的函数，( 38)dr槇d l dd = r2( 39)令 dtd = h( r) ，代入方程( 20) ，得由式( 37) 式( 39) ，可得= ( 1 )e ( 1 ) 22m2mdh( r)2m 2g + r( r 2m) h( r)( 29)= 0rrdr解得l槇2 ) l槇(12m)(2m) (e2 1 + +r21 = ( 40) 1h( r) = dt = e( 1 2m)2r2rrr( 30)dr这里的 刚好满足 = 1，0，( 光子)( 质点)其中 e 为积分常数把式( 28) 和式( 30) 代入方程( 21) ，得可见，

13、依据史瓦西度规的静态球对称性和直接 从测地线方程两种方法求得的史瓦西时空中的自由 粒子的运动方程是完全一样 的 而用测地线方程直 接求解，物理意义更明确，更能体现弯曲时空中自由 粒子的运动方程就是测地线方程的物理概念，对 于 学生理解测地线方程是十分有帮助的 另外，由于史 瓦西时空中的运动方程对计算水星进动和光线偏折 是重要的基础，因此在导出运动方程时采用测地线 方程直接计算更能引发学生对引力的几何本质的理 解、认识和思考l槇22d2 r( r 2m) ( d )d2 r m drme2+ r( r 2m) ( r 2m)= 0r4( 31)2令 drd rdp( r)dp( r)drd =

14、p ( r) ，则 d2d = p ( r)=ddrdp( r) ，所以方程( 31) 可化为drdp2 ( r)l槇22m22dr r( r 2m) p ( r) e = 2( r 2m)r4( 32)参考文献:令 p2 ( r) e2 = q( r) ，则得l槇21王永久 广义相对论和宇宙学m 长沙: 湖 南 科 技 出版社，2000刘辽，赵峥 广 义 相 对 论m 2 版 北 京: 高 等 教 育 出 版社，2004: 155-156赵峥，刘文彪 广义相对论基础m 北京: 清华大学出 版社，2010俞永强 广义相对论引论m 2 版 北京: 北京大学出 版社，1997: 87-89刘辽，赵

15、峥，田贵花，等 黑洞与时间的性质m 北京: 北京大学出版社，2008: 15梁灿彬 微分几何入门与广义相对论 ( 上 册) m 科 学出版社，2000: 222-223dq( r) 2 m dr r( r 2m) q( r)= 2( r 2m)r4( 33)2先解方程dq( r)2mdr r( r 2m) q( r)( 34)= 03其解为 q( r) = ( 1 2m)c，c 为积分常数 把 q( r)=4r( 1 2 m)c( r) 代入方程( 34) ，得5rl槇2c( r) = ( 35) 6r2其中 为积分常数the kinematics equations of a free pa

16、rticle in the schwarzschild space timeniu zhen-feng，liu wen-biao( 1 departent of physics，college of science，hebei north university，zhangjiakou，hebei 07500，china;2 department of physics and institute of theoretical physics，beijing normal university，beijing 100875，china)abstract: the usual form kinema

17、tics equations of a free particle are obtained via directly solving the geodesicsequations in the schwarzschild space time comparing with the method in some text books，where the kinematics e- quations are given by the spherical symmetry of space time and normalized four velocity，the results are com-

18、 pletely same however，the geodesics method is more physical，and it is useful and meaningful to understand geo- desics equations in a curved space timekey words: schwarzschild space time; geodesics equations; kinematics equations in a curved space time;mercury precession; deflection of light( 上接 4 页)

19、a v = i dv，: v( x) 绝对连续，v( x) l ( 0，1) ，自伴算符与厄米算符是否完全等价? 换言之，自伴算符是否一定厄米? 厄 米 算 符是否一定自伴?这里又涉及厄米算符的定义: 若d36a 2dxa 也不是自伴算符考虑到以上的几种情形中，算符 a 之所以不自伴，原因只是 da da 所以适当规定算符 a与 a的定义域，a i d 就可以是自伴的 一 种 做 法 就 是v，a u=a v，u，u，vdadx缩小算符 a 及 a 的定义域，例如限制到上面求得的da 与 da 的公共区域内，即则称 a 厄米 对照自伴算符的定义，我们就看到:1) 自伴算符一定厄米2)厄米算符不一定自伴 例如上面提到的da :da :u( x) 绝对连续，u( x) l2( 0，1) ，u( 0)v( x) 绝对连续，v( x) l2( 0，1) ，v( 0)= u( 1) =0，= v( 1) =0，a ui du， d : u( x) 绝对连续，u( x) l ( 0，1) ，a2dxu( 0) = u( 1)则 a 就是自 伴 的 还有另一种选择，即 将 算 符 a义在 l2 ( 0，1) 的另一类子空间上:定= 0，它不是自伴的，然而却是厄米的进一步的结论是:3) 有界的厄米算符一定自伴a ui du， d : u( x) 绝对连续，u(