河北省石家庄市高三数学上学期第五次月考试卷理(含解析)

1、2015-2016学年河北省石家庄市正定中学高三（上）第五次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共有 12个小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1 .已知acr,若卷箸为实数，则a=（）a. - 2 b. -= c. = d. 2 222 .下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间（0, 1）内单调递增的是（）a. y=vb. y=xsinxc. y=lg 芯 d. y=ex - e xgo3 .已知实数x、y满足20，则z=x - 2y的最大值为（）x - y 一1qa. - b. 1 c. 2 d. 44 .直线x - y+m=0与圆x2+y2

2、- 2x - 1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是（）a. - 3 m 1b. - 4 m 2c. 0 v m1d.m- 1,若关于 )x不等式f （x） v 0的整数解b.一c.d.二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分.请将答案填写在答题纸上13.在（1 - x） 6 （2-x）的展开式中含x3的项的系数是 14.已知数列an满足a1=15,:2,则3l的最小值为n15.如图，正方体 abcd- a1bc1d的棱长为1, e为线段b1c上的一点，则三棱锥 a- ded的体 积为.dic116. f是双曲线r： x2-匚=1的右焦点，r4的右支上一点 p到一条渐近线的距离为2,在另一

3、条渐近线上有一点q满足fp=1pq，则入=三、解答题：本大题共 6小题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 .在锐角 abc中，角a, b, c的对边分别为a, b, c,已知a, b, c依次成等差数列, 且求a+c的取值范围18 .已知数列an的各项均是正数，其前 n项和为sn,满足s=4-an.(1)求数列an的通项公式；1(2)设 bn=.log2an(ncn*),数列bnbn+2的前n项和为tn,求证:tn k)0.100.050.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.879(1)求证：ab pc.(2)若二面角m/f ac- d

4、的大小为45 ,求bm与平面pac所成的角的正弦值.2221 .已知椭圆c:，+ -=1 (ab0)的离心率为 自，以原点。为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x - yd=0相切.(i)求椭圆c的标准方程；卜、(n)若直线l ： y=kx+m与椭圆c相交于a b两点，且koa?kob=-匕亍，判断 aob的面积是 a否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由.22 .已知函数,其中常数 a0.4 冠(1)讨论函数f (x)的单调性；(2)已知。a之，f (x)表示f (x)的导数，若xi, x2c (-a, a) , x1wx2,且满足f (xi) +f ( x2)=0,试比较f

5、 ( xi+x2)与f (0)的大小，并加以证明.2015-2016学年河北省石家庄市正定中学高三（上）第五次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共有 12个小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知acr,若掾为实数，则a=()a. - 2 b. - c. d. 222【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念.【分析】利用复数的除法的运算法则化简复数为a+bi的形式，通过虚部为 0,求解即可.解:为实数，可得2+i1+ai (1+&d12 7) 2+a+(2a- di故选：c.2.a.0, 1）内单调递增的是（y二 一，卜列四

6、个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间（【考点】奇偶性与单调性的综合.【分析】根据奇偶函数的定义及基本函数的单调性逐项判断即可得到答案.【解答】解：a中，: y相彳的定义域为0 ,+）,不关于原点对称，y=/7为非奇非偶函 数，故排除a;b中,c中, lgtd中,-.1 一 xsin ( x) =xsinx , y=xsinx为定义域上的偶函数，故排除 b;y=ig1 - x1+x=lg(1 +1+i2递增，t= - 1 + +在（0, 1）上递减,1）上递减，故排除e x-e ( x) =e x-ex=-( ex-e-x),，y=ex-e.x是奇函数,又y=ex递增，y= -e-x递增，y=

7、ex-e-x是（0, 1）内的增函数; 故选d.3.已知实数x、y满足卜+产20，则z=x - 2y的最大值为（）l y -a. - b. 1 c. 2d. 4【考点】简单线性规划.【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解, 把最优解的坐标代入目标函数得答案.【解答】解：由约束条件s+y - 20k -y - 140作出可行域如图,化目标函数z=x - 2y为广会-由图可知，当直线 尸j一看过a (0, -1)时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为0-2 x (- 1) =2.故选：c.4.直线x - y+m=0与圆x2+y2 - 2x - 1=0有两个

8、不同交点的一个充分不必要条件是()a. - 3v m 1 b. - 4 m 2 c. 0 v m 1d. m0,列出关于 m的不等式，求出不等式的解集得到 m的范围，在四个选项中找出解集的一个真子集即为满足题意的充分不必要条 件.【解答】解：联立直线与圆的方程得：k - y+nro取 - 1=0，消去 y 得：2x2+ (2mr 2) x+mi - 1=0,由题意得： = (2m 2) 2 8 ( m2 1) = - 4 ( m+$ 2+16 0,变形得：(m+3)( m- 1) 0,解得：-3vm 1,0 rk 1是-3v rk 1的一个真子集，直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是0

