复变函数华中科技大学ppt课件

1、引 言 在十六世纪中叶，G. Cardano (1501-1576) 在研讨一元二次方程 时引进了复数。他发现这个方程没有根，并把这个方程的两个根方式地表为 。在当时，包括他本人在内，谁也弄不清这样表示有什麽益处。现实上，复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并被以为是没有意义的，不能接受的“虚数。直到十七与十八世纪，随着微积分的产生与开展，情况才有好转。特别是由于 L.Euler的研讨结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的Euler公式公式 提示了复指数函数与三角函数之提示了复指数函数与三角函数之间的关系。然而不断到C.Wessel (挪威.1745-1818)

2、和R.Argand(法国.1768-1822将复数用平面向量或点来表示，以及K.F.Gauss (德国德国1777-1855)与与W.R.Hamilton (爱尔兰爱尔兰1805-1865)定义复数 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性的长久疑虑，“复变函数这一数学分支到此才顺利地得到建立和开展。1040 xx515515与cossinieiaib 复变函数的 实际和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛的运用，是处理诸如流膂力学，电磁学，热学弹性实际中平面问题的有力工具。 复变函数中的许多概念，实际和方法是实变函数在复数领域的推行和开展 。第一章 复数与复变函数1.1复数及其表示法 一

3、对有序实数 构成一个复数，记为 .iyxzyx, 自变量为复数的函数就是复变函数, 它是本课程的研讨对象.由于在中学阶段曾经学过复数的概念和复数的运算,本章将在原有的根底上作简要的复习和补充; 然后再引见复平面上的区域以及复变函数的极限与延续性的概念, 为进一步研讨解析函数实际和方法奠定必要的根底.x, y 分别称为 Z 的实部和虚部, 记作x=Re(Z), y=Im(Z), .1i zxiy称为 Z 的共轭复数。与实数不同, 普通说来, 恣意两个复数不能比较大小.两个复数相等他们的实部和虚部都相等特别地，00yxiyxz1.代数方式 :iyxz复数的表示法1)点表示iyxz复数( , )XO

4、Yz x y 平面上的点yz(x,y)xx0yr复平面实轴虚轴2) 向量表示-复数复数z的辐角的辐角(argument) 记作Arg z=q . 任何一个复数z0有无穷多个幅角,将满足 p 0p 0 p p 的的0 0 称为称为Arg zArg z的主值的主值, , 记作记作0arg z .0arg z .那么那么Arg z=q0+2kp =arg z +2kp (k为恣意整数)复数z=x+iy矢径z0 xyxyz=x+iy|z|=rz22zzrxy-复数复数z的模的模zx与 轴正向的夹角|,| |,| | |,| |22zzz zyxzzyzx在第三象限在第二象限在第一、四象限zxyzxyz

5、xyz,arctan,arctan,arctanargpp当 z = 0 时, | z | = 0, 而幅角不确定. arg z可由以下关系确定:arctan22yxpp其中阐明：当 z 在第二象限时，arg022zpppptan()tan()tanyxpparctanyxparctan.yxp2.指数方式与三角方式),(zArgzr)sin(cosirzirez 利用直角坐标与极坐标的关系: x r cos, y r sin, 可以将z表示成三角表示式:利用欧拉公式 e iq = cosq + i sinq 得指数表示式:例1 将以下复数化为三角表示式与指数表示式.1)122 ;2)sinc

6、os.55zizipp 解 1)|1244.rzz在第三象限, 因此235arctanarctan.3612ppp 因此56554cos()sin()466izieppp2) 显然, r = | z | = 1, 又3sincoscos,525103cossinsin.52510pppppppp因此31033cossin1010izieppp练习：练习：写出 的辐角和它的指数方式。132iz解：3 22argarctanarctan3,1 233zppppp 2arg22,3ArgzzkkkZppp1,rz23.izep1.2复数复数的运算222111,iyxziyxz设)0()()()(22

7、222211222222121211221212121212121zyxyxyxiyxyyxxzzyxyxiyyxxzzyyixxzzz1+z2=z2+z1 ; z1z2=z2z1 ; z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3)z1(z2z3)=(z1z2)z3 ; z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .复数运算满足交换律,结合律和分配律:1 . 四那么运算加减法与平行四边形法那么的几何意义:乘、除法的几何意义:111izr e222izr e12()121 2iz zrr e,121 2121212rgz zr rzzArgz zAzArgz,1z2z12zz12zz,定理定理1 两个

8、复数乘积的模等于它们的模的乘积两个复数乘积的模等于它们的模的乘积, 两个复两个复 数乘积的幅角等于它们幅角的和数乘积的幅角等于它们幅角的和. 等式 Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2, 的意思是等式的两 边都是无限集合, 两边的集合相等, 即每给定等式左边 的一个数, 就有等式右边的一个数与之对应, 反之亦然.几何上 z1z2 相当于将 z2 的模扩展 |z1| 倍并旋转一个角度Arg z1 .011z2z1 2z z1r2r1 2rr12112 xy1iz12z例2：设121,.zzi 求：1 2;1 2.z zArgz z21 2;iz ziep 12,Argznpp22,2A

