传热学第042cq

1、2021-9-221煤燃烧国家重点实验室煤燃烧国家重点实验室能源与动力工程学院能源与动力工程学院华中科技大学华中科技大学2021-9-2224-1 对流换热概述对流换热概述4-2 层流流动换热的微分方程组层流流动换热的微分方程组4-3 对流换热过程的相似理论对流换热过程的相似理论4-4 边界层理论边界层理论4-5 紊流流动换热紊流流动换热2021-9-223由于对流换热是复杂的热量交换过程，所涉由于对流换热是复杂的热量交换过程，所涉及的变量参数比较多，常常给分析求解和实及的变量参数比较多，常常给分析求解和实验研究带来困难。验研究带来困难。人们常采用相似原则对换热过程的参数进行人们常采用相似原则

2、对换热过程的参数进行归类处理，将归类处理，将物性量物性量，几何量几何量和和过程量过程量按物按物理过程的特征组合成无量纲的数，这些数常理过程的特征组合成无量纲的数，这些数常称为准则称为准则2021-9-2241 无量纲形式的对流换热微分方程组无量纲形式的对流换热微分方程组 首先选取对流换热过程中有关变量的特征值，首先选取对流换热过程中有关变量的特征值，将所有变量无量纲化，进而导出将所有变量无量纲化，进而导出无量纲形式无量纲形式的对流换热微分方程组的对流换热微分方程组。出现在无量纲方程组中的出现在无量纲方程组中的系数项系数项就是我们所就是我们所需要无量纲数（或称：无因次数），也就是需要无量纲数（或

3、称：无因次数），也就是无量纲准则，它们是变量特征值和物性量的无量纲准则，它们是变量特征值和物性量的某种组合。某种组合。流场中的任一无量纲变量均可表示为其余无流场中的任一无量纲变量均可表示为其余无量纲变量和无量纲准则的函数形式。量纲变量和无量纲准则的函数形式。 2021-9-225y u tPin Pout0 L x以流体流过平板以流体流过平板的对流换热问题的对流换热问题为例来进行换热为例来进行换热过程的相似分析。过程的相似分析。 流体平行流过平板的对流换热过程如图所示，流体平行流过平板的对流换热过程如图所示，来流速度为来流速度为u，来流温度，来流温度t，平板长度，平板长度L, 平平板温度板温度

4、tW ，流体流过平板的压力降为，流体流过平板的压力降为 p。如果为二维、稳态、流体物性为常数，且忽如果为二维、稳态、流体物性为常数，且忽略黏性耗散项和体积力项，按图中所示的坐略黏性耗散项和体积力项，按图中所示的坐标流场的支配方程为标流场的支配方程为 2021-9-226y u tPin Pout0 L x2222ytxtytvxtutcp)()()22222222yvxvypFyvvxvuvyuxuxpFyuvxuuuyx（xu0yv 0nntth2021-9-227y u tPin Pout0 L x今选取板长今选取板长L，来，来流流速流流速u，温度差，温度差t=tw-t 和压力降和压力降

5、p=pin-pout为变量的为变量的特征值特征值;/;/uvvuuu用这些无量纲变量去取代方程组中的相应用这些无量纲变量去取代方程组中的相应变量，可得出无量纲变量组成的方程组。变量，可得出无量纲变量组成的方程组。 ;/;/LyyLxx;/ppp)/()(ttttw2021-9-228y u tPin Pout0 L x；0yvxuLxuuLu0)(yvxuLu；2222yuxuxpyuvxuuLyuuLuuvuLxuuLuuuu；2222yuxuLuxpLpyuvxuuLu；0LyuvLuLxppLp；）（）（2222LuuLuLxuuLu2021-9-229；2222yvxvLuypLpyv

6、vxvuLu；2222yxLtyvxuLtucp0yyNu惯性力惯性力粘性力粘性力热对流热量热对流热量热传导热量热传导热量2021-9-2210对方程整理，可以得到无量纲化的方程组。对方程整理，可以得到无量纲化的方程组。 0yvxu2222Re1yuxuxpEuyuvxuu22222yuxuLuxpupyuvxuu2222Re1yvxvypEuyvvxvu2222PrRe1yxyvxu2222yxLuayvxu0yyNu2021-9-22112 无量纲准则的表达式和物理意义无量纲准则的表达式和物理意义)/(2upEu定义为欧拉数（定义为欧拉数（EulerEuler），它），它反映了流场压力降与