9、vrk 1.故选c.5.已知 sin a +，cosa = v,贝u tan a =()【考点】同角三角函数基本关系的运用.【分析】已知等式两边平方，利用完全平方公式变形，分母看做“ 1”，利用同角三角函数间的基本关系化简，即可求出tan e的值.【解答】解：已知等式两边平方得：(sin “2=sin 2 a +2/2sina cos a +2cos2 a =3,. sin2 cl+2v2sinclcoea+2cos2a _tan+2诟,门口+2 ” .=3sin ol +co g2tan2 ct +1整理得：(v2tan “ - 1) 2=0, 解得：tan a = jn. 2故选：a.6.

10、执行如图所示的程序框图，若输入的p=5, q=6,则输出的a, i的值分别为（rwja. 5, 1 b. 30, 3【考点】循环结构.c. 15, 3d. 30, 6【分析】根据得到该程序的功能是求 p、q两个数的最小公倍数，由此写出程序执行的步 骤，结合题意即可得答案.【解答】解：根据题中的程序框图，可得该程序按如下步骤运行第一次循环，i=1 , a=5x1=5,判断q是否整除a;由于q=6不整除a=5,进入第二次循环，得到由于q=6不整除a=10,进入第三次循环，得到由于q=6不整除a=15,进入第四次循环，得到由于q=6不整除a=20,进入第五次循环，得到 由于q=6不整除a=25,进入

11、第六次循环，得到 由于q=6整除a=30,结束循环体并输出最后的 因此输出的 a=30且i=6故选：di=2 , a=5x 2=10,判断q是否整除a；i=3 , a=5x3=15,判断q是否整除a;i=4 , a=5x4=20,判断q是否整除a； i=5 , a=5x5=25,判断q是否整除a；i=6 , a=5x 6=30,判断q是否整除a； a、i值7.将函数 f (x) =sin (2x+(j)冗jt（u 亏）的图象向左平移个单位后的图形关于原点对称，则函数f （x）在0 ,匚1上的最小值为（【考点】正弦函数的图象.【分析】由条件根据函数 y=asin （cox+ 4）的图象变换规律，

12、正弦函数的图象的对称性可得冗+ j =k兀，3k c z,由此根据|（f）| 0）的左、右焦点，且|f if2|=2c ,若椭圆上存在点 p使得|pf1卜|pf2 |二2c l则椭圆的离心率的最小值为（）a-bc.四d. 232【考点】椭圆的简单性质.【分析】由椭圆的定义可得|pfi|+|pf 2|=2a ,联立|pfi| ?|pf2|=2c2,求出|pf2| ,由|pf2| a- c求得椭圆的离心率的最小值.【解答】解：由椭圆的定义可得|pfi|+|pf 2|=2a ,联立得 |pf j, |pf? | 二2c l 解得 |pf2|=a -府=57或 |pf2|=a+?二不.a 一由 a _

13、 zc2a c,彳导 cr/ zc2，两边平方得:c2a2- 2c2,即 3c2a2,即椭圆的离心率的最小值为故选：d.i2.设函数 f (x) =ex (2x-i) +ax - a,其中a- i,若关于x不等式f （x） v 0的整数解有且只有一个，则实数a的取值范围为（a.i,b.e-j ,_r一一 c.d.i,32e【考点】利用导数研究函数的单调性.【分析】设 g (x) =ex (2x-i) , y=a-ax,求导 g ( x) =ex (2x+i),从而可得 ag (0) =- i,且 g ( - i) =- 3ea+a,从而解得.【解答】解：设 g (x) =ex (2xt) ,

14、y=a - ax,由题意知，存在唯一的整数xo,使g(x0)在直线y=a-ax的下方,g (x) =ex (2x+1),，当 xv -1时，g ( x) v 0,当 x 一二时，g ( x) 0,igmin (x) =g ( -) =- 2 y；且 g (0) =- 1, g (1) =3e0,直线y=a-ax恒过点(1, 0),且斜率为-a,结合图象可知，故 y| x=0=a g(0) = 1,且 g( 1) = - 3e 1y| x= i=a+a,解得，-1 vaw2e故选d.二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分.请将答案填写在答题纸上.13 .在(1 - x) 6 (2-x)的展开式

