(完整版)高中数学解三角形方法大全最新（精华版）

1、解三角形1. 解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形。5以下若无特殊说明， 均设abc 的三个内角a、b、c 的对边分别为a、b、c ，则有以下关系成立：（1） 边的关系：abc ， acb ， bca （或满足：两条较短的边长之和大于较长边）（2） 角的关系： abc， 0a、b、c， 0ab，ab，abcsin a0 ， sin( ab)sin c ， cos( ab)cos c ， sin2cos2（3） 边角关系：正弦定理、余弦定理以及它们的变形板块一：正弦定理及其应用1. 正弦定理：a sin ab sin b

2、c sin c2 r ，其中 r为 abc的外接圆半径2. 正弦定理适用于两类解三角形问题：（1） 已知三角形的任意两角和一边，先求第三个角，再根据正弦定理求出另外两边；（2） 已知三角形的两边与其中一边所对的角，先求另一边所对的角（注意此角有两解、一解、无解的可能），再计算第三角，最后根据正弦定理求出第三边【例 1】考查正弦定理的应用（ 1） abc中，若 b60 ，2tan a， bc42 ，则 ac ；（ 2） abc中，若 a30 ， b2 ， a1，则 c；（ 3） abc中，若 a45 ， b42 ， a8，则 c；（ 4） abc中，若 acsin a ，则ab 的最大值为。c总

3、结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能如图，在abc 中，已知 a 、 b 、 a（ 1）若 a为钝角或直角，则当ab 时，abc 有唯一解；否则无解。（ 2）若 a为锐角，则当absin a 时，三角形无解；当 absin a 时，三角形有唯一解；当 bsin aab 时，三角形有两解；当 ab时，三角形有唯一解实际上在解这类三角形时，我们一般根据三角形中“大角对大边”理论判定三角形是否有两解的可能。板块二：余弦定理及面积公式1. 余弦定理：在abc 中，角a、b、c 的对边分别为a、b、c ，则有222cos abcaa 2c2b2a 22

4、acb2c 22aba2余弦定理：b2c2b2c 2a 2c 2a 2b 22bccos a 2ac cosb 2ab cosc，其变式为：cosb cosc2bc2. 余弦定理及其变式可用来解决以下两类三角形问题：（ 1）已知三角形的两边及其夹角，先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦定理求第二个角） ，最后根据“内角和定理”求得第三个角；（ 2）已知三角形的三条边，先由余弦定理求出一个角，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦定理求第二个角） ，最后根据“内角和定理”求得第三个角； 说明：为了减少运算量，能用正弦定理就尽量用正弦定理解决3. 三角形的面积公式（1）

5、s1 ah1 bh1 ch（ h 、 h 、 h 分别表示 a 、 b 、 c 上的高）；abcabcabc222111（ 2）s abcab sin c2bc sin a2ac sin b2（3） sabc2 r 2 sinabcasinb sin c（ r 为外接圆半径）（4）s abc；4 r（5）s abcp( p1a)( pb)( pc)其中 p1 ( a2bc)（6）s abcr l （ r 是内切圆的半径， l 是三角形的周长）2【例】考查余弦定理的基本应用（ 1）在 abc 中，若 a23 ， b62 ， c45 ，求 c、a、b ；（ 2）在abc 中，若 a13 ， b4，

6、 c3，求边 ac 上的高 h ；（ 3）在abc 中，若 a2 13 ， b8 ， a60 ，求 c【例】（ 1）在abc 中，若 a7 ， b8 ， cos c13，则 abc 中最大角的余弦值为 14（2）（ 10 上海理）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为1113115、 、1 ，则（）ac不能作出这样的三角形作出一个直角三角形bd作出一个锐角三角形作出一个钝角三角形（ 3）以 3、4、x 为三边组成一个锐角三角形，则x 的取值范围为 【例】考查正余弦定理的灵活使用（ 1）在 abc 中，若 acosbb cos acsin c ，其面积 s1 (b24c 2a 2 )

7、，则 b （ 2）在 abc 中，若 (3bc) cos aa cosc ，则 cos a （ 3）（ 07 天津理）在abc 中，若 a 2b 23bc ， sin c2 3 sin b ，则 a （ 4）（ 10 江苏）在锐角abc 中，若 baab6 cos c ，则 tan ctan atanctan b【例】判断满足下列条件的三角形形状（1） a 2 tan bb2 tan a ；（ 2） sin c2 cos asin b ；（3） cos acosbacb；（4） (a 2b 2 ) sin( ab)(a 2b 2 ) sin( ab) ；（ 5） basin c ， cacos

8、b板块三：解三角形综合问题【例】（ 09 全国 2）在 abc中，角a、b、c 的对边分别为a 、 b 、 c ， cos(ac)cosb3 ， b 22ac ，求 b【例】（ 11 西城一模）在abc 中，角a、b、c 的对边分别为a、b、c ，且cos b4 ， b25（1）当 a5时，求角 a的度数；（ 2）求 abc 面积的最大值3【例】在abc 中， sin acos a22， ac2 ， ab3，求sin a 的值和abc 的面积【例】在abc 中，角a、b、c 的对边分别为a、b、c ，已知 c2 ， c3（ 1）若 abc 的面积等于3 ，求 a、b；（ 2）若 sin csi

9、n( ba)2sin 2 a ，求abc 的面积【例 5】（09 江西理）在abc中，角a、b、c 的对边分别为a、b、c ，且tan csin asin b ，sin( ba)cos ccos acos b（ 1）求a、c（ 2）若s abc33 ，求a、c【例】（ 09 安徽理）在abc中， sin( ca)1 ,1sin b3（ 1）求sin a 的值；（2）设 ac6 ，求 abc 的面积【例】（ 10 辽宁理）在abc中，角a、b、c的对边分别为a、b、c ，且 2a sin a(2bc)sin b(2cb)sin c（ 1）求 a 的大小；（2）求sin bsinc的最大值【例】在abc 中，角 a、b、c 的对边分别为 a、b、c ，sabc3 (a 24b 2c 2 )（ 1）求 c 的大小；（ 2）求 sin asin b 的范围【例】（ 11 全国 2）设 abc 的内角 a、b、c 的对边分别为 a、b、c，已知ac90 ，ac2b ，求 c【江西理】在abc 中，角 a、b、c 的对边分别是a、b、c ，已知 sin ccosc1