7、其动压头反映了流场压力降与其动压头之间的相对关系，之间的相对关系，体现了在流体现了在流动过程中动量损失率的相对大动过程中动量损失率的相对大小。小。 2222Re1yuxuxpEuyuvxuu22222yuxuLuxpupyuvxuu2021-9-2212LuLuRe称为雷诺数，称为雷诺数，表征了给表征了给定流场的惯性力与其黏定流场的惯性力与其黏性力的对比关系，性力的对比关系，也就也就是反映了这两种力的相是反映了这两种力的相对大小。对大小。利用雷诺数可以利用雷诺数可以判别一个给定流场的稳定性判别一个给定流场的稳定性，随着惯性力的增大和黏性力的相对减小，雷随着惯性力的增大和黏性力的相对减小，雷诺数

8、就会增大，而大到一定程度流场就会失诺数就会增大，而大到一定程度流场就会失去稳定，而使流动从层流变为紊流。去稳定，而使流动从层流变为紊流。2021-9-22132222PrRe1yxyvxuaLuLucpPrRe称为贝克莱准则，记为称为贝克莱准则，记为Pe，它，它反映了给定流场反映了给定流场的热对流能力与其热传导能力的对比关系。的热对流能力与其热传导能力的对比关系。它它在能量微分方程中的作用相当于雷诺数在动量在能量微分方程中的作用相当于雷诺数在动量微分方程中的作用。微分方程中的作用。 用贝克莱数除以雷诺数，可得到用贝克莱数除以雷诺数，可得到 :aPr称为普朗特（称为普朗特（Prandtl）数，）

9、数，它反映了流体的它反映了流体的动量扩散能力与其能量扩散能力的对比关系。动量扩散能力与其能量扩散能力的对比关系。 2021-9-2214hLNu 努塞尔（努塞尔（Nusselt）准则，它）准则，它反映了给定流场的反映了给定流场的换热能力与其导热能力的对比关系。换热能力与其导热能力的对比关系。这是一个这是一个在对流换热计算中必须要加以确定的准则。在对流换热计算中必须要加以确定的准则。 uchNuStpPrRe斯坦顿（斯坦顿（Stanton）数，修正的努塞尔数，流）数，修正的努塞尔数，流体实际的换热热流密度与可传递之最大热流密体实际的换热热流密度与可传递之最大热流密度之比。度之比。2021-9-2

10、215努谢尔特准则与非稳态导热分努谢尔特准则与非稳态导热分析中的毕欧数形式上是相似的。析中的毕欧数形式上是相似的。但是，但是，Nu中的中的Lf为流场的特征为流场的特征尺寸，尺寸，f为流体的导热系数；为流体的导热系数；流体侧流体侧固体侧固体侧LsLffsNuBi而而Bi中的中的Ls为固体系统的特征尺寸，为固体系统的特征尺寸，s为固体为固体的导热系数。的导热系数。它们虽然都表示边界上的无量纲温度梯度，它们虽然都表示边界上的无量纲温度梯度，但一个在流体侧一个在固体侧。但一个在流体侧一个在固体侧。2021-9-2216在运用相似理论时，在运用相似理论时，应该注意：只有属于同应该注意：只有属于同一类型的

11、物理现象才有相似的可能性，也才一类型的物理现象才有相似的可能性，也才能谈相似问题。能谈相似问题。所谓同类现象，就是指用相同形式和内容的所谓同类现象，就是指用相同形式和内容的微分方程（控制方程微分方程（控制方程+单值性条件方程）所描单值性条件方程）所描述的现象。述的现象。电场与温度场：电场与温度场： 微分方程相同；内容不同微分方程相同；内容不同强制对流换热与自然对流换热：微分方程的强制对流换热与自然对流换热：微分方程的形式和内容都有差异形式和内容都有差异外掠平板和外掠圆管：控制方程相同；单值外掠平板和外掠圆管：控制方程相同；单值性条件不同性条件不同2021-9-2217判断两个现象是否相似的条件

