神奇的旋转几何题

1、例1 .有公共顶点 c的 abc cdetb是等边三角形(1)求证：ad=be如果将 cd璘点c沿顺时针方向旋转一个任意角,ad=be成立吗？推广：四边形 abd市acfgb是正方形，连结 ec,bg如果将abd璘点a旋转一个任意角，问 ec与bg有 何关系.例2.课本例题推广：(1)如图，在四边形 abcd43, ab= ad, / bad=/ bcd=90 ,且四边形 abcd勺面积36,求线段 bc与cd 的和.(2)已知：在五边形 abcde, ab= ae, bc+ de= cd, z abo z aed= 180 求证：ad是/ cde的平分线.(3)如图，在梯形abcd中,ad/

2、 bc,且bcad; /d= 90,bc= cd= 12, z abe= 45 ,若ae=10,求ce的长.例3.已知e、f分别在正方形 abcdi ab 和 bc 上，ab=1, / edf=45 .求 bef 的 周长.例 4.已知：在 acb中，z acb= 90 , ac= bg在ab边上，且使得/ dce= 45 ,求证：ar ded eeb三条线段确定的数量关系练习：1.在 abc中，ab=ac 如图,b bac=90 , / dae=45 , 求de的长.bd=2, ce=3.拓展：如图，在等腰三角形abc中，ab=ac(1) p是三角形内的一点，且/ apb=/ apc求证：p

3、b=pc(2) d是三角形内一点，若/ adb/adc求证/ dbo/ dcb(3)若 p为正方形 abcdj一点，pa： pb： pc=1： 2 ： 3.试证/ apb=135e是正方形 abcd& bc上任意一点,af平分/ ead交cd于f,2.(正方形中的三角形旋转)已知：如图, 试说明be+df=ae.拓展：已知：在正方形 abcm, e、f分别是bg cd上的点，(1)如图(1),若有be+df=ef求：/ eaf的度数.(2)如图(2),若有/ eaf =45o.求证：be+df=ef.(3)如图(3),若/ eaf=45o, ahu ef.求证：ah=ab(4)如图(4),若正

4、方形 abcd&长为1, 4cef的周长为2.求/ eaf的大小.(5)如图(5),若 ab=j3,且/ bae=3(0, / daf=15o,求 aef的面积.(6)如图(6),正方形abcdt两条与边平行的线段 ef、gh分割成4个小矩形，p是ef与gh的交点，若矩形pfch的面积恰是矩形(1)agpe!积的2倍.试确定/haf的大小，写出推导的过程.(4)(5)(3)练习：(答案)1 .在 abc中,ab=ac 如图,/ bac=90 , / dae=45 , bd=2, ce=3 .求 de 的长.拓展:(1)pb=pcdbo / dcb如图，在等腰三角形 abc中，ab=acp是三角

5、形内的一点，且/ apb=/ apc求证:d是三角形内一点，若/ adb/adc求证/aedc分析：将 abc以a为中心逆时针旋转一角度/ bac到4ace的位置.连de,由/adb/ adc得 /aeo / adc 又 /ade4 aed 相减，得 / de6 / edccdce即 cdbr 从而/ dbo / dcbabcert一点，pa： pb： pc=1： 2 ： 3.试证/ apb=135 .拓展（3）若p为正方形分析：利用正方形的特点设法经过旋转使ar pr pc相对集中，为简单起见不妨设 pa=1, pb=2, pc=3.绕b 点顺时针旋转 90o,使 cbp至1 abe的位置，

6、这时 be=2, ae=3, / pbe=9(0 pe=22 , / bpe=45).又_222ap2 pe2 1 8 9 ae2/ape=90 ,于是 /apb=135 .拓展（4）在等边三角形内有一点p.连接p与各顶点的三条线段的长为3、4、5.求正三角形的边长.（答案：；25+13西）分析：将cpb旋转到 ap b,连接pp,延长 bp,过a作ad，bd.易知app是直角三角形，因为/ bpp =60。，所以/ apd=3趴则ad=2 dp=2 .旋转讲解2例1： （05大连）如图1,操作：把正方形cgef勺对角线ce放在正方形 abcd勺边bc的延长线上（cgb。， 取线段ae的中点m

7、 （1）探究：线段 md mf的关系，并加以证明.（2）在你经历说明（1）的过程后，可以从下列、中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明.dm勺延长线交 ce于点n,且ad=ne;将正方形cge院点c逆时针旋转45。（如图2）,其他条件不变；在的条件下，且 ce=2ad（3）将正方形cge院点c旋转任意角度后（如图 3）,其他条件不变.探究：线段 md mf的关系，并加以证明.练：1. （08北京）请阅读下列材料：问题：如图1,在菱形abc/口菱形befg,点a、r e在同一条 直线上，p是线段df的中点，连结 pg pc若/ abc= / bef= 60 ,探- p ，、一 pg ,究pg

8、与pc的位置关系及 的值.pc小聪同学的思路是： 延长g汽 d。点h ,构造全等三角形， 经过 推理使问题得到解决.请参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段 pg与pc的位置关系及 如的值；pc（2）将图1中的菱形befgg点b顺时针旋转，使菱形 befg勺对角线 bf恰好与菱形 abcd勺边ab在同一条直线上，原问题中的其他条件不变 （如图2）,你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想 并加以证明；（3）若图 1 中/ abc= / bef= 2（0。90 ）,将菱形 bef砥点b顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出pgpc 的值（用

