数值分析习题

1、习题11. 填空题(1) 为便于算法在计算机上实现，必须将一个数学问题分解为 的运算;(2) 在数值计算中为避免损失有效数字，尽量避免两个 数作减法运算；为避免误差的扩大，也尽量避免分母的绝对值 分子的绝对值；(3) 误差有四大来源，数值分析主要处理其中的 和；(4) 有效数字越多,相对误差越；2. 用例1.4的算法计算 10 ,迭代3次,计算结果保留4位有效数字.3. 推导开平方运算的误差限公式，并说明什么情况下结果误差不大于自变量误差4. 以下各数都是对准确值进行四舍五入得到的近似数，指出它们的有效数位、误差限和相对误差限.x10.3040,x25.1109,x3400,x40.00334

2、6,x50.875 10 55. 证明1.2.3之定理1.1.6. 若钢珠的的直径 d的相对误差为1.0%,则它的体积 V的相对误差将为多少。(假定钢珠为 标准的球形)7. 若跑道长的测量有 0.1%的误差，对400m成绩为60s的运动员的成绩将会带来多大的误差 和相对误差.8. 为使.20的近似数相对误差小于0.05%,试问该保留几位有效数字.9. 一个园柱体的工件，直径d为10.25 0.25mm,高h为40.00 1.00mm,则它的体积 V的近似值、 误差和相对误差为多少.10证明对一元函数运算有r( f(X) k| r(X),其中 k1I f(x)并求出f(x) ta nx,x 1.

3、57时的k值，从而说明f(x) tanx在x 一时是病态问题.211. 定义多元函数运算nnSCiXi,其中Ci1, (Xi)i 1i 1求出(S)的表达式，并说明c全为正数时，计算是稳定的，q有正有负时，误差难以控制.12. 下列各式应如何改进，使计算更准确：(1) yy11 x1 2x 1 x(xQX X / X，(X1)y(4) y1-cos2xx(x0p, (p o,q o,pq)(A) cond2( A) 习题21. 填空题(1) Gauss消元法求解线性方程组的的过程中若主元素为零会发生 ;.主元素的绝对值太小会发生 ;(2) Gauss消元法求解线性方程组的计算工作量以乘除法次数

4、计大约为.平方根法求解对称正定线性方程组的计算工作量以乘除法次数计大约为;(3) 直接LU分解法解线性方程组时的计算量以乘除法计为 ,追赶法解对角占优的三对角方程组时的计算量以乘除法计为 ；(4) a 0 2,A1t 0 A 0 11，t 1 (A)(6) A b ,c b a 0(A)c2. 用Gauss消元法求解下列方程组 Ax b1 111(1) A122 ,b 05(2)2 1113用列主元消元法解下列方程组Axb.32 64(1) A 107 0 ,b751 564.用Gauss Jordan消元法求:4321134321A2343 ,b1123410201022322A430J1b

5、7616561211111005.用直接LU分解方法求1题中两个矩阵的LU分解，并求解此6.用平方根法解方程组 Axb3 214A2 21 ,b31 1167.用追赶法解三对角方程组Ax b210001121000A 01210 , b00012100001201&证明：(1) 单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵.(2) 两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵.1 1 19.由 LL1 L2Ln 1 ,(见(2.18)式)，证明：方程组.1l21 1l3113211In1 In2ln3ln,n 1110.证明向量范数有下列等价性质：(1) lX2 X1n x2(2) xx1 n x x|x：2

6、n x11.求下列矩阵的A1, A2, A ,A.513131 A;2 A1102 .1232612.求 cond2 A100 991 A9998cossinsincos13. 证明:(1)若A是正交矩阵，即AtAI ,则 cond2 A1;(2)若A是对称正定阵,1是A的最大特征值,n是最小特征值，则1cond2 An习题31.填空题：(1) 当A具有严格对角线优势或具有对角优势且 时，线性方程组Ax=b用Jacobi迭代法和Gauss Seidel迭代法均收敛；(2) 当线性方程组的系数矩阵A对称正定时，迭代法收敛(3) 线性方程组迭代法收敛的充分必要条件是迭代矩阵的 小于1; SOR法收

7、敛的必要条件是;(4) 用迭代法求解线性方程组，若q =(B), q时不收敛，q接近时收敛较快,q接近时收敛较慢；(5)11厂厂A, BJ ; BS ;BJ ;bs .1 22 .用Jacobi迭代法和 Gauss Seidel迭代法求解方程组210%38(1) 121X25 ;(2) 1012X341各分量第二位稳定即可停止.3.用SOR法解方程组，取0.9，与取321573257521(1) 132 ;1124.下面是一些方程组的系数阵，试判断它们对 性11x1151x21614 X371 (即 Gauss-Seidel 法)作比较.x-i5x213 .X33Jacobi迭代法，Gauss

