四边形中“新定义”型试题探究（精华版）

1、四边形中“新定义”型试题探究浙江省象山县丹城中学王赛英徐敏贤 邮编 315700所谓“新定义” 型试题，是指在试题中给出一个考生从未接触过的新概念，要求考生现学现用，主要考查考生阅读理解能力、应用新知识能力、逻辑推理能力和创新能力. 给“什么”，用“什么”，是 “新定义”型试题解题的基本思路. 以四边形为背景的几何“新定义” 型试题，看似平淡无奇，仔细研读却发现试题韵味无穷，极具探究价值和选拔功能. 求解这类试题的关键是： 正确理解新定义， 并将此定义作为解题的依据，同时熟练掌握相关的基本 概念、性质 , 把握图形的变化规律 .一、以特殊点为契机进行“新定义”例 1 （ 2007 年宁波市中考

2、数学试题）四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四 边形的准等距点 如图 l ，点 p为四边形 abcd 对角线 ac 所在直线上的一点， pd=pb ，papc，则点 p 为四边形 abcd 的准等距点(1)如图 2，画出菱形 abcd 的一个准等距点(2)如图 3，作出四边形图痕迹，不要求写作法)abcd的一个准等距点(尺规作图 ,保留作(3)如图 4，在四边形 abcd 中， p 是 ac 上的点， pa pc，延长bp 交 cd 于点 e，延长 dp 交 bc 于点 f，且 cdf= cbe ，ce=cf

3、 求证：点 p 是四边形 abcd 的准等距点图 1(4)试研究四边形的准等距点个数的情况必证明 )(说出相应四边形的特征及准等距点的个数，不ddpecapcbf图 2ab图 3图4图 4解:（ 1）如图 2，连结 ac, 在 ac 上任取除 ac 中点外的点 p,点 p 即为所画点（ 2）如图 3，连结 bd, 作 bd 的中垂线交直线 ac 于点 p,因点 p 不是 ac 的中点 ,故点 p即为所求作点（ 3）如图 4，连结 db ，在 dcf 与 bce 中， cdf= cbe ， dcf= bce ，cf=ce. dcf bce(aas) ， cd=cb, cdb= cbd, pdb=

4、 pbd ， pd=pb ，papc,点 p 是四边形 abcd 的准等距点 .（ 4）当四边形的对角线互相垂直且任何一条对角线不平分另一对角线时，准等距点的个数为 0 个；四边形的对角线互相垂直且至少有一条对角线平分另一对角线时，准等距点有无数个6当四边形的对角线不互相垂直，但互相平分时，准等距点的个数为0 个；当四边形的对角线不互相垂直，又不互相平分， 且有一条对角线的中垂线经过另一对角线的中点时，准等距点的个数为1 个；当四边形的对角线既不互相垂直又不互相平分，且任何一条对角线的中垂线都不经过另一条对角线的中点时，准等距点的个数为2 个.评析：本道题以特殊点为契机，创设了一个全新的概念

5、四边形的准等距点 .第（ 1） 小题是新定义的简单应用.第（ 2）小题根据新定义的内涵作图，其实质作一对角线的中垂线与另一对角线的交点，且这一交点不在另一对角线的中点上；思维敏锐、镇定从容的同学，从作图中不难发现一般的四边形等距点可能为0、1、2、无数个 .第（ 3）小题，常中见新、拙中藏巧，利用新定义及三角形有关知识就可使命题获证.第（ 4）小题则难度极大，对分析问题能力、分类讨论能力、抽象思维能力、归纳能力及语言表达能力提出了极高的要求.好在（ 1）、（ 2）两小题解决后累积的经验，为第（4）小题解决铺设了平台，尤其是第（2）小题画图时产生的灵感，为第（4）小题的解决指引着思维的方向.于是

6、，类比、联想能力强, 思维敏捷的同学会从对角线位置关系入手，对四边形等距点个数进行分类研究；思维严密、深刻的同学，会根据对角线垂直与否及是否平分，分成五类，最后，经抽象、归纳成四类.二、以特殊边为契机边进行“新定义”例 2 （ 2007 年北京市中考数学试题）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.（ 1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（ 2）如图，在 abc 中，点 d，e 分别在 ab ，ac 上，设 cd 、a1be 相交于点 o，若 a=60 ，dcb= ebc= a.请你写出图2fe中一个

