《两角和与差的正弦、余弦正切公式》一课一练（精华版）

1、3.1两角和与差的正弦、余弦正切公式一、选择题：1. sin 25 cos11 cos 11 sin 5 的值是 ()126126a 2b 2c sin d sin 2212122. 若 sin（ +） cos cos（ +） sin=0 ，则 sin（ +2 ） +sin（ 2）等于 ()a 1b 1c 0d 1二、解答题3. 已知 3 ，0 ，cos（ +）=3 ，sin（3 + ）=5 ，求 sin（ + ）44的值4454134. 已知非零常数 a、b 满足a sin 5a cos5b cos5b sin 5=tan 8 ，求 b 15a5. 已知 ， sin（ ） = 5 ，求441

2、3cos 2cos()4的值6. 已知 sin（ +） =2 ，sin（ ） =33 ，求4tan的值tan7. 已知 a、b、c 是 abc 的三个内角且lgsina lgsinb lgcosc=lg2 试判断此三角形的形状特征8. 化简sin 7cos 7cos15 sin 15sin 8sin 89 求值：（1） sin75 ；（2） sin13 cos17+cos13sin17 cos10. 求 sin 7 2 sin sin2 的值1899911. 在足球比赛中， 甲方边锋从乙方半场带球过人沿直线前进（如下图），试问甲方边锋在何处射门命中乙方球门的可能性最大？（设乙方球门两个端点分别

3、为a、b）abco12. 已知 3 ， cos（ ）= 12 ， sin（ +） = 3 ，求 sin2 的值2413522213. 证明 sin（ +）sin（ ）=sin的值sin ，并利用该式计算sin 20+sin80sin40 14. 化简： 2sin50+sin10 （ 1+3 tan10） 2 sin 2 8015. 已知函数 y=sinx+cosx+2sinxcosx+2，（1） 若 x r，求函数的最大值和最小值；（2） 若 x 0， ，求函数的最大值和最小值2参考答案1b2 c3解： 43 ， 4 + 24又 cos（ +） = 3 ，45sin（ +）= 4 450 ，4

4、 3 43+ 4又 sin（ 3 +）= 5 ，413cos（ 3 +） = 12 ，413sin（ +）= sin +（ +）= sin（ +） +（ 3 +）+44= sin（+） cos（3 +） +cos（ ）sin （ 3 +）=44（12 ）43 5 =4463 513513654. 分析：这道题看起来复杂，但是只要能从式子中整理出b ，用8 、 的三角函数表a155示出来，再利用两角和与差的正、余弦公式计算即可a sin bb解：由于5a cosb cos5b sinsin5coscosa5 ，则b sin sin5coscosa5b sin tan8 1555sin 85a58

5、5a58 b15cos5cos15sin5sin()155整理，有acos8cos155sin8sin155cos(8 15=tan3)5=3 5. 分析：这道题的选题意图是考查两角和与差的正、余弦公式和诱导公式的综合运用以及变角技巧解题过程中，需要注意到（+）+（）= ，并且（+）（ ）44244=2解： cos（ +） =cos （ ） =sin（ ）= 5 ，424，又由于 4134+则 0 ， 44442所以 cos（ ） =14sin2 ( )41( 5 )2131213 ，sin ()41cos2 ()41( 5 )2131213 因此cos2cos(4a) ()4cos()4co

6、s()4cos(=4) cos(4)sin( 4) sin( )4cos()45=13524 13136. 分析： 当题中有异角、 异名时， 常需化角、 化名， 有时将单角转化为复角 （和或差） 本题是将复角化成单角，正（余）切和正（余）弦常常互化欲求 tan的值，需化切为弦，即tantan tansin coscos sin，可再求 sincos、cossin的值解： sin（ +） =2 ， sincos+cossin=32 3sin（ ）= 3 ， sin cos cossin= 3 4由（ +） （）得4tantan= 177. 分析：从角与角的关系探究三角函

7、数间的关系；反之，利用三角函数间的关系去判断角的大小及关系， 这是常用的基本方法 可以先化去对数符号， 将对数式转化为有理式，然后再考察 a、b、c 的关系及大小，据此判明形状特征解：由于 lgsina lgsinb lgcosc=lg2 ， 可得 lgsin a=lg2+lgsin b+lgcosc，即 lgsin a=lg2sin bcosc，sina=2sin bcosc根据内角和定理，a+b+c=，a=（ b+c）sin（ b+c）=2sinbcosc，即 sin bcosc+cosbsinc=2sinbcosc 移项化为 sinccosb sinbcosc=0， 即 sin（b c）

8、 =0在 abc 中， c=b abc 为等腰三角形8. 分析：这道题要观察出7+8=15 ，解题过程中还需要应用两角和与差的正弦、余弦公式解： sin 7cos7cos15 sin 15sin 8sin 8sin(15=cos(158 )cos158 )sin 15sin 8sin 8= sin 15 cos15cos 8 cos8cos15 sin15sin 8sin 8cos15 sin 15sin 8sin 8= sin 15 cos15=23 9解：（ 1）原式 =sin（ 30+45 ） = sin30cos45 +cos30 sin451 2 +=223222=26 4（2）原式

