5.2非谐晶体相互作用

1、5. .2 非谐晶体相互作用非谐晶体相互作用第第 5 章章 声子（声子（ii）：热学性质）：热学性质固体固体物理物理导论导论1简谐理论简谐理论 (harmonic theory) 在前面的晶格振动理论中，我们考虑势能只在前面的晶格振动理论中，我们考虑势能只是保留了二次方项，在该近似下，主要推论有是保留了二次方项，在该近似下，主要推论有l 两格波无相互作用，单个波不衰减两格波无相互作用，单个波不衰减l 无热膨胀无热膨胀l 绝热弹性常量和等温弹性常量相等绝热弹性常量和等温弹性常量相等l 弹性常量不依赖于压力和温度弹性常量不依赖于压力和温度l 在高温下，热容为恒量在高温下，热容为恒量5. .2 非谐

2、晶体相互作用非谐晶体相互作用第第 5 章章 声子（声子（ii）：热学性质）：热学性质固体固体物理物理导论导论2非谐效应与三声子过程非谐效应与三声子过程 对于实际的晶体，结果常常偏离上述结论，对于实际的晶体，结果常常偏离上述结论，原因是我们所忽略势能中的原子间相对位移的高原因是我们所忽略势能中的原子间相对位移的高次项次项(非谐项非谐项) 所导致所导致 三声子过程三声子过程 (两个声子相互作用产生第三个两个声子相互作用产生第三个声子：声子：w3=w1+w2) 是由晶体势能中的三次方项引是由晶体势能中的三次方项引起的起的5. .2 非谐晶体相互作用非谐晶体相互作用第第 5 章章 声子（声子（ii）：

3、热学性质）：热学性质固体固体物理物理导论导论3三声子相互作用的物理过程三声子相互作用的物理过程 一个声子的存在将引起一个周期性的弹性应一个声子的存在将引起一个周期性的弹性应变，这一应变通过非谐相互作用对晶体的弹性常变，这一应变通过非谐相互作用对晶体的弹性常量产生时间和空间上的调制量产生时间和空间上的调制 第二个声子会感受到这种弹性常量的调制作第二个声子会感受到这种弹性常量的调制作用，从而受到散射而产生第三个声子用，从而受到散射而产生第三个声子5. .2 非谐晶体相互作用非谐晶体相互作用第第 5 章章 声子（声子（ii）：热学性质）：热学性质固体固体物理物理导论导论45. 2. 0 晶格的状态方

4、程晶格的状态方程jjjnnuejw)21( 原子处于格点位置时的平衡晶格能量为原子处于格点位置时的平衡晶格能量为 u(v)，晶体所有可能的能级为晶体所有可能的能级为量子数量子数 nj=n1, n2, n3, 表示圆频率为表示圆频率为 w1, w2, w3, 的声子数分别为的声子数分别为n1, n2, n3, ，上式求和包括，上式求和包括所有可能所有可能 (不同极化模式、不同支不同极化模式、不同支) 的声子圆频率的声子圆频率5. .2 非谐晶体相互作用非谐晶体相互作用第第 5 章章 声子（声子（ii）：热学性质）：热学性质固体固体物理物理导论导论5 晶体的自由能函数一般可以写成晶体的自由能函数一

5、般可以写成ztkfbln其中其中 z 为配分函数为配分函数)/exp()exp(jjjjnnnbnetkez求和遍及所有可能的晶格能级，即配分函数应包求和遍及所有可能的晶格能级，即配分函数应包括系统的所有可能的量子态括系统的所有可能的量子态5. .2 非谐晶体相互作用非谐晶体相互作用第第 5 章章 声子（声子（ii）：热学性质）：热学性质固体固体物理物理导论导论6wwwwwww/2/02/,/)2/1(/)2/1(/11/ )2/1(exp)/exp(212211jjjjjjjjjeeeeeeeeenuezjunnjunnnnunjjjnn代入自由能公式，得到代入自由能公式，得到jjjeuzf

6、)1ln(2/ln/ww5. .2 非谐晶体相互作用非谐晶体相互作用第第 5 章章 声子（声子（ii）：热学性质）：热学性质固体固体物理物理导论导论7 由自由能我们可以求得压强由自由能我们可以求得压强jjjjtveuvvfpjwww121/其中第一项是晶体基态能其中第一项是晶体基态能 (内聚能及所有声子零点内聚能及所有声子零点振动能振动能) 对压强的贡献，第二项是晶格振动的贡献对压强的贡献，第二项是晶格振动的贡献 对于对于简谐近似简谐近似，声子圆频率，声子圆频率 wj 与体积无关，与体积无关，上式第二项为上式第二项为0，这样压强只与体积有关，而与温，这样压强只与体积有关，而与温度无关，与实验事