7、与 a 相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；（ 3）在 abc 中，如果 a 是不等于 60的锐角，点d ，e 分b1d ogc图 5别在 ab ，ac 上， 且 dcb= ebc= a. 探究： 满足上述条件的2图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论.解：（ 1）平行四边形、等腰梯形等.（2） 答：与 a 相等的角是 bod （或 coe ） .四边形 dbce 是等对边四边形 .（3） 答：此时存在等对边四边形，是四边形dbce.证明：如图 5，作 cg be 于 g 点，作 bf cd 交 cd 延长线于 f 点， f=900= egc.dcbebc1a ， bc为公共边，

8、2bcf cbg. bf=cg. bdf= abe+ ebc+ dcb ， bec= abe+ a ， bdf= bec ，又 f=egc ，bdfceg ， bd=ce ，四边形 dbce 是等对边四边形 .评析： 此题以一组对边相等关系为契机， 创设了一个全新的概念 等对边四边形 .语言精练 ,设问流畅，层次感强 .解决此题，需较强的分析问题能力、推理论证能力 . 第（ 1）小题是新定义的简单应用 .第（ 2）小题的第一问，利用三角形的内外角的数量关系即可解决；而第二问，易得猜想： bd=ce ，四边形 dbce 为等对边四边形，但凭直角得到的猜想不一定可靠，为此大多数考生会设法证明自己的

9、猜想.由公共边 bc, dcb= ebc=1 a=30 ,2bod= coe=60 这些条件及要证的猜想bd=ce ，不难想到添辅助线的方法：分别过点b、c 作 cd 、be 的垂线 ,从而证明自己的猜想 .第（ 3）小题完全可类比第（ 2）小题的第二问进行， 先证 bcf cbg ，再证得bdf ceg ，继而使问题获得解决；当然，第（ 3）小题，也可作 hcb= dbc 交 be 于点 h，构造全等三角形 bdc 与 chb，得bd=ch ，再证 ch=ce ，也可使问题获得解决.三、以特殊角为契机进行“新定义”例 3（ 2006 年安徽省中考数学试题） 如图 6，凸四边形 abcd 中，

10、如果点 p 满足 apd apb = .且 bpc cpd ，则称点p 为四边形abcd 的一个半等角点( l）在图 7 正方形 abcd内画一个半等角点p，且满足 .( 2 ）在图 8 四边形 abcd中画出一个半等角点p，保留画图痕迹（不需写出画法）. ( 3 ）若四边形 abcd有两个半等角点 p1 、p2（如图 9 ) ，证明线段 p1 p2 上任一点也是它的半等角点.ddcpibapcabb图 6图 7图 8图 9解：（ 1）所画的点 p 在 ac 上且不是 ac 的中点和 ac 的端点，即可 .（ 2）画点 b 关于 ac 的对称点 b，延长 d b交 ac于点 p，点 p 即为所

11、求的点 .（ 3）连 p1a、p1d、p1b、p1c 和 p2d、p2b，根据题意 , a p1d= a p1b， d p1c= b p1c， a p 1b+ b p 1c=180 0, p1 在 ac上，同理， p2 也在 ac上.在 d p 1 p 2 和 bp1 p 2 中d p1 p2= b p1 p2， d p2 p1=b p2p1， p1 p2= p1 p2， d p1 p2 b p1 p2， p1d=p1b，p2d=p2b， b、d 关于 ac 对称.设 p 是 p1 p 上任一点，连结 pd 、pb，由对称性，得dpa=bpa ， dpc= bpc，点 p 是四边形的半等角点

12、.评析：此题以顶点相同的四个角满足特殊的数量、位置关系为契机, 创设了一个全新的概念 四边形半等角点 .第（ 1）小题是新定义的直接应用.第（ 2）小题，语言简洁、精练， 看似平淡，实则蕴涵丰富的思维内涵, 突出考查了学生灵活运用基础知识解决问题的能力. 通过分析，发现所求作的点在对角线ac上，且 dpa = bpa，但要画出点 p 仍不容易； 继续分析，发现 dpb 关于直线 ac 对称，点 b 关于 ac 的对称点 b在 dp 上，至此，才峰回路转，柳暗花明 . 第（ 3）小题要证明线段 p1 p2 上任一点也是它的半等角点，需先证a 、p1 、p2、b 四点在一直线上，再证线段p1 p2