12、：判断两个现象是否相似的条件：凡凡同类现象、同类现象、单值性条件相似、同名已定特征数相等单值性条件相似、同名已定特征数相等，那，那么现象必定相似。据此，如果两个现象彼此么现象必定相似。据此，如果两个现象彼此相似，它们的同名准则数必然相等。相似，它们的同名准则数必然相等。2021-9-22183 无量纲方程组的解及换热准则关系式无量纲方程组的解及换热准则关系式 0yvxu2222Re1yuxuxpEuyuvxuu2222Re1yvxvypEuyvvxvu2222PrRe1yxyvxu0yyNu, , ,Re, , , ,Re,yxpEufvyxpEufuvuRe, ,epfEuyxEufp, ,

13、 , Pr,Re,yxvuf, Pr,Re,yxfxyNuxfyPr,Re,0PrRe,fNux2021-9-2219从上式不难看出，在计算几何形状相似的流从上式不难看出，在计算几何形状相似的流动换热问题时，如果只是求取其平均的换热动换热问题时，如果只是求取其平均的换热性能，就可以归结为确定几个准则之间的某性能，就可以归结为确定几个准则之间的某种函数关系，最后得出平均的表面传热系数种函数关系，最后得出平均的表面传热系数和总体的换热热流量。和总体的换热热流量。由于无量纲准则是由过程量、几何量和物性由于无量纲准则是由过程量、几何量和物性量组成的，从而使实验研究的变量数目显著量组成的，从而使实验研究

14、的变量数目显著减少，这对减少实验工作量和实验数据处理减少，这对减少实验工作量和实验数据处理时间是至关重要的。时间是至关重要的。2021-9-2220在研究该问题时，通在研究该问题时，通常采用管道的常采用管道的内直径内直径d作为特征尺寸，而作为特征尺寸，而用管道内截面上的用管道内截面上的平平均流速均流速um作为特征流作为特征流速，相应的无量纲准速，相应的无量纲准则为则为:duhdNumRe,PrRe,fNu流体在管内流动时的换热问题，如图所示。流体在管内流动时的换热问题，如图所示。uumu um m流体平均流速；流体平均流速；=(t-t=(t-tw w)/(t)/(tf f-t-tw w) )无

15、量纲温度无量纲温度 2021-9-22214 特征尺寸，特征流速和定性温度特征尺寸，特征流速和定性温度对流动换热微分方程组进行无量纲化时，选对流动换热微分方程组进行无量纲化时，选定了对应变量的特征值，然后进行无量纲化定了对应变量的特征值，然后进行无量纲化的工作，这些特征参数是流场的代表性的数的工作，这些特征参数是流场的代表性的数值，分别表征了流场的值，分别表征了流场的几何特征、流动特征几何特征、流动特征和换热特征和换热特征。 特征尺寸，特征尺寸，它反映了流场的几何特征，对于它反映了流场的几何特征，对于不同的流场特征尺寸的选择是不同的。如，不同的流场特征尺寸的选择是不同的。如，对流体平行流过平板

16、选择沿流动方向上的长对流体平行流过平板选择沿流动方向上的长度尺寸；管内流体流动选择垂直于流动方向度尺寸；管内流体流动选择垂直于流动方向的管内直径；对于流体绕流圆柱体流动选择的管内直径；对于流体绕流圆柱体流动选择流动方向上的圆柱体外直径。流动方向上的圆柱体外直径。 2021-9-2222特征流速，特征流速，它反映了流体流场的流动特征。它反映了流体流场的流动特征。不同的流场其流动特征不同，所选择的特征不同的流场其流动特征不同，所选择的特征流速是不同的。流速是不同的。如，流体流过平板，来流速度被选择为特征如，流体流过平板，来流速度被选择为特征尺寸；尺寸；流体管内流动，管子截面上的平均流速可作流体管内

17、流动，管子截面上的平均流速可作为特征流速；为特征流速；流体绕流圆柱体流动，来流速度可选择为特流体绕流圆柱体流动，来流速度可选择为特征流速。征流速。2021-9-2223定性温度，定性温度，无量纲准则中的物性量是温度的无量纲准则中的物性量是温度的函数，确定物性量数值的温度称为定性温度。函数，确定物性量数值的温度称为定性温度。对于不同的流场定性温度的选择是不同的。对于不同的流场定性温度的选择是不同的。外部流动常选择来流流体温度和固体壁面温外部流动常选择来流流体温度和固体壁面温度的算术平均值，称为膜温度；度的算术平均值，称为膜温度；内部流动常选择管内流体进出口温度的平均内部流动常选择管内流体进出口温

