天津高中数学必修+选修全部知识点精华归纳总结(新课标人教A版)

1、高三第一轮复习资料（个人汇编请注意保密）1.课程内容：必修课程由5个模块组成：必修1 :集合、函数概念与基本初等函数（指、 对、幕函数）必修2:立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3:算法初步、统计、概率。必修4:基本初等函数（三角函数）、平面向量、 三角包等变换。必修5:解三角形、数列、不等式。以上是每一个高中学生所必须学习的。上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础 知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、 函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初 步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打 好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、 发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做 过高的要求。止匕

2、外，基础内容还增加了向量、算法、概 率、统计等内容。选修课程有4个系列：系列1:由2个模块组成。选彳11:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。选彳12:统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图系列2:由3个模块组成。选彳2-1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。选彳2-2:导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数选彳2-3:计数原理、随机变量及其分布列, 统计案例。系列3:由6个专题组成。选彳3-1 :数学史选讲。选彳32:信息安全与密码。选彳33:球面上的几何。选彳34:对称与群。选彳3-5:欧拉公式与闭曲面分类。选彳36:三等分角与数域扩充。系列4:由

3、10个专题组成。选彳4-1 :几何证明选讲。选彳42:矩阵与变换。选彳4 43:数列与差分。选彳4-4:坐标系与参数方程。选彳4 45:不等式选讲。选彳46:初等数论初步。选彳4-7:优选法与试验设计初步。选彳48:统筹法与图论初步。选彳49:风险与决策。选彳4-10:开关电路与布尔代数。2,重难点及考点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量， 圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点：集合与简易逻辑：集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件函数：映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用数列：数列的

4、有关概念、等差数列、等比数 歹i、数列求和、数列的应用三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 简、证明、三角函数的图象与性 质、三角函数的应用平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用不等式：概念与性质、均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值不 等式、不等式的应用直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位 置关系、线性规划、圆、 直线与圆的位置关系圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直 线与圆锥曲线的位置关系、 轨迹问题、圆锥曲线的应用直线、平面、简单几何体：空间直线、直线 与平面、平面与平面、棱柱、 棱锥、球、空间向量排列、组合和概率：排列

5、、组合应用题、二 项式定理及其应用(11)概率与统计：概率、分布列、期望、方差、 抽样、正态分布导数：导数的概念、求导、导数的应用复数：复数的概念与运算必修1数学知识点第一章：集合与函数概念1.1.1、集合1、把研究的对象统称为也!l,把一些元素组成的总体叫做 集上。集合三要素： 确定性、互异性、无序性。2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。3、 常见集合：正整数集合：n 或n ,整数集合：z ,有理数集合：q ,实数集合：r.4、集合的表示方法： 列举法、描述法. 1.1.2 集合间的基本关系1、一般地，对于两个集合 a、b,如果集合 a中任 意一个元素都是集合 b中的元素

6、，则称集合 a是集合b的子集。记作a b.2、如果集合a b,但存在元素x b,且x a, 则称集合a是集合b的真子集.记作：ab.3、把不含任何元素的集合叫做 空去_记作：.并规定： 空集合是任何集合的子集.4、如果集合a中含有n个元素，则集合 a有2n个子集，2n 1个真子集. 1.1.3 集合间的基本运算1、 一般地，由所有属于集合a或集合b的元素组成的集合，称为集合 a与b的并集.记作：a b .2、 一般地，由属于集合 a且属于集合b的所有元素 组成的集合，称为 a与b的交集.记作：a b .3、全集、补集？ cu a x|x u,且x u 1.2.1、函数的概念1、设a、b是非空的

7、数集，如果按照某种确定的对应 关系f ,使对于集合 a中的任意一个数 x ,在集 合b中都有惟一确定的数 fx和它对应，那么就 称f : a b为集合a到集合b的一个超鳌，记 作：y f x,x a.2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. 1.2.2 函数的表示法1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. 1.3.1 单调性与最大(小)值1、注意函数单调性的证明方法：(1)定义法：设 x、x2 a,b, x1x2那么f(xi) f(x2) 0 f(x)在a,b上是增函数； f(xi) f(x2) 0 f (