9、rgzmpp解：121222,Argz zArgzArgzkk m nZpp 假设取1,k 那么1,1,;nmnm 假设取0,mn那么1.k 22112211122110zzzzzzzzzzArgzArgArgzz21()2211izrezr22112211zzzzzArgArgzArgzz;按照乘积的定义, 当z10时, 有定理定理2 两个复数的商的模等于它们的模的商两个复数的商的模等于它们的模的商, 两个复数两个复数 的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差.2 . 乘方与开方运算1乘方cossinnninnzr erninDe Moivre 公式：coss

10、incossinninin2 开方开方: 假设满足，那么称w为z的n次方根，nwz记为 .nwzziArgwinArgnezew2(0,1,2,1)nwzargzkArgwnknp于是推得2122cossin(0,1,1)arg zkinnnnzzeargzkargzkrinnknppp从而几何解释：z1/n的n个值就是以原点为中心, r1/n为半径的圆 的内接正n边形的n个顶点。例2 求41. i解 由于12 cossin,44iipp 所以84224412 cossin,(0,1,2,3)44kkiikpppp 即808182832 cossin,1616992 cossin,161617

11、172 cossin,161625252 cossin.1616wiwiwiwipppppppp四个根是内接于中心在原点半径为21/8的圆的正方形的四个顶点.2821+iw0w1w2w3Oxy1.31.3复数方式的代数方程与平面几何图形复数方式的代数方程与平面几何图形 很多平面图形能用复数方式的方程(或不等式)来表 示; 也可以由给定的复数方式的方程(或不等式)来确定 它所表示的平面图形.例3 将经过两点z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的直线用复数方式的方 程来表示.解 经过点(x1,y1)与(x2,y2)的直线可用参数方程表示为121121(),()().xxt xxtyyt yy 因

12、此, 它的复数方式的参数方程为z=z1+t(z2-z1). (-t+) 由此得知由z1到z2的直线段的参数方程可以写成z=z1+t(z2-z1). (0t1)取12t 得知线段1 2z z的中点为122zzz 例4 求以下方程所表示的曲线:1)| 2;2)|2 | |2|;3)Im()4.ziziziz解：1)| 2zi设设 z = x + i y , 方程变为方程变为2222|(1) | 2(1)2,(1)4xyixyxyiOxy2)|2 | |2|ziz 几何上, 该方程表示到点2i和-2的间隔相等的点的轨迹, 所以方程表示的曲线就是衔接点2i和-2的线段的垂直平分线, 方程为 y = -

13、 x , 也可用代数的方法求出。Oxy22iy=-x3)Im()4.iz设设 z = x + i y , 那末那末(1)Im()1izxy iizy 可得所求曲线的方程为 y = -3 .Oyxy=-31.4 复数域的几何模型-复球面 0Nx1x2x3oz(x,y)xyP(x1,x2,x3)x1x2x3N(0,0,2r)除了复数的平面表示方法外, 还可以用球面上的点来表示复数.对复平面内任一点z, 用直线将z与N相连, 与球面相交于P点, 那么球面上除N点外的一切点和复平面上的一切点有一一对应的关系, 而N点本身可代表无穷远点, 记作.这样的球面称作复球面.扩展复数域-引进一个“新的数: 扩展

14、复平面-引进一个“理想点: 无穷远点 .商定: ),0(0aa),(0aa)(aa)0( aaa)(aaa 1.4 区域1. 区域的概念 平面上以 z0为中心, d (恣意的正数)为半径的圆: |z-z0|d 内部的点的集合称为z0的邻域, 而称由不等式 0|z-z0|M 的一切点的集合, 其中实数 M0 , 称为无穷远点的邻域. 即它是圆 |z|=M 的外部且包含无穷远点本身. 不包括无穷远点本身的仅满足 |z|M 的一切点称为无穷远点的去心邻域, 也记作 M|z|M 设G为一平面点集, z0为G中恣意一点. 假设存在z0的一个邻域, 该邻域内的一切点都属于G, 那么称z0为G的内点. 假设

15、G内的每个点都是它的内点, 那么称G为开集 平面点集D称为一个区域, 假设它满足以下两个条件:1) D是一个开集;2) D是连通的。就是说D中任何两点都可以用完全属于D 的一条折线衔接起来. 设D为复平面内的一个区域, 假设点P不属于D, 但在P的恣意小的邻域内总包含有D中的点, 这样的点P称为D的边境点. D的一切边境点组成D的边境. 区域的边境能够是由几条曲线和一些孤立的点所组成的. 区域 D与它的边境一同构成闭区域或闭域, 记作D.假设一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面, 即存在正数 M, 使区域 D的每个点z都满足 |z|M, 那么称 D为有界的, 否那么称为无界的.2. 单