18、度的平均值（算术平均值或对数平均值），当然也有值（算术平均值或对数平均值），当然也有例外。例外。2021-9-2224由于对流换热问题的复杂性，实验研究是解决由于对流换热问题的复杂性，实验研究是解决换热问题的主要方法。换热问题的主要方法。在工程上大量使用的对流换热准则关系式都是在工程上大量使用的对流换热准则关系式都是通过实验获得的。通过实验获得的。 我们从无量纲微分方程组推出了一般化的准则我们从无量纲微分方程组推出了一般化的准则关系式关系式 。但这是一个原则性的式。但这是一个原则性的式子，要得到某种类型的对流换热问题在给定范子，要得到某种类型的对流换热问题在给定范围内的具体的准则关系式，在多数

19、情况下还必围内的具体的准则关系式，在多数情况下还必须通过实验的办法来确定。须通过实验的办法来确定。 PrRe,fNux5 对流换热准则关系式的实验获取方法对流换热准则关系式的实验获取方法2021-9-2225twqLBt u图中给出了平板在风图中给出了平板在风洞中进行换热实验的洞中进行换热实验的示意图。示意图。 为了得出该换热问题的准则关系式，必须测量为了得出该换热问题的准则关系式，必须测量的物理量有：流体来流速度的物理量有：流体来流速度u,来流温度来流温度t,平平板表面温度板表面温度tw,平板的长度平板的长度L和宽度和宽度B，以及平，以及平板的加热量板的加热量Q（通过测量电加热器的电流（通过

20、测量电加热器的电流I和电和电压压V而得出）。而得出）。 可由可由 得到得到 LBtthVIQwLBttIVhw必须在不同的工况下获得不同的换热系数值必须在不同的工况下获得不同的换热系数值 。2021-9-2226NuhuhuhuhN321321LuLhNuLuLhNuLuLhNuLuLhNuNNNNReReReRe321333222111如果认为准则关系式有如果认为准则关系式有 这样的形式。这是一种先验的处理办法，但这样的形式。这是一种先验的处理办法，但是，这给拟合准则关系式带来较大的方便。是，这给拟合准则关系式带来较大的方便。最小二乘法是常用的线性拟合方法最小二乘法是常用的线性拟合方法 。采

21、用几何作图的方法亦可以求解采用几何作图的方法亦可以求解 。 mnmccNuRePrRe12021-9-2227n=tglogNuLogc1 logRe对于几何结构比较复杂对于几何结构比较复杂的对流换热过程，特征的对流换热过程，特征尺寸无法从已知的几何尺寸无法从已知的几何尺度中选取，通常的做尺度中选取，通常的做法是采用当量尺寸。如法是采用当量尺寸。如异型管槽内的流动换热，异型管槽内的流动换热，其当量直径定义为其当量直径定义为Pfde4Pf式中式中f为流体流通面积；为流体流通面积；P为流体的润湿周边。为流体的润湿周边。 2021-9-2228边界层的概念是边界层的概念是1904年德国年德国科学家普

22、朗特提出的。科学家普朗特提出的。1 边界层定义边界层定义速度边界层速度边界层(a) 定义定义Riding in a fast car, youre aware of air flowing fast over the solid metal body 2021-9-2229流体流过固体壁面时，由于壁面层流体分子的流体流过固体壁面时，由于壁面层流体分子的不滑移特性，在流体黏性力的作用下，近壁流不滑移特性，在流体黏性力的作用下，近壁流体流速在垂直于壁面的方向上会从壁面处的零体流速在垂直于壁面的方向上会从壁面处的零速度逐步变化到来流速度。速度逐步变化到来流速度。 Layer Boundaryxy u