15、中含x3的项的系数是-55 .【考点】二项式定理.x) i由【分析】在(1-x) 6(2- x)的展开式中含x3的项是2c53 ( - x) 3+ ( - x) c62 ( 此能求出其系数.【解答】解：2c63 ( x) 3+ ( x) c62 ( x) 2=-40x3 - 15x3=-55x3.则的最小值为 n27甘故答案为：-55.14 .已知数列an满足a1=15,巴士2,n【考点】数列递推式.士关于n的函【分析】把已知数列递推式变形，利用累加法求出数列的通项公式，得到 数，然后利用函数单调性求得最小值.【解答】解：由 四一包二工，得 痴一%=2n,nai=15, an=ai+ (a2

16、a。+ (a3 a2)+ (an an-i)=15+2+4+2 (n- 1) =15+2x12212_=n2- n+15.2% _n, 1-_ 1=n+1n n2令 f (x) =x+- - 1,得 f，(k)=l及ii当n取1, 2, 3时，n旦-1减小，当n取大于等于4的自然数时n+匕-1的值增大.nn. n=3 时，=3+5 1=7； n=4 时，=4+1=-.nn 口 4127一史的最小值为占;n4 i27故答案为：一.415.如图，正方体 abc abgd的棱长为1, e为线段bc上的一点，则三棱锥 a- ded的体积为 .dic1【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征.【分

17、析】将三棱锥a - ded选择 add为底面，e为顶点，进行等体积转化va ded=veadd1后体积易求【解答】 解：将三棱锥 a- ded选择 add为底面，e为顶点，则va dedfve-add其中s3dd；sa1d1dj, e到底面add的距离等于棱长 1,故二4故答案为：16. f是双曲线r： x2-引=1的右焦点，r的右支上一点 p到一条渐近线的距离为 2,在另一条渐近线上有一点 q满足而=入而，则入=4 【考点】双曲线的简单性质.【分析】设p （m n） , m 0,代入双曲线方程，再由点到直线的距离公式，解方程可得p的坐标，再设 q的坐标，由三点共线斜率相等，可得q的坐标，再由

18、向量共线的坐标表示，计算即可得到所求.【解答】解：设pn） , m0, 2则 mf - =1,双曲线的渐近线方程为 y=2x,设p到直线y=2x的距离为2,口”n|即有二2,v 5由于p在直线的下方,则 2m- n=2后,解得m等”号设 q (s, 2s),由 f 监,0),由于f, p, q共线，可得则 kff=kfq,5 2s即为勾twte5 i解得s=孝即有q （零，一芯），、-（脏 f产二百，-亏），田二（一五 由于而二入西，贝u入=4.三、解答题：本大题共 6小题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 .在锐角 abc中，角a, b, c的对边分别为a, b, c,

19、已知a, b, c依次成等差数列, 且b=/,求a+c的取值范围.【考点】正弦定理.-13 -/ 20【分析】由等差数列的性质，三角形内角和定理可得b,由正弦定理，三角函数恒等变换的7t应用可得a+c=2/sin (a+),结合a的范围，利用正弦函数的图象和性质即可求a+c的6取值范围.【解答】(本题满分为10分)解：二角 a, b, c成等差数列，可得：2b=a+c又a+b4c=3bf,根据正弦定理可得：t二2，sina sinb sinc-a=2sina , c=2sinc ,兀 qj qtt+c=2sina-b2sinc=2sina+2si.n(a+-) = 2fsirla-cosa)=

20、2v3sin(a.+-),又 abc为锐角三角形，sin(a+-) 2* i1a+ce 2v5n项和为sn,满足 s=4-an.18 .已知数列an的各项均是正数，其前 (1)求数列an的通项公式；(2)设bn=?-lna( n e n*),数列b nbn+2的前n项和为tn,求证:-# - / 20【考点】数列的求和.【分析】(1)利用sn+l sn=an+1求出hn的递推公式，进而判断该数列为等比数列，由此求(2)将(1)中的结论代入解.(ncn*),求出bn,进而求出bnbn+1,利用裂项求和法求出tn,即可求证tn的范围;【解答】解：(而 an+1=sn+1 - s =1)由 sn=4

21、 an.得 si=4 - a1,解得 a2, (4- an+1) (4- 3n) =an_ an+1 , 即 2an+1 =an,an+l 1an可见，数列an是首项为2,公比为的等比数歹u.an=亍 1l 11(2)证明：也比_ i%”？-n) 7bnbn+2=n(n+2) 2，数列bnbn+2的前n项和啕(14+(k)+(1)+-)n- 1n+1 n n+215041995110003218能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?19.某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了 100名学生的体检表，并得到如图的频率分

