灰色预测2概诉

1、灰色预测29.1 灰色预测理论9.2 gm(l1)模型9.3 gm(l1)残差模型及gm (n, h)模型10.1灰色预测理论一、灰色预测的概念(1)灰色系统、白色系统和黑色系统白色系统是指一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是完全充分的。例：计划经济体制下的产销系统是一个白色系统，产品由国有商 业部门包销，价格由 国家物价部门制定，基本不变，产&和 销售产值之间存在确定的对应关系，生产和销售系统的结构 是明确的口黑色系统是指一个系统的内部信息对外界 来说是一无所知的，只能通过它与外界的 联系来加以观测研究。灰色系统内的一部分信息是已知的，另一部分信息是未知的，系统内各因素间有不确定的

2、关系。例：市场经济条件下的产销系统，企业要根据市场信息来决定 生产，产销不对路，生产出来的产品便无法实现销售价值, 市场价格又是多变的，获得完备的审场信息和价格信息对 企业几乎是不可能的，因此此时的产销系统就是一个灰色 系统。(2)灰色预测法灰色预测法是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行预则，就是对在一定范围内变化的、与时间有关的灰色过程进行预测。灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋 势的相似或相异程度，即进行关联度分 析，并通过对原始数据的生成处理来寻 找系统变动的规律，生成数据序列有较 强规律性，可以用它建立相应的微分方 程模型，从

3、而预测事物未来发展趋势和 未来状况。灰色预测法用等时距观测到的反映预测对 象特征的一系列数量值构造灰色预测模型, 预测未来某一时刻的特征量，或达到某一 特征量的时间。(3)灰色预测的四种常见类型 灰色时间序列预测用等时距观测到的反映预测对象特征 的一系列数量(如产量、销量、人口数量、 存款数量、利率等)构造灰色预测模型， 预测未来某一时刻的特征量，或达到某一 特征量的时间。 畸变预测即通过灰色模型预测异常值出现的时 亥ij,预测异常值什么时候出现在特定时区系统预测通过对系统行为特征指标建立一组相互 关联的灰色预测理论模型，在预测系统整体 变化的同时.，预测系统各个环节的变化。 拓扑预测又叫波形

4、预测，将原始数据做曲线，在 曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点， 并以该定值为框架构成时点数列，然后建立 模型预测该定值所发生的时点。二、生成列a灰色预测所直接使用的不是原始数据，而是 由原始数据经过数据处理产生的所谓生成数 列，目的是为了弱化原始时间序列的随机性。a在建立灰色预测模型之前，需先对原始时间 序列进行数据处理，经过数据处理后的时间 序列即称为生成列。(1)数据处理方式灰色系统常用的数据处理方式有累加和累减两种：a累加累加是将原始序列通过累加得到生成列。累加的规则：将原始序列的第一个数据作为生成列的第一个数据；将原始序列的第二个数据加到生成列的第一个数据上, 其和作为生成列的第二

5、个数据；将原始序列的第三个数据加到生成列的第二个数据上，其和作为生成列的第三个数据；按此规则进行下去，便可得到生成列。对非负数据，累加次数越多则随机性弱化 越多，累加次数足够大后，可认为时间序 列已由随机序列变为非随机序列。 一般随机序列的多次累加序列，大多可用 指数曲线逼近。例1x(o) =2,5,4,3,61x(1) =2,7,11,14,20(2)=29,20,34,54a累减将原始序列前后两个数据相减得到累减生成列累减是累加的逆运算，累减可将累加生成列 还原为非生成列，在建模中获得增量信息。 一次累减的公式为：对）（劝=双。）（对一x优一1）x =29,20,34,54x。）=27,1

6、14420$）=25436三、关联度关联度分析是分析系统中各因素关联程度的方 法，在计算关联度之前需先计算关联系数。（1）关联系数设 即）（劝=伊。）（1）。仞,#。） 一参考序列 x（o）（%）=x叫，,x叫） 一被比较序歹u则关联系数定义为：nin rrin | x（o）（乃 - x（）（4 + prrax max/优）-x（o）（m 根）|x（0）依）-x（o）（m + 夕 max maxw。）依）-x（o）（q式中：w。依）-x（o）（m为第左个点x（）和x（o）的绝对误差;inin同文依）-x（o）（m为两级最小差；max max x（o）（劝-x恸为两级最大差;称为分辨率，ovpv