8、-Seidel迭代法的收敛1 2;3 2210 0212121 0 ；(3)121 ；(4);012 1212001 25111112121101111(5) d;(6)212 115112121111105.方程组a11a12X1bJa11 0,a22 0a21a22X2b26设ra12a211 .an a221aaA a1a,a为实数;aa1证明用Jacobi迭代法收敛的充要条件是:(1) 若A正定，a的取值范围；(2) 若Jacobi迭代法收敛，a的取值范围.习题41.填空题：(1) 幕法主要用于求一般矩阵的 特征值，Jacobi旋转法用于求对称矩阵的特征值；(2) 古典的Jacobi法

9、是选择 的一对元素将其消为零；(3) QR方法用于求矩阵的全部特征值，反幕法加上原点平移用于一个近似特征值的和求出对应的.2 用幕法求矩阵.6 2 14140 2 3 1 ,51301 1 1102按模最大的特征值和对应的特征向量，精确到小数三位.111113.已知:A11921213取t =15,作原点平移的幕法，求按模最大特征值.4144. A11014110用反幕法加原点平移求最接近12的特征值与相应的特征向量，迭代三次.5若A的特征值为1, 2, , n,t是一实数，证明： i t是A tI的特征值，且特征向量&设020332不变.TT6.已知x3,2,1求平面反射阵H使y Hx 0,

10、*, 0 ，即使x的1, 3两个分量化零1327. A331216试用Jacobi旋转法求作一次旋转，消去最大的非对角元，写出旋转矩阵，求出0角和结果.已知 是T1的特征值，相应的特征向量为T81,82,33 ，证明 也是T的特征值，相应的特征向量为 31,82,83,0,0 T .9. 证明定理4.5 .10. 证明(4. 21)中的As和As 1相似.习题51填空题(1) 用二分法求方程X3 x 10在0,1内的根，迭代一次后，根的存在区间为，迭代两次后根的存在区间为 ;(2) 设f (x)可微，则求方程 x f (x)根的Newt on迭代格式为 ;(3) (x) x C(x2 5)，若

11、要使迭代格式 Xk1(xj局部收敛到-5，则C取值范围为;(4) 用迭代格式Xk 1 Xkkf(Xk)求解方程f (x) x3 x2 x 1 0的根，要使迭代序列xj是二阶收敛，则k=；(5)迭代格式Xk 12Xk收敛于根=，此迭代格式是3 Xk阶收敛的.2.证明Newt on迭代格式(5.10)满足limk2f ()3. 方程x3 9x218x 6 0, x 0,)的根全正实根，试用逐次扫描法(h=1),的全部实根的存在区间，并用二分法求出最大实根，精确到0.01 .4. 用二分法求下列方程的根，精度0.001.(1) x3 x 4 0x 2, 1(2) ex 10x 20x 0,1找出它5

12、.用迭代法求x3 2x 50的正根，简略判断以下三种迭代格式:(1)3XkXk 1Xk 132Xk 5在x02附近的收敛情况，并选择收敛的方法求此根.精度10 4.6. 方程x e(1) 证明它在(0,1)区间有且只有一个实根；(2) 证明Xk 1 e Xk ,k 0,1,，在(0,1)区间内收敛;(3) 用Newton迭代法求出此根，精确到5位有效数字.(1) Newt on 法(X。 2) ; (2)害熾法(X。2必1.9)求其根.精度10 47. 对方程X3 3x 10 ,分别用&用迭代法求下列方程的最小正根5(1) x 4x 20 ；(2) 2tanx x 0 ；(3) x 2sin

13、x9.设有方程3x2 ex 0(1) 以h 1，找出根的全部存在区间；(2) 验证在区间0,1上Newt on法的区间收敛定理条件不成立；(3) 验证取X)0.21,用Newton法不收敛；(4) 用Newton下山法，取x0 0.21求出根的近似值，精度1010.分别用Jacobi法，Gauss Seidel法求解非线性方程组x 2y 3 02x2 y2 5 0在(1.5,0.7)附近的根，精确到10 4 .11. 分别用Newton法，简化Newton法求解非线性方程组sinx cosy 0x y 1在(0,1)附近的根，精确到10 4.习题61. 填空题(1) 设 f(x) x5 x3