9、含 的式子表示）.例2.在平面直角坐标系 xoy中，已知直线y=立x+ 2四交x轴于点c,交y轴于点a等腰直角三角板33obd勺顶点d与点c重合，如图1所示.把三角板绕着点 o顺时针旋转，旋转角度为 （0180 ）,使b点恰好落在 ac上白bz处，如图2所示.（1） 求图1中的点b的坐标； 求 的值；（3） 若二次函数y=mq+3x的图象经过（1）中的点b,判断点b，是否在这条抛物线上，并说明理由练：1.如图9,若 abc和4ade为等边三角形， m, n分别eb, cd的中点，易证： cd=be , aamn是 等边三角形.(1)当把 ade绕a点旋转到图10的位置时，cd=be是否仍然成立

10、？若成立请证明，若不成立请说明理由；(2)当4ade绕a点旋转到图11的位置时， amn是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当ab=2ad时，4ade与4abc及4amn的面积之比；若不是，请说明理由.图9图10图112 .已知正方形 abc由，e为对角线bd上一点，过e点作eu bd交bc于f,连接df, g为df中点，连接eg cg(1)求证：egcg 将图中 bef绕b点逆时针旋转45o,如图所示，取 df中点g连接eg cg问(1)中的结论 是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.(3)将图中a bef绕b点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问(1)中的

11、结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？(均不要求证明)图图图（答案）练:1. （08北京）请阅读下列材料:问题：如图1,在菱形abc时菱形befcgk点a b e在同一条直线上，p是线段df的中点，连结 pg pc若/ abc= / bef= 60究pg与pc的位置关系及小聪同学的思路是: 推理使问题得到解决.pg的值.pc延长g汽 d。点h ,构造全等三角形,经过,探请参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题:（1）写出上面问题中线段 pg与pc的位置关系及9的值；图2pc（2）将图1中的菱形bef藤点b顺时针旋转，使菱形 befg勺对角线 bf恰好与菱形 abcd勺边ab在同一条直线

12、上，原问题中的其他条件不变 （如图2）,你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想 并加以证明；（3）若图 1 中/ abc= / bef= 2 （0 v v 90 ）,将菱形 befg 点b顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出pgpc的值（用含 的式子表示）.【解答】（1）线段pg与pc的位置关系是 pglpc pgpc(2)猜想：(1)中的结论没有发生变化. 证明：如图，延长 g眩ad于点h,连结 p是线段df的中点， fp = dp.由题意可知ad/ fg/gfe/hdp. /gpf/hpd, agffp ahdp gp=hp gf=hd四边形abcd菱形，

13、cd=cb / hdc= /abc= 60 .由/abc= / bef= 60 ,且菱形 befg勺对角线 bf恰好与菱形 abcd勺边ab在同一条 直线上，可得 zgbc= 60 . /hdc=/gbc四边形befo菱形， gf=gbhagb ahd(c2 agbc ch=cg / dch= / bcg /dci+ / hcb= /bcg* hcb120 .即 /hcg= 120 . ch= cg, ph=pg pgl pc z gcp= / hcp=0 . . pg 志. pc(3) -pg tan(90 ). pc 6. （2007海淀二模）在平面直角坐标系xoy中，已知直线y=43x+

14、3亘交x轴于点c,交y轴于33点a等腰直角三角板 obd勺顶点d与点c重合，如图1所示.把三角板绕着点 o顺时针旋转，旋转角度为（0180 ），使b点恰好落在ac上白b b/处，如图2所示.（4） 求图1中的点b的坐标;（5） 求 的值;（6）2若二次函数y=mx+3x的图象经过（1）中的点b,判断点b，是否在这条抛物线上，并说明理由解：（1）直线y=-43x+g3交x轴于点c,交y轴于点a, 点a的坐标为（0, 今3点c的坐标为（2, 0） . 等腰直角三角板 obd勺顶点d与点c重合，01=2,bod 45 .过点b作bmloctm. .omod 1. . . bm=1, or 桓.点 b

15、 的坐标为（1 , 1）（2） oa：空，o（=2,aoc 90 , ./aco30 .过点 o作 oaact e. .oem.3.在 rtab/ eo中，ob =q, oe=1, . . / b oe=45 . . . / eod90 .又. / eoc60 , . / cod30.=30; （3）判断：点b，在这条抛物线上.点b，在直线ac上，点b，的坐标为（a,-虫a+03）.33. a2+ （-a+ 班）2 =ob 2,（-理a+ 短）2=（心）2.解方程，得 a=1 , a= 1 333322（不合题意，舍去）.，点b，的坐标为（, 亘）.又二次函数y=mx+3x过b （1,1）,2

16、2.m= 2 .，二次函数的解析式为 y=-2x2+ 3x.把 x=l_s!代入 y=-2x2+3x,得 y=e3.点 b / 在 22这条抛物线上 如图9,若 abc和 ade为等边三角形， m, n分别eb, cd的中点，易证： cd=be , 4amn是等边三 角形.20、（ 2009年常德市）图9图10图11(1)当把 ade绕a点旋转到图10的位置时，cd=be是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明 理由；(2)当4ade绕a点旋转到图11的位置时， amn是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当ab=2ad时，4ade与4abc及4amn的面积之比；若不是，请说明理由.提示：(1)抓住不变量易解,(2)能证得 adc与4aeb是直角三角形，再用勾股定理和相似三角形的性质求解。21、(2009 东营)已知正方形abc珅，e为对角线点，过e点作eu bd交bct f,df, g为df中点，连接e