圆锥曲线综合练习题

1、曲线方程及圆锥曲线典型例题解析.知识要点1.曲线方程(1)求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下:步 骤含义说明1、“建”：建立坐标 系；“设”：设动点坐 标。建立适当的直角坐标 系,用(x,y)表小曲线上任 点m的坐标。(1)所研究的问题已给出坐标系，即可直接设点。(2)没有给出坐标系，首先要选取适当的坐 标系。2、现(pm)：由限制条 件，列出几何等式。写出适合条件p的点m的集合 p=m|p(m)这是求曲线方程的重u步，应仔细分析 题意，使写出的条件简明正确。3、“代”：代换用坐标法表示条件p(m),列出方程 f(x,y)=0常常用到一些公式。4、“化”：化简化方程f(x,y)=0为取间

2、 形式。要注意向解变形。5、证明证明化简以后的方程的 解为坐标的点都是曲线 上的点。化简的过程若是方程的同解变形，可以不要证明，变形过程中产生不增根或失根， 应在所得方程中删去或补上 (即要注意方程 变量的取值范围)。这五个步骤(不包唐证明)可浓缩为五字“口诀”：建设现(限)代化”(2)求曲线方程的常见方法:直接法：也叫“五步法”，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的基本方法。转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。几何法：就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。参

3、数法：根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标x,y联系起来，得到用参数表示的方程。如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程。2.圆锥曲线综合问题(1)圆锥曲线中的最值问题、范围问题通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。这些问题往往通过定义， 结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等 式知识，以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函数思想的运用，要注 意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来。圆锥曲线的弦长求法：设圆锥曲线 c： f(x, y)=0与直线l ： y=kx+b相交于a(x1, y1)、b(

4、x2，y2)两点，则弦长| ab|为：(1)1 ab |= jl + k，忸 i 一时 |=+ 1 瓯 十向4 4耨1 盯或1ab尸1% -力尸u * jd+% -4%.若弦ab过圆锥曲线的焦点 f,则可用焦半径求弦长，|ab|=|af|+|bf|.在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值.注意点是要考虑曲线上点坐标(x, y)的取值范围。(2)对称、存在性问题，与圆锥曲线有关的证明问题它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断 方法。(3)实际应用题数学应用题是高考中必考的题型，随着高考改革的深入， 同时课本上也

5、出现了许多与圆锥曲线相关的实际应用问题，如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测，以及行星、 人造卫星、彗星运行轨道的计算等。涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系，合理选择曲线模型，然后转化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断，解题的一般思想是：建立坐标系(4)知识交汇题圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、区分度的综合题。二.典例解析题型1:求轨迹方程例1.(1) 一动圆与圆x2 y2 6x 5 0外切, 求动圆圆心m的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。推理知识结合到一块出现部分有较强同时与圆x22y 6x 91 0 内切,2(2)双曲线 y2 1有动点p, f1,

6、 f2是曲线的两个焦点, 9求 pf1f2的重心m的轨迹方程。解析：(1)(法一)设动圆圆心为m (x, y),半径为r,设已知圆的圆心分别为01、02, 将圆方程分别配方得：(x 当0m与001相切时，有当m与口02相切时，有3)2101m2_ 2y 4, (x 3)| r 2102m | 10 r将两式的两边分别相加，得y2 100,0101m | 102m | 12 ,po02即(x 3)2 y2(x 3)2移项再两边分别平方得：122.(x 3)2 y2两边再平方得：12 x223x 4y1080,2整理得36 27所以，动圆圆心的轨迹方程是2x362y 1 ,轨迹是椭圆。27(法二)

7、由解法一可得方程j(x 3)2 y2j(x 3)2 y2 12,由以上方程知，动圆圆心m(x,y)到点01( 3,0)和。2(3,0)的距离和是常数12,所以点m的轨迹是焦点为 01( 3,0)、。2(3,0),长轴长等于12的椭圆，并且椭圆的中心在坐标 原点，焦点在x轴上， 2c 6, 2a 12, . c 3, a 6,2 b2 36 9 27 ,22.圆心轨迹方程为 - -y- 1 o 36 27(2)如图，设p,m点坐标各为p(x1,y1), m(x, y), 在已知双曲线方程中a 3,b 1,c9- 、. 10 已知双曲线两焦点为f1( jro,0), f2(m,0), pf1f2存

8、在，y10x1 ( .10),10x 由三角形重心坐标公式有3,即y1 0 0y - y10 , , y 0。已知点p在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有x1 3xy1 3y(3x)29(3y)21(y 0)即所求重心 m的轨迹方程为：x2 9y2 点评：定义法求轨迹方程的一般方法、步骤;1(y 0)。“转移法”求轨迹方程的方法。2x例2. (2001上海，3)设p为双曲线一4y2= 1上一动点，o为坐标原点，m为线段op的中点，则点 m的轨迹方程是 解析：(1)答案：x2-4y2=1设 p (x0, y0)m (x, y)x0 y2，yvo2，2x=x0, 2y=y。4x2cc c-4