8、x)在a,b上是减函数.步骤：取值一作差一变形一定号一判断格式：解：设x1 ,x2a, b且x1 x2 ,则：f x1 f x2 = (2)导数法：设函数yf (x)在某个区间内可导，宣f(x) 0,则f (x)为增函数；宣f (x) 0 坦 f (x)为减函数. 1.3.2 奇偶性1、一般地，如果对于函数f x的定义域内任意一个x ,都有f x f x ,那么就称函数 f x为偶函数.偶函数图象关于 y轴对称.2、一般地，如果对于函数f x的定义域内任意一个x ,都有f x f x ,那么就称函数f x为奇函数.奇函数图象关于原点对称.知识链接：函数与导数1、函数 y f (x)在点x0处的

9、导数的几何意义：函数y f (x)在点x0处的导数是曲线 y f (x)在 p(x0, f (x。)处的切线的斜率 f (x0),相应的切线方 程是 y y f (x0)(x x).2、几种常见函数的导数 c0；(xn) nxn 1 ；(sin x) cos x ； (cos x) sin x ;(ax) ax|na；(ex) ex ；一 、1、1(logax)：佃乂) 一xln ax3、导数的运算法则 (1) (u v) u v.(2) (uv)u vuv .u-u vuv / c、(3) (一)2 (v 0).v v4、复合函数求导法则复合函数y f (g(x)的导数和函数y f (u),

10、 u g(x)的导数间的关系为 vx yu川， 即y对x的导数等于y xu的导数与u对x的导数的 乘积.解题步骤：分层一层层求导一作积还原.5、函数的极值(1)极值定义：极值是在x0附近所有的点，都有 f(x)v f (x0), 则f(x0)是函数f(x)的极大值；极值是在x0附近所有的点，者b有 f (x) f(x), 则f(x0)是函数f(x)的极小值.(2)判别方法：如果在x附近的左侧f(x) 0,右侧f(x) 0,如果在x0附近的左侧f (x) 0,那么f(x0)是极小值.6、求函数的最值求y f (x)在(a, b)内的极值(极大或者极小值)(2)将y f (x)的各极值点与f (a

11、), f (b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。注：极值是在局部对函数值进行比较(局部性质)；最值是在整体区间上函数值进行比较(整体性质)。第二章：基本初等函数(i) 2.1.1、指数与指数哥的运算1、一般地，如果xn a ,那么x叫做a的n次方根。其中n 1, n n .2、当n为奇数时，nana；当n为偶数时，nan |a .3、我们规定：n am man4、0, m, n运算性质:r s r s(i) a a a0,r,s q ;定义域：(0, +8)(2)值域：r(3)过定点(1, 0),即 x=1 时，y=0(4)在 (0, +8)上是增函数(5) x 1,loga

12、 x 0； 0 x 1, loga x 0r sarrsa a 0, r, s(4)在(0, +oo)上是减函数(5) x 1, log ax 0； 0 x 1,log a x 0ab rarbr a 0,b0,r2.1.2、指数函数及其性质1、记住图象：y aa0, a0a11 log a m n nloga m .5、换底公式:a 0, a6、重要公式:7、倒数关系:logab1,c 0,cloganlogabbm2、性质： 2.2.1、对数与对数运算1、指数与对数互化式:ax n2、对数恒等式：alog3、基本性质：log a1loga4、运算性质：当0,a1,m0, n 0时: log

13、 amnlog a mlog a log alogamlog a n ；logcb logc a1,b 0 .m.-loga b nlogb a 2.22、对数函数及其性质1、记住图象：y log a x aya 0,a 1,b 0,b 1 .0,a 1rn02、性质： 2.3、哥函数1、几种哥函数的图象:y = x-第三章：函数的应用3.1.1、方程的根与函数的零点y=log ax0a11、方程f x函数y函数y0有实根f x的图象与x轴有交点f x有零点.2、 零点存在性定理:如果函数y f x在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 fa f b 0 ,那么函数y f x在区间a

14、,b内有零点，即存在 c a,b ,使得f c 0,这个c也就是方程f x 0的根. 3.1.2 二分法求方程的近似解1、掌握二分法. 3.2.1 几类不同增长的函数模型 3.2.2 函数模型的应用举例1、解决问题的常规方法：先画散点图，再用适当的函 数拟合，最后检验.必修2数学知识点第一章：空间几何体1、空间几何体的结构常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有： 圆柱、圆锥、圆台、球。棱柱:有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且 每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围 成的多面体叫做棱柱。棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与 截面之间的部分，这样的多面体叫做