23、u2021-9-2230垂直于壁面的方向上流体流速发生显著变化垂直于壁面的方向上流体流速发生显著变化的流体的流体薄薄层定义为层定义为速度边界层。速度边界层。 普朗特通过观察发现，对于低黏度的流体，普朗特通过观察发现，对于低黏度的流体，如水和空气等，在以较大的流速流过固体壁如水和空气等，在以较大的流速流过固体壁面时，在壁面上流体速度发生显著变化的流面时，在壁面上流体速度发生显著变化的流体层是体层是非常薄的非常薄的。 2021-9-2231流体流过固体壁面的流体流过固体壁面的流场就人为地分成两流场就人为地分成两个不同的区域。个不同的区域。tw t u t t 0 x其一是边界层流动区，这里流体的黏

24、性力与其一是边界层流动区，这里流体的黏性力与流体的惯性力共同作用，引起流体速度发生流体的惯性力共同作用，引起流体速度发生显著变化；显著变化；其二是势流区，这里流体黏性力的作用非常其二是势流区，这里流体黏性力的作用非常微弱，可视为无黏性的理想流体流动，也就微弱，可视为无黏性的理想流体流动，也就是势流流动。是势流流动。2021-9-2232(b)边界层的厚度边界层的厚度当速度变化达到当速度变化达到 时的空间位置为时的空间位置为速度边界层的外边缘，那么从这一点到壁面速度边界层的外边缘，那么从这一点到壁面的距离就是边界层的厚度的距离就是边界层的厚度 99. 0uu x 小：空气外掠平板，小：空气外掠平

25、板，u =10m/s：mm5 . 2 ;mm8 . 1200100mmxmmx热（温度）边界层热（温度）边界层(a) 定义定义2021-9-2233当流体流过平板而平板的温度当流体流过平板而平板的温度tw与来流流体的与来流流体的温度温度t不相等时，在不相等时，在壁面上方也能形成温度壁面上方也能形成温度发生显著变化的薄层，常称为热边界层发生显著变化的薄层，常称为热边界层。 Tw2021-9-2234(b)热边界层厚度热边界层厚度 当壁面与流体之间的温差达到壁面与来流流体之当壁面与流体之间的温差达到壁面与来流流体之间的温差的间的温差的0.99倍时倍时，即，即 ，此，此位置就是边界层的外边缘，而位置

26、就是边界层的外边缘，而该点到壁面之间的该点到壁面之间的距离则是距离则是热边界层的厚度热边界层的厚度,记为记为 99. 0)/()(ttttww xt层流：层流：温度呈抛物温度呈抛物线分布线分布湍流：湍流：温度呈幂函温度呈幂函数分布数分布湍流边界层贴壁处湍流边界层贴壁处温度梯度明显大温度梯度明显大湍流换热比层流换热强！湍流换热比层流换热强！2021-9-22352 边界层微分方程组边界层微分方程组引入边界层概念可使换热微分方程组得以简化引入边界层概念可使换热微分方程组得以简化数量级分析数量级分析order of magnitude ：比较方程中比较方程中各量或各项的量级的各量或各项的量级的相对大

27、小相对大小；保留量级较；保留量级较大的量或项；舍去那些量级小的项，方程大大的量或项；舍去那些量级小的项，方程大大简化大简化2021-9-2236无量纲形式的微分方程组对于流体平行流过平无量纲形式的微分方程组对于流体平行流过平板形成的边界层流动换热问题也是同样适用的。板形成的边界层流动换热问题也是同样适用的。 0yvxu2222Re1yuxuxpEuyuvxuu2222Re1yvxvypEuyvvxvu2222PrRe1yxyvxu0yyNu2021-9-22375个基本量的数量级：个基本量的数量级：主流速度：主流速度：);1 (0u温度温度：);1 (0t壁面特征长度壁面特征长度：);1 (0

28、L边界层厚度边界层厚度：)(0 );(0tx与与L相当，即：相当，即：);1 (0 lx)(0 0yy0(1)、0( )表示数量级为表示数量级为1和和 ，1 。 “” 相当于相当于2021-9-2238u沿边界层厚度由沿边界层厚度由0到到u :) 1 (0uu主流方向上的无量纲速度主流方向上的无量纲速度 的数量级为的数量级为1 uuu0yvxu2222Re1yuxuxpEuyuvxuu2222Re1yvxvypEuyvvxvu由连续性方程由连续性方程 :0yvxu可以得出可以得出v的数量级为的数量级为 2021-9-2239 0yvxu 11 2222Re1yuxuxpEuyuvxuu 1 1