14、x 1，则 f0,1, f0,1,2 =f0,1,2,3,4,5 =.； f 0,123,4,5,6.(2) 设l(x), h(x)，川,I n(x)是以节点0,1,2，,n的Lagrange插值基函数，则nnjlj(x) ; jlj(k) .j 0j 0(3) 设 f(0)0, f(1) 16, f (2)46,则f0,1, f0,1,2,f (x)的二次 Newt on 插值多项式为 x22.已知函数f(x) e的数据如下Xi-0.6-0.4-0.200.20.40.6f(Xi)0.6976760.8521140.96078910.9607890.8521140.697676试用二次，三次

15、插值计算 x =0.35, x=0.55的近似函数值，使其精度尽量地高.3.利用sinx在x 0,，一，及 处的值，求sin的近似值，并估计误差.6 4 3254. 利用数据Xi00.20.40.60.81.0f (Xi)00.199560.396460.588130.772100.94608计算积分f(x)x sin t0dt,当f(x)=0.45时的x的取值5. 试用Newt on插值求经过点(-3,-1),(0,2),(3,-2),(6,10)的三次插值多项式.6 求满足P(x。) f(X0),P(X!)f(xj及P(x。)f(x。)的次数不超过 2次的插值多项式P(x)，并给出其误差表

16、达式.7.设Xj是互异节点，lj(x)是Lagrange插值基函数(j 0,1,2, ,n),证明n(1) lj(x) 1；j 0n xkl j(x) xk (k 0,1,2, ,n)；j 0nk(Xjx) lj(x)0(k 0,1,2, ,n).j 0&设有如下数据f (0)1, f (0)0.5, f (1)2, f (1)0.510.已知函数f(x)的数据表Xi0.00.20.40.60.8f (Xi)1.00001.221401.491821.822122.22554分别用Newton向前插值公式和向后插值公式求x =0.05 , x =0.42 , x =0.75的近似值.511.

17、对函数f(x) sinx进行分段线性插值，要求误差不超过0.5 10 ，问步长h应如何 选取.12. 设有数据Xi0.250.300.390.450.53f (Xi)0.50000.54770.62450.67080.7280用三转角插值法求满足下述条件的三次样条插值函数(1) S (0.25) 1.0000 , S(0.53) 0.6868 S (0.25)2 , S (0.53) 0.647913.证明定理6.6.习题81 填空题Aj f (Xj)的代数精度至少 j 0b(1) n 1个点的插值型数值积分公式 f(x)dxa是，最高不超过 (2) 梯形公式有 次代数精度，Simpson公式

18、有次代数精度.hh(3) 求 积公式 f(x)dx f (0) f (h)h2f (0) f (h)中的参数 =(1)0 f(x)dxAf(0)A1f (h)A2f (2h)11f(x)dxAf( 1)2f(xJ3f(X2)11f (x)dxAJ( 1)A2f11AJ3311f(x)dxA f (xjA2f(0)A3f(1)20 f(x)dxf(xj fg)分别利用复化梯形公式，复化Simps on公式，复化(1)1 x2 dx0 4 x2(n =8)- xdx0(n =10)1 2e x dx0(n =10)6 4 sin20xdx (n =：6)时，才能保证该求积公式的代数精度达到最高，最

19、高代数精度为.2 确定下列求积公式的求积系数和求积节点，使其代数精度尽量高，并指出其最高代数精 度.2hCotes公式计算下列积分3.(n=8)Tsin x2 dx0 x4. 用Romberg公式计算积分2 1 x25(1)0e dx(精度要求10 )4 4一.1 cos xdx05.分别取节点数为 2，3,4 _J4厂5(精度要求10 )6 利用4利用Gauss Legendre求积公式计算积分1 X宀、3 1e dx ,(3)- dx01 xGauss型求积公式，分别取节点数2, 3, 4计算积分e % .1 x2dx2dx，x7.用节点数为 4的Gauss Laguerre求积公式和 G

20、auss Hermite求积公式计算积分2x dx的近似值，并与准确值I 作比较.2&分别用两点公式与三点公式求f (x) 在x=1.0，x=1.2的导数值，并估计误差,(1 x)其中f (x)的数据由下表给出Xi1.01.11.21.3f(Xi)0.25000.22680.20660.18909.已知f(x) e x的数据如下Xi2.52.62.72.82.9f(Xi)12.182513.463714.879716.444618.1741取h=0.1, h=0.2,分别用二点、三点公式计算x=2.7处的一阶和二阶导数值.习题91.填空题(1) 解初值问题的 Euler法是阶方法，梯形方法是 阶方法，标准 R K方法是阶方法.(2) 解初值问题y(x) 20(x y), y(0) 1时，为保证计算的稳定性，若用经典的四阶 RK方法，步长0 h .采用Eule