9、y2= 1x2 4y2= 14点评：利用中间变量法(转移法)是求轨迹问题的重要方法之一。题型2:圆锥曲线中最值和范围问题2 x3. ( 1 )设ab是过椭圆 1 a2yi 1(a b 0)中心的弦，椭圆的左焦点为 bf1( c,0),则a f1ab的面积最大为(a. bcb. abc. acd. b2(2)已知双曲线22x2 1(a 0, b 0)的左右焦点分别为f1,e,点p在双曲线a b的右支上，且ipfil4ipf2i ,则此双曲线的离心率的最大值是(4a.一35b.3c. 27d.2(3)已知a (32)、b ( 40)p是椭圆252y1上一点，则|pa| 十 |pb|的最9大值为(a

10、. 10b.10c. 10d.102.5解析:(1)如图,由椭圆对称性知道。为ab的中点，则4 fqb的面积为 rab面积的一半。又iof1i c f1ob边of1上的高为yb ,而yb的最大值是 b,所以 f1ob的面积最大值为cbo1 ,-cb 。所以 f1ab的面积最大值为20a点评：抓住 f1ab中|of1| c为定值，以及椭圆是中心对称图形。(2)解析：由双曲线的定义,得：|pf1 |pf2| 2a,又 ipf1i 4|pf2|,所以 3|pf2| 2a,从而 ipf2i 2a3由双曲线的第二定义可得吟2ax -c所以xx3ca,即5a23c5一。故选b。3点评：“点p在双曲线的右支

11、上”是衔接两个定义的关键,也是不等关系5aa成立3c的条件。利用这个结论得出关于a、c的不等式，从而得出e的取值范围。(3)解析：易知 a (3, 2)在椭圆内，b ( 4, 0)是椭圆的左焦点(如图)，则右焦 点为f (4, 0)。连pb, pf。由椭圆的定义知：|pb| |pf| 10,所以 |pb| 10 |pf|,所以 |pa| |pb| |pa| 10 |pf| 10 (|pa|pf|)。由平面几何知识，11pai |pf| |af|,即(|pa| |pb|)min 10 |af|,而 |af| &3 4)2 (2 0)2v5,所以(|pa| |pb|)min 10 75。点评：由

12、paf成立的条件|pa| |pf| |af|,再延伸到特殊情形 p、a、f共线，从而得出|pa| |pf| |af|这一关键结论。2例4. (1) (06全国1文，21)设p是椭圆 占 y2 1 a 1短轴的一个端点，q为椭a圆上的一个动点，求 pq的最大值。(2) (06上海文，21)已知在平面直角坐标系 xoy中的一个椭圆，它的中心在原点,左焦点为f( 60)，右顶点为d(2,0)，设点a 1,1 . 2求该椭圆的标准方程；若p是椭圆上的动点，求线段 pa中点m的轨迹方程;过原点。的直线交椭圆于点 b,c ,求 abc面积的最大值。(3) (06山东文，21)已知椭圆的中心在坐标原点o,焦

13、点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为 i。(i )求椭圆的方程；(n)直线i过点p(0,2)且与椭圆相交于 a、b两点，当a aob面积取得最大值时，求直 线i的方程。解析：(1)依题意可设p(0,1), q(x,y),则|pq|=x2+(y_i)2 ,又因为q在椭圆上,所以，x2=a2(1 - y2),|pq| 2= a2(1 -y2)+y2-2y+1=(1 -a2)y2-2y+1+a2,“2、，1=(1 a )(y 1 _a2c1c)一=a2+1+a。1因为“不/1,右a则1tzp呼1,1一 a2 (02 1当y彳工时，|pq|取最大值仔下 ,若1a#,

14、则当y= 1时，|pq|取最大值2。(2)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c= 73则半短轴b=1,2又椭圆的焦点在x轴上，椭圆的标准方程为 y21o4设线段pa的中点为m(x,y)，点 p 的坐标是(xo,yo),x=xo 122x- 1 y=1 y022yo=12y 一 一2由，点p在椭圆上，得(2x 1)4(2y.线段pa中点m的轨迹方程是(x1x21 2.2)4(y 4)1。当直线bc垂直于当直线bc不垂直于x轴时,bc=2,因此 abc的面积s；aabc=1。2x轴时，说该直线方程为y=kx,代入人y214解得 b( 2, , 2k )，c - , 2， , 2k ),4k2 14