29、1 1 )(22xuxxu)(22yuyyu221 11 211 1 x方向上的动量方程变为：方向上的动量方程变为： 22Re1yuxpEuyuvxuu2021-9-22402222Re1yvxvypEuyvvxvu2222PrRe1yxyvxu) 1 ( 1 1222）（221 11 1 11 1 2t2021-9-2241这就使得这就使得动量方程和能量方程变成了抛物型动量方程和能量方程变成了抛物型的非线性微分方程的非线性微分方程；0yvxu22Re1yuxpEuyuvxuu22PrRe1yyvxu0yyNu微分方程组经过在边界层中简化后，由于动微分方程组经过在边界层中简化后，由于动量方程和

30、能量方程分别略去了主流方向上的量方程和能量方程分别略去了主流方向上的动量扩散项和热量扩散项，从而构成上游影动量扩散项和热量扩散项，从而构成上游影响下游而下游不影响上游的物理特征。响下游而下游不影响上游的物理特征。 2021-9-2242由于动量方程由两个变成为一个，而且由于动量方程由两个变成为一个，而且项可在边界层的外边缘上利用伯努利方程求项可在边界层的外边缘上利用伯努利方程求解，于是方程组在给定的边值条件下可以进解，于是方程组在给定的边值条件下可以进行分析求解，所得结果为边界层的精确解。行分析求解，所得结果为边界层的精确解。 对于外掠平板的层流流动，主流场速度是均对于外掠平板的层流流动，主流

31、场速度是均速速u ，温度是均温，温度是均温t ；并假定平板为恒；并假定平板为恒温温tw。 xp wttvuy, 0:0ttuuy,:3/12/1332. 0axuxhx3/12/1PrRe332. 0 xNu注意：层流注意：层流2021-9-2243 比较边界层无量纲的动量方程和能量方程：比较边界层无量纲的动量方程和能量方程：22Re1yuxpEuyuvxuu22PrRe1yyvxu在忽略动量方程压力项后，温度边界层的厚在忽略动量方程压力项后，温度边界层的厚度与速度边界层的厚度的相对大小则取决于度与速度边界层的厚度的相对大小则取决于普朗特数的大小。普朗特数的大小。当当Pr=1时，动量方程与能量

32、方程完全相同。时，动量方程与能量方程完全相同。即速度分布的解与温度分布完全相同，此时即速度分布的解与温度分布完全相同，此时速度边界层厚度等于温度边界层厚度。速度边界层厚度等于温度边界层厚度。 2021-9-2244当当Pr1时，时，Pr=/a，a，粘性扩散，粘性扩散 热量扩热量扩散，速度边界层厚度散，速度边界层厚度温度边界层厚度。温度边界层厚度。当当Pr1时，时，Pr=/a，a，粘性扩散，粘性扩散 热量扩热量扩散，速度边界层厚度散，速度边界层厚度温度边界层厚度。温度边界层厚度。也可从公式得出也可从公式得出 31Pr026. 11xxtTuTx0t tux0t t(a)Pr12021-9-224

33、53 边界层积分方程组及其求解边界层积分方程组及其求解边界层积分方程组边界层积分方程组1921年，冯年，冯卡门提出了边界层动量积分方程。卡门提出了边界层动量积分方程。1936年，克鲁齐林求解了边界层能量积分方年，克鲁齐林求解了边界层能量积分方程。所得的结果称为边界层问题的近似解程。所得的结果称为边界层问题的近似解 。边界层积分方程一般可由两种方法获得：其边界层积分方程一般可由两种方法获得：其一是将动量守恒定律和能量守恒定律应用于一是将动量守恒定律和能量守恒定律应用于控制体；其二是对边界层微分方程直接进行控制体；其二是对边界层微分方程直接进行积分。积分。2021-9-2246(a)边界层质量积分