15、棱台。2、空间几何体的三视图和直观图把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影 的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫 平行投影，平行投影的投影线是平行的。3、空间几何体的表面积与体积圆台侧面积：s侧面r l r l体积公式：1 c -v柱体s h ； |体二 s h ；球的表面积和体积：24 _3s球 4 r2, v球-r3.3第二章：点、直线、平面之间的位置关系1、公理1：修条匕线上两点在一个平面内，那么这条 直线在匕扁以 2、公理2:隹了i直线上的三点,有且只有一个平面.3、公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它 们有且只有一条过该点的公共直线。4、公理4:平行

16、于同一条直线的两条直线平行.5、店里：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这 两个角相等或互补。6、线线位置关系： 平行、相交、异面。7、线面位置关系： 直线在平面内、直线和平面平行、直 线和平面相交。8、面面位置关系： 平行、相交。9、线面平行:判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则 该直线与此平面平行（简称线线平行，则线面平行） o性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一 平面与此平面的交线与该直线平行（简称线面平行，则 线线平行）。10、面面平行:判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行， 则这两个平面平行（简称线面平行，则面面平行）o性质：如果两个平行平面同

17、时和第三个平面相交，那么 它们的交线平行（简称面面平行，则线线平行）。11、线面垂直:定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线， 那么就说这条直线和这个平面垂直。判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直， 则该直线与此平面垂直（简称线线垂直，则线面垂直）性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。12、面面垂直:定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面 角，就说这两个平面互相垂直。判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个 平面垂直（简称线面垂直，则面面垂直）。性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的 直线垂直于另一个平面。（简称面面垂直，则线面垂直）第三章：直线

18、与方程v2 v11、倾斜角与斜率： k tan 匚x2 x12、直线方程：点斜式： v y0 k x x0斜截式:y kxli : ax by ci0 与 l2 ： axby c2 0平行,两点式:y yiy2yicic2截距式:一般式:ax3、对于直线:xix2 xiby c 0li : y kix bi,l2 : y k2x b2有: l1l2kibik2b2li和l2相交kik2 ；li和l2重合kibik2b2 l i l2 ki k24、对于直线:li : aixl2 : a2xbiycib2 yc20,有:0 lil2ab2bga2bb2g li和l2相交aib2a2bl1和l2重

19、合ab2bc2a2bib2cl li l2aia2bib25、两点间距离公式:pip222.x2xi y2yi6、点到直线距离公式:a% by。 c d a2b27、两平行线间的距离公式:a2b2第四章：圆与方程 i、圆的方程：标准方程：x a其中圆心为（a, b）,半径为r .一般方程：x2其中圆心为（d,22y dx ey2） 径为2、直线与圆的位置关系直线ax by c 0与圆的位置关系有三种(x22a) (y b)dr相离0dr相切0dr相交055弦长公式:2 , r2 d2i kj% x2)2 4xix23、两圆位置关系:doio24f .外离 外切 相交 内切 内含d d r d

20、d3、空间中两点间距离公式:pip2222x2xi yyiz2zi必修3数学知识点第一章：算法i、算法三种语言：自然语言、流程图、程序语言；2、流程图中的图框：起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等规范表示方法；3、算法的三种基本结构：顺序结构、条件结构、循环结构当型循环结构直到型循环结构（图4）直到型（until型）循环结构示意图:顺序结构示意图:条件结构示意图：if-then - else 格式:4、基本算法语句：输入语句的一般格式:卜nput “提示内容”；变量输出语句的一般格式：print “提示内产”；表达式赋值语句的一般格式：变聿=表达式 一（“ 二 ”有时也用“一”）.条件

21、语句的一般格式有两种：if-then - else语句的一般格式为：if 条件 then语句1else语句2end if （图 2）if-then语句的一般格式为：if 条件then语句end if（图 3）while条件循环体（图4）wend循环语句的一般格式是两种：当型循环（whiles语句的一般格式:直到型循环（until）语句的一般格式:do循环体loop until 条件方差：s(xi x)；i 1-2 nx（图5）算法案例：辗转相除法一结果是以相除余数为 0而得到利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下:i）:用较大的数m除以较小的数n得到一个商s0和 一个余数ii）：若ro = 0,

22、则n为成n的最大公约数；若r w0,则用除数n除以余数r0得到一个商s1和一个余 数r ;而）：若r = 0,则ri为日n的最大公约数；若r w 0,则用除数 r除以余数r,得到一个商s2和一个余数 r2 ；依次计算直至rn = 0,此时所得到的rn 1即为所求 的最大公约数。更相减损术一结果是以减数与差相等而得到利用更相减损术求最大公约数的步骤如下:i）:任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。ii）:以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与 所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直 到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的 最大公约数。进位制