7、实不符度无关，与实验事实不符5. .2 非谐晶体相互作用非谐晶体相互作用第第 5 章章 声子（声子（ii）：热学性质）：热学性质固体固体物理物理导论导论8 在简谐近似范围，温度上升原子位移的幅度在简谐近似范围，温度上升原子位移的幅度增大，但其平衡位置始终不变，就不会出现热膨增大，但其平衡位置始终不变，就不会出现热膨胀，这与实验事实不符；为了能给出合理结果，胀，这与实验事实不符；为了能给出合理结果，我们认为声子频率也会随体积而改变，因此我们认为声子频率也会随体积而改变，因此jjtvevuvfpjdd121dd/ww这个式子包含了各种振动频率对这个式子包含了各种振动频率对 v 的依赖关系，的依赖关

8、系，具有十分复杂的性质具有十分复杂的性质5. .2 非谐晶体相互作用非谐晶体相互作用第第 5 章章 声子（声子（ii）：热学性质）：热学性质固体固体物理物理导论导论9 格临爱森提出一个有用的近似格临爱森提出一个有用的近似vvevupjjjjjlndlnd1121dd/wwww定义定义vjlndlndw并假设它近似对所有振动频率都相同，称为并假设它近似对所有振动频率都相同，称为格临格临爱森常数爱森常数，则，则jjjjevvup121dd/www5. .2 非谐晶体相互作用非谐晶体相互作用第第 5 章章 声子（声子（ii）：热学性质）：热学性质固体固体物理物理导论导论10其中其中是晶格振动能，因此

9、我们得到格临爱森的近似状是晶格振动能，因此我们得到格临爱森的近似状态方程态方程jjjjevvup121dd/wwwjjjlatjeu121/wwwvuvuplatdd对很多晶体，对很多晶体， 是是1到到2之间的正数之间的正数5. .2 非谐晶体相互作用非谐晶体相互作用第第 5 章章 声子（声子（ii）：热学性质）：热学性质固体固体物理物理导论导论115. 2. 1 热膨胀热膨胀 热膨胀是在不施加压力条件下，体积随温度热膨胀是在不施加压力条件下，体积随温度的变化的变化在上式中令在上式中令 p=0 得得vuvuplatddvuvulatdd在平衡晶格体积在平衡晶格体积 v0 时，时，0ddvu5.

10、 .2 非谐晶体相互作用非谐晶体相互作用第第 5 章章 声子（声子（ii）：热学性质）：热学性质固体固体物理物理导论导论12 温度升高，振动能量增加，所有温度升高，振动能量增加，所有 du/dv 应取应取正值，说明增大正值，说明增大 dv，u(v) 曲线有正斜率曲线有正斜率vuvvulatvd022dd 由于一般热膨胀由于一般热膨胀 dv/v0 比较小，可把比较小，可把 du/dv 在在 v0 附近展开，只保留一阶项附近展开，只保留一阶项vuvulatdd5. .2 非谐晶体相互作用非谐晶体相互作用第第 5 章章 声子（声子（ii）：热学性质）：热学性质固体固体物理物理导论导论13ulat/v

11、 为晶格为晶格振动能密度振动能密度vuvuvvvlatvd02200dd体积膨胀系数体积膨胀系数bkvuvv1dd0220k 是晶体压缩率，是晶体压缩率，b 是是晶体的体变模量晶体的体变模量vlattvcbvutbtvvdddddd1lim0005. .2 非谐晶体相互作用非谐晶体相互作用第第 5 章章 声子（声子（ii）：热学性质）：热学性质固体固体物理物理导论导论14称为格临爱森关系，表示当温度变化时，热膨胀称为格临爱森关系，表示当温度变化时，热膨胀系数近似与热容成比例。但在低温，半导体锗、系数近似与热容成比例。但在低温，半导体锗、硅、砷化镓等热膨胀系数为负值，这表明格临爱硅、砷化镓等热膨

12、胀系数为负值，这表明格临爱森常数依赖于振动模式，即森常数依赖于振动模式，即vcbcv 单位体积定容热容单位体积定容热容viilndlndw而且在低温下对有些振动模，格临爱森常数为负而且在低温下对有些振动模，格临爱森常数为负5. .2 非谐晶体相互作用非谐晶体相互作用第第 5 章章 声子（声子（ii）：热学性质）：热学性质固体固体物理物理导论导论15产生热膨胀的物理原因产生热膨胀的物理原因 以一维双原子链为例，振动频率以一维双原子链为例，振动频率)cos1 ()(2112212121212kammmmmmmmcw其中只有系数其中只有系数 c 依赖于链的长度依赖于链的长度 na (相当于三相当于三维晶格的体积维晶格的体积) ，因此，因此acnacnalndlnd21lndlnd21lndlndw5. .2 非谐晶体相互作用非谐晶体相互作用第第 5 章章 声子（声子（ii）：热学性质）：热学性质固体固体物理物理导论导论16 系数系数 c 是相邻原子势能的二次微商是相邻原子势能的二次微商用用 表示，这样表示，这样)(2)(dd2/d/d21lndlnd21avavaaccaaaccac arrrvrvc22022)()()(av 5. .2 非谐晶体相互作用非谐晶体相互作用第第 5 章章 声子（声子（ii）：热学性质）：热学性质固体固体物理物理导论导论17 在讨论晶格振动时，只考虑势能展