221椭圆及其标准方程

1、2.2 椭圆2.2.1 椭圆及其标准方程 通过图片我们看到，在我们所生活的世界中，通过图片我们看到，在我们所生活的世界中，随处可见椭圆这种图形，而且我们也已经知道了椭随处可见椭圆这种图形，而且我们也已经知道了椭圆的大致形状，那么我们能否动手画一个标准的椭圆的大致形状，那么我们能否动手画一个标准的椭圆呢？圆呢？1.1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用实世界和解决实际问题中的作用（重点）（重点）2 2掌握椭圆的定义，会求椭圆的标准方程掌握椭圆的定义，会求椭圆的标准方程. .（重点、难点）（重点、难点）实验操作实验操作(1)(1)取

2、一条定长的细绳；取一条定长的细绳；(2)(2)把它的两端都固定在图板的同一点处；把它的两端都固定在图板的同一点处；(3)(3)套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆如果把细绳的两端拉开一段画出的轨迹是一个圆如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处套上铅笔，拉紧绳距离，分别固定在图板的两点处套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是椭圆子，移动笔尖，画出的轨迹是椭圆. .探究点探究点1 1 椭圆的定义椭圆的定义根据刚才的实验请同学们回答下面几个题：根据刚才的实验请同学们回答下面几个题：1.1.在画椭圆的过程中，细

3、绳的两端的位置是固定的在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？还是运动的？2.2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？了什么？3.3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离有怎在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离有怎样的大小关系？样的大小关系？ 结合实验及上面的结合实验及上面的问题，你能给椭圆问题，你能给椭圆下一个定义吗？下一个定义吗？我们把平面内与两个定点我们把平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的距离之和等于常数（大于（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做的点的轨迹叫做椭圆椭圆.两个定点两个定点F1，F2叫做叫做椭

4、圆的焦点椭圆的焦点.两焦点间的距离两焦点间的距离|F1F2|叫做叫做椭圆的焦距椭圆的焦距.椭圆定义：椭圆定义：|MF|MF1 1|+ |MF|+ |MF2 2| |F|F1 1F F2 2| | 椭圆椭圆|MF|MF1 1|+ |MF|+ |MF2 2|=|F|=|F1 1F F2 2| | 线段线段|MF|MF1 1|+ |MF|+ |MF2 2| |F|F1 1F F2 2| | 不存在不存在思考：思考：在平面内动点在平面内动点M M到两个定点到两个定点F F1 1，F F2 2的距离之的距离之和等于定值和等于定值2a2a的点的轨迹是否一定为椭圆？的点的轨迹是否一定为椭圆？【总结提升总结提

5、升】在知道了椭圆的在知道了椭圆的定义及一些基本定义及一些基本的性质之后，我的性质之后，我们怎样用方程来们怎样用方程来表示呢？表示呢？探究点探究点2 2 椭圆的标准方程椭圆的标准方程思考：思考：求曲线的方程的基本步骤是什么呢？求曲线的方程的基本步骤是什么呢？（1 1）建系设点）建系设点（2 2）写出点集）写出点集（3 3）列出方程）列出方程（4 4）化简方程）化简方程（5 5）检验）检验结合椭圆的结合椭圆的定义你能求定义你能求出出椭圆的方椭圆的方程吗？程吗？第一步：第一步： 如何建立适当的坐标系呢？如何建立适当的坐标系呢？ OxyMF1F2方案一方案一F1F2方案二方案二OxyM建立坐标系的原则

6、是：对称，简洁建立坐标系的原则是：对称，简洁 设设M(xM(x, y), y)是椭圆上任意一点，椭圆的两个焦是椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点分别为点分别为F F1 1和和F F2 2，椭圆的焦距为，椭圆的焦距为2c(c0)2c(c0)，M M与与F F1 1和和F F2 2 的距离的和等于的距离的和等于2a(2a2c0) .2a(2a2c0) .请同学们自己完成剩下的步骤，求出椭圆的方程请同学们自己完成剩下的步骤，求出椭圆的方程. .解：解：以焦点以焦点F F1 1,F,F2 2的所在直线为的所在直线为x x轴，线段轴，线段F F1 1F F2 2的的垂直垂直平分线平分线为为y y轴，建立平面