7、l,一般取p=0.5；!对单位不一，初值不同的序列，在计算相关系数前应首先进行初始化，即将该序列所有数据 分别除以第一个数据坐o(2)关联度x(。)和刘唯)的关联度为:尸之7女) k=l一个计算关联度的例子工业、农业、运输业、商业各部门的行为 数据如下：工业x =(45.8,43.4,42.3,41.9)农业%2 = (39.1,416,43.9,44.9)运输也x? =(3.4,3.33.5,3.5)商业工=(676&5.4,47)参考序列分别为x,被比较序列为抽，%,x4 试求关联度。解答：以x1为参考序列求关联度。第一步：初始化，即将该序列所有数据分别除以第一个数据。得到：x =( 1,

8、0.9475,0.9235,0.9148)x： = (191.063,1.1227,1.1483)x = ( 1,0.97,1.0294,1.0294) =(1,1.0149,0.805,0.7)第二步：求绝对差序列h冬=(0,(). 1155,(). 1992,0.2335)a3 =(q0.0225。. 1059,(). 1146)a4 =(qo,0674.0,1185,0.2148)第三步：求两极差m = itlix mix a () = 0,2335“7 = nin rrin a (4)=0第四步：计算关联系数取片05有：心 0+0.5x0.2335. )n(k) =,1=23,4v 7

9、 a (k)+0.5x0.2335从而： rt(l)=l 1=0.503 rt(3)=q3o61(4)=0.3333 飞(1)=1 (2)=0.8384 rt(3) =0.5244 4(4)=0.504 rt(l) = l(2) =0.634 4(3) =0.4963 4(4) =0.352第五步：求关联度马=；2?b(k) =0.551 q k=i=。7174 k=l1 4%=2)14(k)=0.621 今k=l计算结果表明，运输业和工业的关联程度 大于农业、商业和工业的关联程度。x?为参考序列时，计算？10.2 gmqj)模型一、gm (1, 1)模型的建立设时间序列：x(。)=x(s(i

10、)r。),./叫)有个观察值, 通过累加生成列：洌=x(i),x。),.,/)()则gm (1, 1)模型相应的微分方程为：dr其中：。称为发展灰数；称为内生控制灰数。gmgrey model设戊为待估参数向量，&=可利用最小二乘法求解得：、；(x+ x)-j(x+ x)1/(n-l)x2(x(,)(n-l) + x(,)(n) 2、v x(o)(3)x=.j(o)(n)l求解微分方程，即可得预测模型：戈(k+ 1)= x(。)幺+幺 l a ak = ojn. rzz二、模型检验灰色预测检验一般有残差检验、关联度检验和后验差检验。(1)残差检验按预测模型计算&0) (i) 一累减生成文，计算

11、原始序列案朋与绝对误差序列及相对误差序列ao) (z)=|x(o) (/)-邢)(qi = 1,2,., n(z)exioo% i2,（2）关联度检验根据前面所述关联度的计算方法算出发 与原始序列案。）（，）的关联系数，然后计算出关联 度，根据经验，当p=0.5时，关联度r大于0.6便 满意了。（3）后验芥检验h1 .计算原始序列标准差：2,计算绝对误差序列的标准差:;刀火。）v-13 .计算方差比:4.计算小误差概率：尸=?| a。）（ z） x。）| v o.6745s 令：“=|火。）（0_3。,5=0.67455,则：尸=网弓vs。好合格勉强合格不合格0.950.800.700.70c

12、0.350.500.650.3 gmqj)残差模型及gm (n, h)模型一、残差模型若用原始时间序列x(。)建立的gm(1,1) 模型检验不合格或精度不理想时，要对建立的 gm (1, 1)模型进行残差修正来提高模型的预 测精度。修正的方法是建立gm (1, 1)的残差 模型。原始时间序列x(。)-cml1)模型为：戈a+1)=%幺卜一出十幺 a a可获得生成序列x。)的预测值序列戈=4(1),戈(2),送(n)残差序列:e(o)(j) = x(1)(j)-x(1)(j)若e()(j)中有负数，首先将它非负化令 m=nine() (j) ljnf(0)(j) = e(0)(j)-mf的累加生