16、连通域与多连通域平面曲线 在数学上, 经常用参数方程来表示各种平面曲线. 假设x(t)和y(t)是两个延续的实变函数, 那么方程组x=x(t), y=y(t), (atb)代表一条平面曲线, 称为延续曲线. 假设令z(t)=x(t)+iy(t)那么此曲线可用一个方程z=z(t)(atb)来代表. 这就是平面曲线的复数表示式. 设C: z=z(t) (atb)为一条延续曲线, z(a)与z(b)分别为C的起点与终点. 对于满足 at1b, at2b 的 t1与 t2, 当 t1t2而有 z(t1)=z(t2) 时, 点 z(t1)称为曲线 C的重点. 没有重点的延续曲线 C, 称为简单曲线或假设

17、尔当(Jardan)曲线. 假设简单曲线 C的起点与终点闭合, 即 z(a)=z(b) , 那么曲线 C 称为简单闭曲线.z(a)=z(b)简单,闭z(a)z(b)简单,不闭z(a)=z(b)不简单,闭不简单,不闭z(a)z(b) 恣意一条简单闭曲线 C 把整个复平面独一地分成三个互不相交的点集, 其中除去 C 外, 一个是有界区域, 称为 C 的内部, 另一个是无界区域, 称为 C 的外部, C 为它们的公共边境. 简单闭曲线的这一性质, 其几何直观意义是很清楚的.内部外部C定义 复平面上的一个区域 B, 假设在其中任作一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于B, 就称为单连通域, 一个区域假设

18、不是单连通域, 就称为多连通域.单连通域多连通域1.5 复变函数1. 复变函数的定义定义 设 D 是复平面中的一个点集, wzDf复数 ,wf zf xiyu x yiv x y称为复变函数.其确定了自变量为x和y的两个二元实变函数 u ,v .例如, 调查函数 w = z2.令 z = x+iy, w = u+iv , 那么u+iv = (x+iy)2 = x2-y2+i2xy ,因此函数 w = z2 对应于两个二元函数:u = x2-y2, v = 2xy 在以后的讨论中, D经常是一个平面区域, 称之为定义域, 并且, 如无特别声明, 所讨论的函数均为单值函数.2. 映射的概念 函数

19、w=f (z) 在几何上可以看做是把 z平面上的一个点集D(定义集合)变到 w平面上的一个点集G (函数值集合)的映射(或变换). 假设 D 中的点 z 被映射 w=f (z) 映射成 G中的点 w, 那么 w 称为 z 的象(映象), 而 z 称为 w 的原象.xuDGZzwW=f(z)vyW设函数w = z =x iy ; u=x , v=-yxyOuvOABCz1z2ABCw1w2设函数 w = z2 = (x+iy)2 = x2-y2+i2xy , 有 u = x2-y2, v = 2xyxyOuvOz1z2w2z3w3w1123121ziziz 1231341wwiw Im0Re01

20、zyzxz22Im201wxywuv 函数 w=z2 对应于两个二元实变函数: u=x2-y2, v=2xy 把 z 平面上的两族双曲线 x2-y2 = c1 , 2xy = c2 分别映 射成w平面上的两族平行直线 u=c1 , v=c2 .10111108642x2468v=101y108642u=02468uv10101010 假设函数(映射) w=f (z) 与它的反函数(逆映射) z =j (w)都是单值的, 那么称函数(映射) w =f (z)是一一的. 此时, 我们也称集合D与集合G是一一对应的.举例：曲线在映射下的像 例题1 ?8:122zwyxC11zxiywuiv22vui

21、vu2222,vuvyvuux81:22vu?:2bzwRzC例题2Rbwzbw2:2例题3?)2(:2zwtizC22)43 ()2(titiwuv34:例题4 ?: izwxyC)(ixxiwixxuv:1.6 复变函数的极限和延续性1.函数的极限定义 设函数 w = f (z)定义在 z0的去心邻域 0|z-z0|0, 相应地必有一正数d (e) (0 d ), 使得当 0 |z-z0|d 时有| f (z)-A |e ,那么称A为f (z)当 z趋向于z0时的极限, 记作Azfzz)(lim0或记作当 zz0 时 , f (z)A.几何意义几何意义: : xyOz0dzOuvAef(z)0lim( )zzAf z意味着：0( )zzf z当 从平面上任一方向、沿任何路径、以任意方式趋近于 时，均以A为极限。等价定义： 设 f (z) = u(x,y) + iv(x,y) , A = u0+iv0 , z0 = x0+iy0 , 那么0000000lim(,)lim().lim(,)xxyyzzxxyyuxyufzAv xyv运算性质： )(lim)(lim)()(lim)1 (000zgzfzgzfzzzzzz)(lim)(lim)()(lim)2(000zgzfzgz