23、十进制数化为k进制数一除k取余法k进制数化为十进制数第二章：统计1、抽样方法：简单随机抽样（总体个数较少）系统抽样（总体个数较多）分层抽样（总体中差异明显）注意：在n个个体的总体中抽取出 n个个体组成样本，每个个体被抽到的机会（概率）均为 口。n2、总体分布的估计：一表二图：频率分布表一一数据详实频率分布直方图一一分布直观频率分布折线图一一便于观察总体分布趋势注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。茎叶图：茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据 的分布，以及中位数、众位数等。个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大 书写，相同的数据重复写。3、总体特征数的估计：平均数：x x1

24、x2 x3xn ;n取值为为/2, ,xn的频率分别为p1, p2, , pn ,则其平均数为 x1 p1 x2p2xnpn 注意：频率分布表计算平均数要取组中值。方差与标准差：一组样本数据 x1,x2, ,xn标准差：s 注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的 稳定水平。线性回归方程变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；制作散点图，判断线性相关关系 线性回归方程：y bx a （最小二乘法）nx yi nxyi 1b n2 xii 1bx注意：线性回归直线经过定点（x, y） o第三章：概率1、随机事件及其概率：事件：试验的每一种可能的结果

25、，用大写英文字母表不；必然事件、不可能事件、随机事件的特点；随机事件a的概率：p（a） m,0 p（a） 1 . n2、古典概型：基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；古典概型的特点：所有的基本事件只有有限个；每个基本事件都是等可能发生。古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有n个，事件a包含了其中的m个基本事件，则事彳a发生的概率p（a） m. n3、几何概型：几何概型的特点：所有的基本事件是无限个；每个基本事件都是等可能发生。几何概型概率计算公式：p（a） d吗度； d的测度其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、体积等。4、互斥事件：不可能同时发生的两个事件称为互

26、斥事件；如果事件ai，a2，,an任意两个都是互斥事件， 则称事件ai,a2, , an彼此互斥。如果事件a, b互斥，那么事件 a+b发生的概率，等于事件a, b发生的概率的和，即：p(a b) p(a) p(b)如果事件ai,a2, , an彼此互斥，则有：p(al a an) p(ai) p(a2)p(an)对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称 这两个事件为对立事件。事件a的对立事件记作ap(a) p(a) 1, p(a) 1 p(a)对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事 件。必修4数学知识点第一章：三角函数 1.1.1、任意角1、 正角、负角、零角、象限角 的概念.2、

27、与角终边相同的角的集合：2k ,k z . 1.1.2、弧度制1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度sin , cos , tan , cot rrxy3、sin , cos , tan 在四个象限的符号和三角函数线的画法.5、特殊角 0 ,30 ,45 ,60 ,90 ,180 1 ,270等的三角函数值0647322332sincostan122、同角三角函数的基本关系式1、平方关系：. 2 sin2 cos12、商数关系：tansin.cos3、倒数关系：tancot 1 1.3、三角函数的诱导公式(概括为“奇变偶不变，符号看象限 k z)1、诱导公式一：的角.sin2ksin

28、,cos2kcos,(其中：k z )tan2ktan .rn r3、弧长公式：l n-r.2、诱导公式二：sinsincoscostan tan .1804、扇形面积公式：s n-r- -1r .3602 121、任意角的三角函数 1、设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点3、诱导公式三 ：sinsincos costantanp x, y ,那么： sin y, cos x, tan x2、设点ax,y 为角 终边上任意一点，那么：(设rx2 y2 )4、诱导公式四sinsin ,coscos,tantan.5、诱导公式五：sincos,2cos-sin.26、诱导公式六：sin cos

29、 , 2cos -sin .2 1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象：y=sinxy-5 尸、x广、22 1-4.473-3、正钩函数的图场o性质、，2y=cosxyi!dw1一丁. -22、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性 .3、会用五点法作图.y sin x在x 0, 2 上的五个关键点为:3(0,0),(5,1),( ,0),(d,(2 ,0).2221、记住正切函数的图象：y, y=tanxij3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质:2、记住余切函数的图象:yi y=cotx定义域