34、方程边界层质量积分方程 边界层质量积分方程是把质量守恒定律应用边界层质量积分方程是把质量守恒定律应用于一个控制容积导出的。于一个控制容积导出的。取取常物性、不可压缩流体的二维稳态强制对常物性、不可压缩流体的二维稳态强制对流为对象流为对象作分析。作分析。 2021-9-2247xyudyldx Volume Control l u uabcd在流体中划出控制容积，包括在流体中划出控制容积，包括dx一段边界层，一段边界层，而而z方向为单位长度。控制容积左侧面为方向为单位长度。控制容积左侧面为ab右右侧面为侧面为cd，顶面为，顶面为bd，底面为壁面的，底面为壁面的ac部分，部分，即取即取 ac为为d

35、x。2021-9-2248 cdthroughflow massbdthroughflow massabthroughflow massdxudydxdudyll 00 udyl 0 0 m udyldx usurfaceAabcdAm 2021-9-2249dxudydxdmlA 0 Am dxudydxdudyll 00 udyl 0 0 m udyldx usurfaceAabcdAm udydxudydxdudylll 000 2021-9-2250(b) 边界层动量积分方程边界层动量积分方程边界层动量积分方程是把动量定律应用于一边界层动量积分方程是把动量定律应用于一个控制容积导出的。

36、取个控制容积导出的。取常物性、不可压缩流常物性、不可压缩流体的二维稳态强制对流为对象体的二维稳态强制对流为对象作分析。作分析。 xyudyldx Volume Control l u uabcd2021-9-2251udyldx uabcd(1) )()(00wdyuudxduudyuudxd 这就是卡门在这就是卡门在1921年导出的边年导出的边界层动量积分方程。由积分方界层动量积分方程。由积分方程求出的分析解称为近似解，程求出的分析解称为近似解，以区别于微分方程的精确解以区别于微分方程的精确解 .2021-9-2252(c) 边界层能量积分方程边界层能量积分方程把能量守恒定律应用于控制容积可

37、推导出边界把能量守恒定律应用于控制容积可推导出边界层能量积分方程。层能量积分方程。 u tt labcd(2) )(00yytaudyttdxdt2021-9-2253(d) 边界层积分方程组求解示例边界层积分方程组求解示例作为边界层积分方程组求解的示例，仍以作为边界层积分方程组求解的示例，仍以稳稳态常物性流体强制掠过平板层流时态常物性流体强制掠过平板层流时的换热作的换热作为讨论对象为讨论对象。壁面具有定壁温的边界条件。壁面具有定壁温的边界条件。2021-9-2254在常物性条件下。动量积分方程不受温度场在常物性条件下。动量积分方程不受温度场的影响，可先单独求解，解出层流边界层厚的影响，可先单

38、独求解，解出层流边界层厚度及摩擦系数，然后求解能量积分方程，解度及摩擦系数，然后求解能量积分方程，解出热边界层厚度及换热系数。出热边界层厚度及换热系数。 求解流动边界层厚度及摩擦系数求解流动边界层厚度及摩擦系数Equation Integral Momentum Using(1) )()(00wdyuudxduudyuudxd2021-9-225532dycybyau (1) )()(00wdyuudxduudyuudxd在本问题中，在本问题中，u为常数，动量积分方程式（为常数，动量积分方程式（1）左边的第二项为左边的第二项为0。再引入。再引入 ，式，式（1）为）为0)(ywdydu(3) )

39、(00ydyduudyuudxd为求解上式，还需补充边界层速度分布函数为求解上式，还需补充边界层速度分布函数u=f(y)。选用以下有。选用以下有4个任意常数的多项式作个任意常数的多项式作为速度分布的表达式为速度分布的表达式:2021-9-2256式中，式中，4个待定常数由边界条件及边界层特性个待定常数由边界条件及边界层特性的推论确定，即的推论确定，即 u u Conditions Boundary0 0at 22yuycondition pressureconstant 0at at 00at yu yu uy uy由此求得由此求得4个待定常数为个待定常数为 ub2332ud于是速度分布表达式

40、为于是速度分布表达式为 (4) )(21233yyuu0a0c2021-9-2257u u 32220 0at dycybyauyuy 0at at 00at yu yu uy uy (3) )(00ydyduudyuudxd积分得积分得 23380292udxdu分离变量，注意到分离变量，注意到x=0时时=0，得，得 xdxud0013140(6) 64. 4ux无量纲表达式为无量纲表达式为 (7) Re64. 4xx其中其中Rex= ux/,其特性尺度为离平其特性尺度为离平板前缘的距离板前缘的距离x。 在在x处的壁面局部切应力处的壁面局部切应力 xwuRe323. 022021-9-225