7、直角坐标系轴，建立平面直角坐标系xOyxOy( (如图如图). ). 设设M(xM(x, y ), y )是椭圆上任意一点，椭圆是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为的焦距为2c(c0)2c(c0)，M M与与F F1 1和和F F2 2的距离的的距离的和等于正常数和等于正常数2a 2a (2a2c)(2a2c) ，则，则F F1 1，F F2 2的坐标分别是的坐标分别是( ( c,0)c,0)、(c,0)(c,0) . .x xF F1 1F F2 2M MOy y122| |.MFMFa 222212|(),|(),MFxcyMFxcy22222()().xcyxcya所所以以由椭圆的定义得由椭圆

8、的定义得因为因为222222244()()(),xcyaaxcyxcy222(),acxaxcy 移项，再平方移项，再平方222221.xyaac 整理得整理得4222222222222,aa cxc xa xa cxa ca y两边再平方，得两边再平方，得22222222()(),acxa ya ac222() aac两两边边同同除除以以，得得：222210().xyabab所所以以的的方方程程椭椭圆圆为为222-0(),bacab解解令令：1F2FxyOP22-, ,a cac请请看看图图片片：你你能能从从图图中中找找出出表表示示的的线线段段吗吗？ac22ca 222210().类类方方案

9、案二二椭椭圆圆为为yxabab似似的的也也可可以以得得到到的的方方程程2222210.()yxabab也也把把形形如如叫叫做做椭椭圆圆的的标标准准方方程程， 2222110.xyabab我我们们把把形形如如的的方方程程叫叫做做椭椭圆圆的的标标准准方方程程，它表示焦点在它表示焦点在y y轴上的椭圆轴上的椭圆. .它表示焦点在它表示焦点在x x轴上的椭圆轴上的椭圆. .1oFyx2FM1 12 2yoFFMx（1 1）椭圆的标准方程的形式：左边是两个分式）椭圆的标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是的平方和，右边是1;1;（2 2）椭圆的标准方程中，）椭圆的标准方程中，x x2 2与与y

10、y2 2的分母哪一个大，的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上则焦点在哪一个轴上; ;（3 3）椭圆的标准方程中）椭圆的标准方程中a a，b b，c c满足满足a a2 2=b=b2 2+c+c2 2. .思考：思考：椭圆的标准方程有哪些特征呢？椭圆的标准方程有哪些特征呢？【总结提升总结提升】例例1 1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0), (-2,0), (2,0), (2,0), 并且经过点并且经过点 . .求它的标准方程求它的标准方程. .53(,)22 解解: :因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在x x轴上轴上, ,所以设所以设它的标准方程为它的标准方程为2

11、2221 (0).xyabab由椭圆的定义知由椭圆的定义知222253532(2)()(2)()2 102222a 待定待定系数系数法法又因为又因为 , ,所以所以2c 因此因此, , 所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为221 .106xy2221046.bac所以所以10.a 能用其他方能用其他方法求它的方法求它的方程吗？程吗？另解另解: :因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在x x轴上轴上, ,所以设它所以设它的标准方程为的标准方程为: :22221 (0).xyabab224.ab22532222( )()1ab 又又由由已已知知，联立联立, ,22106ab解解得得，因此因此, ,

12、所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为: :221 .106xy( 2,0),(2,0) ，又又焦点的坐标为焦点的坐标为【变式练习变式练习】已知椭圆经过两点已知椭圆经过两点 和和 ，求椭圆的，求椭圆的标准方程标准方程. .)25,23()5, 3(221(0,0,),mxnymnm n解：解：设椭圆的标准方程为设椭圆的标准方程为222235()( )122( 3)( 5)1mnmn，11,.610mn则有则有 解得解得 221610 xy所以，所求椭圆的标准方程为所以，所求椭圆的标准方程为 .注意这种设法适用的情况注意这种设法适用的情况xyODMP例例2 2 如图，在圆如图，在圆 上任取一点