9、 = sin （ 13+17）=sin30 = 1 210. 解：观察分析这些角的联系，会发现= 7 sin7 cos2 sin sin 2921818999=sin7 cos2 sin（ 7 ） sin 2 1892189=sin7 cos2 cos 7sin 2 1891897 2 =sin（）189=sin 6= 1 211. 解：设边锋为c， c 到足球门 ab 所在的直线的距离为co =x， ob=b，oa=a（ ab 0， a、b 为定值）， aco=， bco=， acb= （ 0 ），2则 tan=a ， tan= b （ x 0， ab 0） xxxab所以 tan=tan（

10、 ） =tantanxxababab1tantanab1x 2xx2ab当且仅当 x= ab ，即 x=ab 时，上述等式成立 又 0 ，tan为增函数，所以当 x=abx2时， tan达到最大，从而acb 达到最大值 arctan ab 2ab所以边锋 c 距球门 ab 所在的直线距离为ab 时，射门可以命中球门的可能性最大12. 解：此题考查 “变角 ”的技巧由分析可知2=（ ） +（ +）由于 3 ，可得到 + ， 0 2cos（+） =4244 ， sin（ ） = 5 513sin2 =sin（ +） +（ ）=sin（ +） cos（ ） +cos（ +） sin（）=（312）5

11、13+（45） 513= 56 6513. 证明： sin（ +） sin（ ） =（ sincos+cossin）（sin cos cossin）2222=sincos cos sin =sin2222（1 sin ）（ 1sin ） sin =sin222222sinsin sin +sin sin =sin2sin 2，所以左边 =右边，原题得证计算 sin220+sin80 40=60 20，所以 sin220+sin80sin40sin40，需要先观察角之间的关系经观察可知80=60 +20，=sin220+sin （60+20 ） sin （ 60 20）=sin220+sin 2

12、60 sin220=sin260= 3 4分析： 此题目要灵活运用“化切为弦 ”的方法， 再利用两角和与差的三角函数关系式整理化简14解：原式 = 2sin50+sin10（1+3 tan10） 2 sin2 80=2sin50+sin10（1+3sin 10 cos10） 2 cos2 10=2sin50+sin10cos10（3 sin 10 cos10）2 cos2 10=（2sin50+2sin10cos 50cos10） 2 cos10=22 （ sin50cos10 +sin10cos50 ）=22 sin60 = 6 15解：（ 1）设 t=sin x+cosx=2 sin（ x

13、+ ）2 ， 2 ，4则 t 2=1+2sin xcosx2sin xcosx=t2 1y=t2+t+1= （ t+1 ） 2+23 43 ， 3+2 4y max=3+2 ，ymin = 3 4（2）若 x 0， ，则 t 1， 2 2y 3， 3+2 ，即 y max=3+2 ymin=33.1 两角和与差的正弦余弦正切公式一、选择题：1. sin165o 等于（）136262a bcd22442. sin14ocos16o+sin76ocos74o的值是（）31a b2231cd -22sin-3 cos的值是（）1212a 0b 2c2d2 sin35124. abc 中，若 2cos

14、bsina=sinc则 abca 等腰直角三角形b 直角三角形5. 函数 y=sinx+cosx+2 的最小值是（的形状一定是（c等腰三角形）d 等边三角形a 2- 2b 2+ 2c 0d 1二、填空题1tan1561tan15=127. 如果 cos= -13(, 32) ，那么 cos() =48. 已知,为锐角，且 cos=1cos (7) = - 11 ,则 cos=149. tan20o+tan40o+3 tan20otan40o的值是10. 函数 y=cosx+cos(x+) 的最大值是3三、解答题11. 若 ,是同一三角形的两个内角，cos= -14,cos() =-2 .求 c

15、ot的值39312. 在 abc 中，若 cosa=512,cosb=13, 试判断三角形的形状13. a、b、c 是一条直路上的三点， ab 与 bc 各等于 1 km.从三点分别遥望塔 m，在 a 处见塔在东北方向，在 b 处见塔在正东方向，在c 处见塔在南偏东60，求塔与路的最短距离 .14. 求 tan15、 tan75的值 .15. 求sin 15sin 15cos15 cos15的值 .参考答案一、选择题：1.d2.b3.b4.c5.a二、填空题：37216：7：8：9： 310： 33262三、解答题：11、 解：,是同一三角形的两个内角00,cosb=5130 a ，b 为锐角

16、sina=1cos2a = 45sinb=1cos2b = 513 cosc=cos-(a+b)=-cos(a+b)=-（ cosacosb-sinasinb ） =16 065 c 即 c 为钝角2 abc 为钝角三角形 .13. 解：如下图，设塔到路的距离md 为 x km， bmd =，cbmd则 cmd =+30a， amd=45， ab=bd+da=xtan（ 45）+xtan，bc=cd bd=xtan（ 30+） xtan.因为 ab=bc=1，所以 xtan（ 45 ）+xtan=xtan（30+） xtan=1.解得 x=所以1tantan(451)tan(30 11.)tan，tan1tantan30tantan即 1tantan31tan.tan30tan1tan21tan2解得 tan=31 .2所以 x= 1tan tan2753 .13因此塔到路的最短距离为75313km.1314. 解： tan