41、8 2121Re64. 464. 4xuxx要使边界层的厚度远小于流动方向上的尺度要使边界层的厚度远小于流动方向上的尺度（即（即 ），也就是所说的边界层是一），也就是所说的边界层是一个薄层，这就要求雷诺数必须足够的大个薄层，这就要求雷诺数必须足够的大 1xx1Re 因此，对于流体流过平板，满足因此，对于流体流过平板，满足边界层假设边界层假设的条件就是雷诺数足够大。的条件就是雷诺数足够大。由此也就知道，当速度很小、黏性很大时或由此也就知道，当速度很小、黏性很大时或在平板的前沿，边界层是难以满足薄层性条在平板的前沿，边界层是难以满足薄层性条件。件。 2021-9-2259随着随着x的增大，的增大，

42、（x）也逐步增大，同时黏性）也逐步增大，同时黏性力对流场的控制作用也逐步减弱，从而使边力对流场的控制作用也逐步减弱，从而使边界层内的流动变得紊乱。界层内的流动变得紊乱。 把边界层从层流过渡到紊流的把边界层从层流过渡到紊流的x值称为临界值称为临界值，记为值，记为xc，其所对应的雷诺数称为临界雷，其所对应的雷诺数称为临界雷诺数，即诺数，即 ccxuRe2021-9-2260流体平行流体平行流过平流过平板的临界雷诺数板的临界雷诺数大约是大约是 5105Rec2021-9-2261sublayerlaminarLayer BoundaryxyLaminarTransitionTurbulent u u

43、2021-9-2262求解热边界层厚度及换热系数求解热边界层厚度及换热系数 (2) )(00yytaudyttdxdt先求解热边界层厚度。为从式（先求解热边界层厚度。为从式（2）求解热边）求解热边界层厚度，除界层厚度，除u=f(y)已由式（已由式（4）确定外，还需）确定外，还需要补充热边界层内的温度分布函数要补充热边界层内的温度分布函数t=f(y)。对此，。对此，亦选用带亦选用带4个常数的多项式：个常数的多项式：32hygyfyet2021-9-2263式中，式中，4个待定常数由边个待定常数由边界条件及热边界层特性的界条件及热边界层特性的推论确定，即推论确定，即 y=0时时 t=tw且且 02

44、2yty=时时t= t且且 0yt由此求得由此求得4个待定常数为个待定常数为 g=0 twttf23321twtth若用以若用以tw为基准点的过余温度为基准点的过余温度=t-tw来表达，来表达，则温度分布表达式为则温度分布表达式为 3)(2123ttyy u tt labcde=tw2021-9-2264能量积分方程式（能量积分方程式（2）用过余温度表示为）用过余温度表示为 (2) )(00yytaudyttdxdt )(00yyaudydxdt进一步求解中，令热边界层厚度与流动边界进一步求解中，令热边界层厚度与流动边界层厚度之比层厚度之比t/=，并假定，并假定1的流体显然是适用的。的流体显然

45、是适用的。 最后得到：最后得到：(8) Pr026. 1Pr3131t2021-9-2265在同一位置上热边界层厚度与速度边界层厚在同一位置上热边界层厚度与速度边界层厚度的相对大小与流体的度的相对大小与流体的普朗特数普朗特数Pr有关有关，也，也就是与流体的热扩散特性和动量扩散特性的就是与流体的热扩散特性和动量扩散特性的相对大小有关。相对大小有关。 31Pr026. 11xxt由此式可以看出，由此式可以看出，热边界层是否满足薄层性的热边界层是否满足薄层性的条件，除了条件，除了Re足够大之外还取决于普朗特数足够大之外还取决于普朗特数的大小，的大小，当普朗特数非常小时（当普朗特数非常小时（Pr1）,热边热边界层相对于速度边界层就很厚，反之则很薄。界层相对于速度边界层就很厚，反之则很薄。 2021-9-2266热边界层也会因为速度边界层从层流转变为热边界层也会因为速度边界层从层流转变为紊流而出现紊流热传递状态下的热边界层。紊流而出现紊流热传递状态下的热边界层。按