13、 上任一点满足条件 dpa =bpa ， dpc=bpc ，从而使问题获证，此小题对思维的严密性提出了较高的要求.四、以特殊对角线为契机进行“新定义”例 4 (2006 年北京市中考数学试题)我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形请解答下列问题：（ 1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；（ 2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为600 时，这对 600 角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论 解：（ 1）矩形、等腰梯形.（ 2）结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为600 时,这对 600 角所

14、对的两边之和大于或等于一条对角线的长已知：四边形abcd 中，对角线 ac ， bd 交于点 o ， acbd ，且aod60o求证： bcad ac dada证明：过点 d 作 df ac ，在 df 上截取 de ，使 deac 连结 ce ， be oooebeedoaod60 ，四边形 aced是平行bccf f四边形， cead ；又 acbd ， de= ac =bd ， edo=60 0, bde 是等边三图 110图 11角 形 ， bedeac 当 bc 与 ce 在 同 一 条 直 线 上 时 （ 如 图 10 ）， 则bccebe ， bcadac 当 bc 与 ce 不

15、在同一条直线上时（如图11），在 bce 中，有 bccebe ， bcadac 综合、，得 bcad ac 即等对角线四边形中两条对角线所夹角为600 时，这对 600 角所对的两边之和大于或等于其中一条对角线的长评析： 此题以对角线之间满足相等关系为契机，创设了一个全新的概念 等对角线四边形 .第（ 1）小题考查学生运用新知识的能力及掌握课标规定的双基知识的情况.第（ 2）小题，语言精练 , 构思精巧， 涉及的知识点不多，但思维含量及高 .着重考查学生观察力、分析能力、逻辑推理能力 .好多考生面对此题，犹如“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路”. 解决此题， 可就其特殊情形入手， 即当此

16、等对角线四边形为梯形时先研究，不难想到等对角线梯形问题常添辅助线是平移对角线至过角的顶点，从而使特殊情形时问题获证；对于一般情形，则可类比特殊情形的方法，使问题得到解决.五、以特殊位置关系为契机进行“新定义”例 5 （ 2005年资阳市中考数学试题）阅读以下短文，然后解决下列问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形 ” 如. 图 12 所示，矩形 abef 即为 abc 的“友好矩形 ”.显然，当 abc 是钝角三角形时，其“友好矩形 ”只有一个 .(1) 仿照以上叙述，说明什么是一个三

17、角形的“友好平行四边形”；(2) 如图 13，若 abc 为直角三角形，且 c=90 ，在图 13 中画出 abc 的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；图 12图 13图 14(3) 若 abc 是锐角三角形， 且 bcacab，在图 14 中画出 abc 的所有“友好矩形” ， 指出其中周长最小的矩形并加以证明.解： (1) 如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合， 三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”.(2) 此时共有 2 个友好矩形，如图的矩形bcad 、abef .易知，矩形 bca

18、d 、abef 的面积都等于 abc 面积的 2 倍， abc 的“友好矩形” 的面积相等 .(3) 此时共有3 个友好矩形，如图的矩形bcde 、 cafg 及 abhk ，其中的矩形 abhk的周长最小 .证明：易知，这三个矩形的面积相等，令其为s. 设矩形 bcde 、cafg 及 abhk 的周长分别为 l1，l2，l3 ， abc 的边长 bc=a，ca=b，ab=c，则 l 1= 2s +2a，l 2= 2s +2b，l 3= 2s +2 c，abcl 1- l2=( 2s +2a)- ( 2s +2b)=2( a- b)abs ，而 abs， ab， l 1- l20 ，即 l1 l 2 .abab同理可得， l 2 l 3 .l 3 最小，即矩形abhk 的周长最小 .评析：此题以图形的特殊位置关系为契机，创设了一个全新的概念 等对角线四边形 .试题平和清新、 一题多问， 层层平缓递进， 为不同程度的学生展示自己的数学才华创设了平台.第（ 1）小题是新定义的直接应用.第（ 2）小题是新定义的简单应用.前两小题为第（ 3） 小题的解决作了铺垫 .第（ 3）小题的解决，要抓住“变”中的“不变量”：矩形面积相等； 然后，把