13、成列为:f(d =f ,f (2),f (3),f (n) f建立相应的模型:，* + 1) = /(o)(l)- afa f做逆生成累减处埋得:f(o)(k + l) = f(,)(k + l)-f(1)(k)|e(o)(k + l) = f(o)(k + l) + mi用好)(k+l)+6(k+1)代替父o)(k+i)作为x(,)的预测值二、gm (n, h)模型gm (，h)模型是微分方程模型，可用 于对描述对象做长期、连续、动态的反映。 从原则上讲，某一灰色系统无论内部机制如 何，只要能将该系统原始表征量表示为时间 序列 3。)(/),并有/), , n,xzte n, x()(00

14、(n表示自然数集)，即可用gm模型对系统 进行描述。例4灾变预测一预测异常值出现的时间 某地区根据其排涝能力确定，当年降雨量超过 1000mm,就会形成水灾。今有17年降雨量资 料如下所示(t：年序、xt：降雨量、单位mm)t 123456789xt98581310157568877989931258897t10ii121314151617xt121569895187315877938621325预测下两次水灾哪年发生？用x()表示年降雨量超过1000mm的序号, 则有：x(。)= 3, & 10,14/7对此序列用gm(1,1)预测，看下两次水灾哪两年 发生。解:x(0) =3,8,10,1

15、4,17x。)=3,11,21,35,52f令。）令（。）l aa1332 10.9896 7.98963 21.2858 10.29604 34.5538 13.26815 51.6250 17.09836 73.6860 22.03407 102.0806 28.3949mse=0.6330例五：拓扑预测设：某连续变量的波形如图所示，它与直线 x=10已有5个交点，这5个交点的横坐标构成的 序列为：x(0) =0.4,3.5,5.4,6.8,10.3试对此序列用预测，它与直线x=10 的第6, 7个交点的横坐标是多少？x()=04,3.5,5.4,6.8,10.3|x(,) =0.4,3.

16、9,9.3,16.1,26.4!x(0)0.43.55.46.8x(,)0.43.99316.1q43.92638.906715.9407-(0) a0.43.52634.98047.0340x(1)(k+l)= 8.551 短视 一& 151810326.425.87519.934439.906014.030959.7224第6, 7个交点坐标为14.0, 19.8mse=0.3652例6预测实例设时间序列前5期的观察值为t12345xt25436试用gm(1,1)模型预测第6期和第7期的值，并 用残差修正。令k=0,l,2，,6,得到上5期的追溯预测值及第6、7期预 测值，再对 勘1诈累减

17、处理,得交（。）ty(0)y(l)e(i) zve（o） ae（o）f(o)f(l)1222201.12111.12112576.14234.14230.85771.97883.0999341110.51184.36950.48821.60934.7092431415.12114.6093-1.121104.7092562019.98334.860.01671.13785.8470625.1122730.52255.4103mse=4.7567t 件)f(0)e(0)新 x(1)新 x(0)11.12111.12110232，3.0836 t 1.9625 t0.84136.9836 f4.9

18、83634.36391.28030.159210.67103.6874415.19920.8353-0.285814.83534.16435 5.74420.5450-0.576119.40714.57186 | 6.09970.3555-0.7656 24.34664.93957 6.33170.2320-0.889129.68345.23680=/ =0.6320/1.5811=0.3997|p = p(|a,(n(i)-a,(),|a6745si)h 备二,一理)卜0.7949,0.0628,04254,0.8144,0.3429 |s() = 0.6745sll0665flp=l c0.5 2、关联度检验|x(1) = 2,7 j 1,14.20)外 i)= 2,6.1423,10.5118,15.1211,19.9833x玄=2,4.1423,4.3695,4.6093,4.8622 ix()及 x(0)的口?a=0,0.8577,0.3695,1.6093,1.1378),八 0 + 0.5x1.6093r|(d =0 + 0.5x1.6093c、 0+ 0.5x1.60930.8047 八彳。一=1