13、上任取一点P P，过点，过点P P作作x x轴的垂线段轴的垂线段PDPD，D D为垂足为垂足. .当点当点P P在圆上运动在圆上运动时，线段时，线段PDPD的中点的中点M M的轨迹是什么？为什么？的轨迹是什么？为什么？422 yx解：解：设点设点M M的坐标为（的坐标为（x,yx,y）, ,点点P P的的坐标为（坐标为（x x0 0,y,y0 0）, ,则则002,yxxy因为点因为点P P（x x0 0,y,y0 0）在圆）在圆224xy上上，所所以以相关点法相关点法. 42020 yx把点把点0 0=x=x，y y0 0=2y=2y代入方程，得代入方程，得即即，4422 yx. 1422

14、yx所以点所以点M M的轨迹是一个椭圆的轨迹是一个椭圆. .从例从例2 2你能发你能发现椭圆与圆之现椭圆与圆之间的关系吗？间的关系吗？【变式练习变式练习】已知圆已知圆 ，从这个圆上任意一点，从这个圆上任意一点P P向向x x轴作轴作垂线段垂线段 ，点，点M M在在 上上, ,并且并且 ，则点则点M M的的轨迹方程为轨迹方程为 . .22xy9PM2MP PPPP22xy19例例3 3 如图，设点如图，设点A A，B B的坐标分别是的坐标分别是(-5(-5，0)0)和和(5(5，0),0),直线直线AM,BMAM,BM相交于点相交于点M M，且它们的斜率之积是，且它们的斜率之积是 , ,求求点点

15、M M的轨迹方程的轨迹方程. .94yAxMBO解：解：设点设点M M的坐标（的坐标（x,yx,y）, ,因为因为点点A A的坐标是（的坐标是（-5,0-5,0）, ,所以所以, ,直直线线AMAM的斜率为的斜率为55(); AMykxx同理，直线同理，直线BM的斜率的斜率55().BMykxx由已知有由已知有45559(), yyxxx化简，得点化简，得点M的轨迹方程为的轨迹方程为2215100259(). xyx1.1.已知已知F F1 1，F F2 2是椭圆是椭圆 的两个焦点，的两个焦点，过过F F1 1的直线交椭圆于的直线交椭圆于M M，N N两点，则三角形两点，则三角形MNFMNF2

16、 2的周长为（的周长为（ ） A.10 B.20 A.10 B.20 C.30 D.40 C.30 D.40 192522yxB ByoF1F2MxN解题关键：涉及椭圆上的点到两个焦点的距离时，解题关键：涉及椭圆上的点到两个焦点的距离时，优先考虑利用椭圆的定义解题。优先考虑利用椭圆的定义解题。2.2.椭圆椭圆 的焦距为的焦距为2 2，则，则m m的值等于（的值等于（ ）22xy1m4A.5 B.3 C.5A.5 B.3 C.5或或3 D.83 D.8C C解题关键：当椭圆的焦点不确定时，要分焦点在解题关键：当椭圆的焦点不确定时，要分焦点在x x轴和轴和y y轴两种情况讨论。轴两种情况讨论。C

17、C4.4.已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为一个椭圆，它的焦距为2.4 m2.4 m，外轮廓线上的点到两，外轮廓线上的点到两个焦点的距离和为个焦点的距离和为3 m3 m，求这个椭圆的标准方程，求这个椭圆的标准方程. .解：解：以两个焦点以两个焦点F F1 1，F F2 2所在的直线为所在的直线为x x轴，以线轴，以线段段F F1 1F F2 2的垂直平分线为的垂直平分线为y y轴，建立直角坐标系，轴，建立直角坐标系，则这个椭圆的标准方程为则这个椭圆的标准方程为)0( 12222 babyax根据题意知，根据题意知，2a=32a=3，2c=2.42c=2.4，即，即a=1.5a=1.5，c=1.2.c=1.2.所以所以b b2 2=a=a2 2-c-c2 2=1.5=1.52 2-1.2-1.22 2=0.81=0.81，因此椭圆的标准方程为因此椭圆的标准方程为2212