韦达定理及其应用

1、 韦达定理及其应用浙江省舟山市定海五中 薛晓波一、 知识要点1、若一元二次方程中，两根为，。则，；补充公式2、以，为两根的方程为3、用韦达定理分解因式二、 例题1、 不解方程说出下列方程的两根和与两根差：（1） （2） （3）2、 已知关于的方程，是否存在负数，使方程的两个实数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的的值；若不存在，说明理由。3、 已知方程，作一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程各根的平方的倒数。4、 解方程组5、 分解因式：（1） （2）三、 练习1、 在关于的方程中，（1）当两根互为相反数时的值；（2）当一根为零时的值；（3）当两根互为倒数时的值2、 求出以一元二次

2、方程的两根的和与两根的积为根的一元二次方程。3、 解方程组4、 分解因式（1）= （2）四、 聪明题1、 已知一元二次方程的两个实数根满足，分别是的，的对边。（1）证明方程的两个根都是正根；（2）若，求的度数。2、在中，斜边AB=10，直角边AC，BC的长是关于的方程的两个实数根，求的值。韦达定理的应用：1.已知方程的一个根，求另一个根和未知系数2.求与已知方程的两个根有关的代数式的值3.已知方程两根满足某种关系，确定方程中 字母系数的值4.已知两数的和与积，求这两个数5.已知方程的两根x1，x2 ，求作一个新的一元二次 方程x2 (x1+x2) x+ x1x2 =06.利用求根公式在实数范围

3、内分解因式ax2+bx+c = a(x- x1)(x- x2) 题1： （1）若关于x的一元二次方程2x2+5x+k=0 的一根是另一根的4倍，则k= _（2）已知：a,b是一元二次方程x2+2000x+1=0的两个根，求：（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)= _解法一：（1+2006a+a2)（1+2005b+b2) = （1+2000a+a2 +6a)（1+2000b+b2 +5b) = 6a5b=30ab解法二：由题意知 a2 +2000a+1=0； b2 +2000b+1=0 a2 +1=- 2000a; b2 +1=- 2000b （1+2006a+a2)（1+2005

4、b+b2) =（2006a - 2000a)（2005b - 2000b) =6a5b=30abab=1， a+b=-200 （1+2006a+a2)（1+2005b+b2) = （ ab +2006a+a2)（ ab +2005b+b2) =a(b +2006+a) b( a +2005+b) =a(2006-2000) b(2005-2000) =30ab解法三：由题意知 a2 +2000a+1=0； b2 +2000b+1=0 a2 +1=- 2000a; b2 +1=- 2000b （1+2006a+a2)（1+2005b+b2) =（2006a - 2000a)（2005b - 20

5、00b) =6a5b=30ab题2：已知:等腰三角形的两条边a,b是方程x2-（k+2）x+2 k =0的两个实数根,另一条边c=1，求:k的值。浅谈韦达定理在解题中的应用韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理纵观近年各省、市的中考(竞赛)试题可以发现，关于涉及此定理的题目屡见不鲜，且条件隐蔽在证(解)题时，学生往往因未看出题目中所隐含的韦达定理的条件而导致思路闭塞，或解法呆板，过程繁琐冗长下面举例谈谈韦达定理在解题中的应用，供大家参考一、直接应用韦达定理若已知条件或待证结论中含有ab和ab形式的式子，可考虑直接应用韦达定理例1 在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，D是AB

6、边上一点，且BCDC，设ADd求证：(1)cd2bcosA；(2)cdb2a2分析：观察所要证明的结论，自然可联想到韦达定理，从而构造一元二次方程进行证明证明：如图，在ABC和ADC中，由余弦定理，有a2b2c22bccosA；a2b2d22bdcosA(CDBCa) c22bccosAb2a20，d22bdcosAb2a20于是，c、d是方程x22bxcosAb2a20的两个根由韦达定理，有cd2bcosA，cdb2a2例2 已知aa210，bb210，ab，求abab的值分析：显然已知二式具有共同的形式：x2x10于是a和b可视为该一元二次方程的两个根再观察待求式的结构，容易想到直接应用韦

7、达定理求解解：由已知可构造一个一元二次方程x2x1=0，其二根为a、b由韦达定理，得ab1，ab1故abab2二、先恒等变形，再应用韦达定理若已知条件或待证结论，经过恒等变形或换元等方法，构造出形如ab、ab形式的式子，则可考虑应用韦达定理例3 若实数x、y、z满足x6y，z2xy9求证：xy证明：将已知二式变形为xy6，xyz29由韦达定理知x、y是方程u26u(z29)0的两个根 x、y是实数，364z2360则z20，又z为实数，z20，即0于是，方程u26u(z29)0有等根，故xy由已知二式，易知x、y是t23t80的两个根，由韦达定理三、已知一元二次方程两根的关系(或系数关系)求系

8、数关系(或求两根的关系)，可考虑用韦达定理例5 已知方程x2pxq0的二根之比为12，方程的判别式的值为1求p与q之值，解此方程解：设x2pxq0的两根为a、2a，则由韦达定理，有a2aP， a2aq， P24q1 把、代入，得(3a)242a21，即9a28a21，于是a=1 方程为x23x20或x23x20解得x11，x22，或x11，x22例6 设方程x2pxq0的两根之差等于方程x2qxp0的两根之差，求证：pq或pq4证明：设方程x2pxq0的两根为、，x2qxP0的两根为、由题意知，故有222222从而有()24()24把代入，有p24qq24p，即p2q24p4q0，即(pq)(pq)4(pq)0，即(pq)(pq4)0故pq0或pq40，即pq或pq4四、关于两个一元二次方程有公共根的题目，可考虑用韦达定理例7 m为问值时，方程x2mx30与方程x24x(m1)0有一个公共根？并求出这个公共根解：