22、布直方图.(1)若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；(2)学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在150名和9511000名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据表中的数据, 年级名次 是否近视 近视 不近视-15 -/ 20(3)在(2)中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了 9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这 x的分布列和数学期望.附：9人中任取3人，记名次在150的学生人数为 x,求p (k2/0.100.05k)k2.7063.8410.0250.0100.0

23、055.0246.6357.879【考点】离散型随机变量及其分布列；独立性检验；离散型随机变量的期望与方差.【分析】(1)设各组的频率为fi (i=1 , 2, 3, 4, 5, 6),由已知得后四组频数依次为27, 24, 21, 18,由此能求出估计全年级视力在5.0以下的人数.(2)求出k2,由此能求出在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.(出)依题意 9人中年级名次在 150名和9511000名分别有3人和6人，x可取0、1、2、3,分别求出相应在的概率，由此能求出x的分布列和x的数学期望.【解答】解：(1)设各组的频率为fi (i=1 , 2, 3, 4, 5

24、, 6),由图可知，第一组有 3人，第二组7人，第三组27人，因为后四组的频数成等差数列，所以后四组频数依次为 27, 24, 21, 18-所以视力在5.0以下的频率为： =0.82 ,100故全年级视力在5.0以下的人数约为10。*奇尸820，一(2)4.1103. 841732 1oqx(41x14 32x9)2二 50x50x73x27因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.(出)依题意 9人中年级名次在 150名和9511000名分别有3人和6人，x可取0、1、2、3,x的分布列为:02084145842188484x的数学期望 曲)二qm 翁+lx 舞+2

25、父普+$ 乂古二1 04543420.如图四棱锥 pabcm, paa平面 abcd ad/ bc, ad) cr 且 ad=cd=22, bc=4 , pa=2,点m在线段pd上.(1)求证：ab pc.(2)若二面角 m- ac- d的大小为45 ,求bm与平面pac所成的角的正弦值.【考点】与二面角有关的立体几何综合题.【分析】（1）设e为bc的中点，连接 ae,证明ab pc,只需证明abl平面pag只需证明 ab ac, ab pa（2）设a6 bd=o连接 op，过点 m作mnlad,过点n作nglac于g,连接 mg证明/ mgn 是二面角 m- ac- d的平面角，即/ mgn

26、=45 , m为pd的中点，连接 po交bm于h,连接 ah,证明/ bha是bm与平面pac所成的角，即可求 bm与平面pac所成的角的正弦值.【解答】（1）证明：设e为bc的中点，连接 ae,则ad=ec ad/ ec,四边形aecm平行四边形，ae bc ae=be=ec=2f2, / abch acb=45 , ab ac,. pa1平面 abcd ab?平面 abcd ab pa . a6 pa=a .ab,平面 pag ab pc.（2）设a6 bd=o连接 op，过点 m作mnlad,过点n作nglac于g,连接 mg则mm pa,由pa!平面 abcd可得 mnl平面 abcd

27、） mnl ac,. ngl ac, mnp ng=n .ad平面 mng .ad mg /mgn!二面角 m- ac- d 的平面角，即/ mgn=45设 mn=x 贝u ng=ag=x. an=nd=x,可得m为pd的中点，连接 po交bm于h,连接ah, 由（1） abl平面 pac / bha是bm与平面pac所成的角在abw, ab=4, am=；pd=/3, bm=3/3cos / abm=9 / bha/ abms余,二 bm与平面pac所成的角的正弦值为.322y,以原点。为圆心，椭圆的短半轴长21.已知椭圆 c: 七 + -=1 (ab0)的离心率为 a b3为半径的圆与直线

28、 x - y?”=0相切.(i)求椭圆c的标准方程；h2(n)若直线l ： y=kx+m与椭圆c相交于a b两点,且koa?koe=-%，判断 aob的面积是 a否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.【分析】(1)利用直线与圆相切的性质和点到直线的距离公式、椭圆的标准方程及其性质 即可得出；(2)设a (x1, yo , b (x2, y2),把直线的方程与椭圆的方程联立可化为关于x的次方程得到根与系数的关系、再利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公 式即可得出.【解答】解：(1)二椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+/=0相切，又 a2=b2+c2解得a2=4,c 1二-a 2b2=3,-# -/ 20故椭圆的方程为(ii )设 a (xi, yi),b(x2y2)化为(3+4k2) x2+8mkx+4 (宿-3) =0, =64n2k216 (3+4k2)yiy2= (kxi+n) ( kx2+mi)k?丁 xt工廿冥.+/30,化为 3+4k2 n20.4 (in2 -3)1 3+4k?化为 2m2 - 4k2=3,3