30、、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性周期函数定义：对于函数f x ,如果存在一个非零常数t,使彳#当x取定义域内的每一个值时，都有 f x t f x ,那么函数f x就叫做周期函数，非零常数t叫做这个函数的周期.y sin xy cosxy tanx图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质图象i yo卜/ ! : 五l1x-1_/ x4 vlxy0kxl/ m-f1itl y asin x,1、横坐标变为原来的|倍平移一个单位 y asin x（左加右减）平移|b|个单位, y asin x b（上加下减）函数 y sin( x ),xcr及函数 y cos( x ), 2xcr(a

31、,为常数，且aw 0)的周期t 一 ；函数 y tan( x ),x k ,k z (a, w,为 2常数，且aw 0)的周期t 一 .对于 y asin( x )和 y acos( x )来 说，对称中心与零点相联系，又称轴与最值点联系.求函数y asin( x )图像的对称轴与对称中心，只需令 x k (k z)与 x k (k z) 2解出x即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.4、由图像确定三角函数的解析式利用图像特征：a ymax yminb ymax ymin22要根据周期来求，要用图像的关键点来求. 1.6、三角函数模型的简单应用1、要求熟悉课本例题.第三章、三角恒等变换 3.1.

32、1、两角差的余弦公式记住15。的三角函数值：sincostan我66工2x62 3344 3.1.2、f两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、sinsincoscossin2、sinsincoscossin3、coscoscossinsin4、coscoscossinsin5、tantantan1 tan tan.6、tantantan1 tan tan. 3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式1、sin 22sin cos ,变形：, sin cos2 sin 2.2、cos 22 cos. 2 sinc 22 cos11 2sin2变形如下：升哥公式:1 cos 21 cos 222cos

33、2sin2降哥公式:21cos 2. 21sin 2(1 cos 2 )(1 cos2 )3、tan 22tan1 tan2.4、tansin21 cos21 cos2sin 23.2、简单的三角恒等变换1、注意正切化弦、平方降次.2、辅助角公式y asin x bcosx . a2 b2 sin(x )(其中辅助角 所在象限由点(a,b)的象限决定，tan b ).a第二章：平面向量 2.1.1 、向量的物理背景与概念1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度2、既有大小又有方向的量叫做 皿|. 2.1.2 、向量的几何表示1、带有方向的线段叫做 有向线段，有向线段包含三 个要素：起点、

34、方向、长度.2、向量ab的大小，也就是向量 ab的长度(或称uuu模)，记作ab ;长度为零的向量叫做 零向量；长度等于1个单位的向量叫做 单位向量.3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(或共线向量).规定：零向量与任意向量平行. 2.1.3 2.1.3、相等向量与共线向量1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 2.2.1 2.2.1、向量加法运算及其几何意义 2.2.2、向量减法运算及其几何意义1、与a长度相等方向相反的向量叫做a的相反向量.2、三角形减法法则 和平行四边形减法法则. 2.2.3、向量数乘运算及其几何意义1、规定：实数 与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.

35、记作:a ,它的长度和方向规定如下： a |a ,当 0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反.2、平面向量共线定理：向量a a 0与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使b a. 2.3.1 平面向量基本定理1、平面向量基本定理：如果e, ,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a ,有且只有一对实数1, 2,使a1ei2e2. 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示1、 a xi y j x, y . 2.3.3 平面向量的坐标运算线段ab中点坐标为x1 x2y1 y22，-2 )1、三角形加法法则 和平行四边形加法法则1、设 ax1, y1，bx2

36、,y2 ,则：-ik- abx1x2, yy2,-f-* abx1x2, yy2, ax1, y1 , abx1y2 x2yl.2、设 a x1，y1，b x2, y2 ,贝u：ab x2 xl y1. 2.3.4 平面向量共线的坐标表示1、设人治，丫1用*2,丫26*3,丫3,则 abc的重心坐标为x1 x2 x3 y1 y2 y3 .3,3 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义1、a b |a|b|cos .2、 a在b方向上的投影为：a cos .r223、a a.4、h 厅.5、a b a b 0. 2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、设 a x1, y，b x

37、2n2 ,则： a b x1x2 y1 y2 hx2 y；r rr r a b a b 0 xx2 y1y2 0r rr r a/b a b x1y2 x2y1 02、设 a x1, y1，b x2, y2 ,则：tt 22ab 飞 x2 x1y2 y1 .3、两向量的夹角公式cosx1x2nw2平移前的点为p(x, y)(原坐标)，平移后的对应点函数uult为p(x,y)(新坐标)，平移向量为 pp (h,k),x hy k.ry f (x)的图像按向量 a (h,k)平移后的图像的解析式为y k f(x h). 2.5.1 平面几何中的向量方法 2.5.2 向量在物理中的应用举例2、用向量

38、方法判定空间中的平行关系线线平行r r设直线li2的方向向量分别是a、b，则要证明li /r r r rl2,只需证明 a / b ,即 a kb(k r).即：两直线平行或重合知识链接：空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.1、直线的方向向量和平面的法向量.直线的方向向量：ulut若a、b是直线l上的任意两点，则ab为直线l的uur一个方向向量；与ab平行的任意非零向量也是直线 l的方向向量.平面的法向量：r若向量n所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作n ,如果n，那么向量n叫做平面的法向量.平面的法向量的求法

39、(待定系数法)：建立适当的坐标系.r设平面 的法向量为n (x,y,z).两直线的方向向量共线。线面平行r(法一)设直线l的方向向量是a ,平面 的法向rr r r r量是u ,则要证明l / ,只需证明a u ,即a u 0.即：直线与平面平行求出平面内两个不共线向量的坐标rita (a1,a2,a3), b (卜也，4)r r根据法向量定义建立方程组n a 0 r rn b 0解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量.(如图)两直的法向rrau.内的两r（法二）设直线l的方向向量是a ,平面it ur 个相交向量分别为m、n,若a m 0r r ，则 la n 0直线的方向向量与该平面的法

40、向量垂直且直线在平面外（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可 以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线 向量即可.面面平行若平面的法向量为u,平面的法向量为v,要r r r r证 /,只需证u / v ,即证u v.即：两平面平行或重合线的方向向量垂直。线面垂直r（法一）设直线l的方向向量是a ,平面量是u,则要证明i,只需证明a / u, ir it即：直线与平面垂直两平直线面的法向量共线。3、用向量方法判定空间的垂直关系的方向向量与平面的法向量共线线线垂直r r设直线l1,l2的方向向量分别是 a、b,则要证明r r r r11 l2,只需证明a b ,即a b 0.即：两直线垂

41、直求直线和平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角.求法：设直线;谕方向向量为a,平面的法向量为u为,auw则为的余角或的余角.即有：sin|cos |求二面角直线的 方向向量与平面 内 两条不共线直线 的 方向向量都垂直。面面垂直rr若平面 的法向量为u ,平面 的法向量为v,要r r r r证 ，只需证u v ,即证u v 0.定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分,其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面 角的棱，每个半平面叫做二面角的面 .二面角的平面角是指在二面角l 的棱上任取一点

42、 o,分别在两个半平面内作射线即：两平面垂直分别为m、n,再设m、n的夹角为 ，二面角ur rl的平面角为，则二面角为m、n的夹角或其补角根据具体图形确定是锐角或是钝角:两平面的法向量垂直。4、利用向量求空间角求异面直线所成的角已知a,b为两异面直线，a, c与b, d分别是a, b上的任意两点，a,b所成的角为 ，uur unrac bd贝u cosuuuriiunr .|ac|bd如果如果是锐角，则cos |cosur rm ni-fipmn，arcco是专屯角,贝u coscos iur rm nir r m narccos-trpm nr uultn mprn6、三垂线定理及其逆定理5

43、、利用法向量求空间距离 点q到直线l距离r ,.若q为直线i外的一点，p在直线i上，a为直线的 r uuu方向向量，b =pq ,则点q到直线l距离为点a到平面的距离若点p为平面外一点，点m为平面 内任一点,r平面的法向量为n ,则p到平面的距离就等于uultmp在法向量n方向上的投影的绝对值uuumptuuultcos； n, mpuuitmpr uut n mp r uuu n mpr uultn mprn直线更与平面七间的距离当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平 面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化 为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。r uultn mpr

44、n(4)两平行平面, 之间的距离利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。r uultin mp即 d 一.n异面直线间的距离r设向量n与两异面直线a,b都垂直，m a, p b,uuutr则两异面直线a,b间的距离d就是mp在向量n方向上投影的绝对值。三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果它和这个 平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂 直.推理模式:popai,0ap,a 0aa p概括为：垂直于射影就垂直于斜线.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的 射影垂直.po推理模式：pa i,0aa ao,a ap概括为：垂直于斜线就垂直于射影7、三余弦定理设ac是平面 内的任一条直线，ad是 的一条 斜线ab在 内的射影，且bdl ad,垂足为d.设ab与(ad)所成的角为 与ac所成的角为1 , ad与ac所成的角为cos 1cos 2.8、平面2, ab1