15、k2 1 4k2 14k2 1则bc46,又点a到直线bc的距离,1 4kk2d12，,1 k22k 1 一 1,得 saabcw4k2 1j2,其中，当k=1时，等号成立。2-1 sa abc的最大值是 22 。(3)解：设椭圆方程为2y1(ab c)2a(i)由已知得 -ac2.2a b2 ab22 c21所求椭圆方程为2n )解法由题意知的斜率存在，设y kx2, a(xi, y。bd, y2)y kx 2,消去y得关于x的方程:1(1 2k2)x2 8kx 6由直线l与椭圆相交于a、b两点,64k2 24(12k2)又由韦达定理得xix2xix28k1 2k26_ 2k2y21。直线l

16、的方0,0 ,解得k2| ab | .1 k2 |x1x2|1 k2 % (x1 x2)2 4xi 天1 2k24。原点o到直线l的距离 i彳 saob1-| ab | d2.16k2 24212.2k2 3解法1 ：对s1 2k21 2k216k2 241 2k2两边平方整理得:_2 4_22 _2 _4s k 4(s4)k s 24 0 (*),2222i6(s2 4)2 4 4s2(s2 24) 0,4 s2s2s2 244s2此时代入方程（*）得所以，所求直线方程为:解法2 ：令m2 .2m当且仅当m42_4k 28k49.14x 2y,2k2 3(m2 2、242m m4一即m m2

17、时,所以，所求直线方程为解法二：由题意知直线设直线i的方程为y则直线l与x轴的交点由解法一知k23且2解法 i ： s| aob,整理得：s2 1 。2的最大值为s0。20),则 2ksj max2yi的斜率存在且不为零。kxd(xixii - 2iodi=1 xi3。此时t4o22, a(xi,yi), b(x2, y2)2,0), kx2x2|yix2 |8ki 2k26i 2k2x2)2 4xix2kx2 2|j6k2 24i 2k2卜同解法2.2,2k2 31 2k2c11解法 2： saobsfobspoa22 |x2 | |x| %xi |1 2k2下同解法一。点评：文科06年高考

18、主要考察了圆锥曲线的最值问题，主要是三角形的面积、弦长问 题。处理韦达定理以及判别式问题啊是解题的关键。题型3:证明问题和对称问题例5. (1) (06浙江理，19)如图，椭圆过点a (2, 0) b(0,1)的直线有且只有一个公共点22 x-2 at,(i )求椭圆方程;(n )设ff2分别为椭圆的左、右焦点，m为线段af/勺中点,求证：zatm= / af 1to(2) (06湖北理，20)设a,b分别为椭圆0)的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且 x 4为它的右准线。(i )、求椭圆的方程;(n)、设p为右准线上不同于点(4, 0)的任意一点，若直线ap, bp分别与椭圆相2*1b有

19、惟一解,k 12交于异于a,b的点m、n ,证明点b在以mn为直径的圆内。(3) (06上海理，20)在平面直角坐标系 xoy中，直线l与抛物线y2 = 2x相交于a、 b两点。求证：“如果直线l过点t (3, 0),那么oa ob=3”是真命题；写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由.解析：(1) (i)过点a、b的直线方程为-y 1.22 x 2 因为由题意得 ay即(b21 2、2-a )x 42. 2a2b2 0有惟一解,所以2； / 2a b (a4b24)0(ab0),故 a2 4b2 40.又因为b2-2 aa2 4b2.从而得 a22,b2故所求的椭圆方

20、程为1.(ii)由(i)得、.6三,故e(、6、6” 一),从而 m(1、670).2y21，解得x1x21,所以1t”因为tanafttamtmf2 ,6,得 tan atm1,因止匕atmaft .椭圆的几何性质,同时考察解析几何的基点评：本题主要考查直线与椭圆的位置关系、 本思想方法和综合解题能力。(2) (i)依题意得a= 2c,a-= 4,解得 ca= 2,c= 1,从而x2故椭圆的方程为一4(n)解法1 ：由(i)a ( 2, 0), b(2,0).设 m (x0, 3_m 点在椭圆上，y0=一 (4x。2).4又点m异于顶点 a、b,一 2xo0,bm bp0,则/ mbp 为锐

21、角，从而/ mbn 为钝角,故点b在以mn为直径的圆内。n (x2, y2),解法 2:由（i）得 a （2,。），b （2,。）.设 m （xi, yi）则一2x12, - 2x2b0),其半焦距 b2c=6, 2apf1 pf2 j112 2222675a 3强,b 2=a2-c 2=9。一 1 ( 一 、一x2所以所求椭圆的标准方程为一452y9点 p(5,2)、fi(-6,0)、f2(6,0)关于直线 (0, 6)。y=x的对称点分别为点p (2, 5)、fi (0, -6)、f222设所求双曲线的标准方程为与丫2ab11(ai0心 0)。由题意知，半焦距 c1=6, 2al ipfi

22、pf2112 222x(2)由题意可设所求椭圆的标准方程为_2 a22x y20 16几何性质等基础知识和基a12 j5,b 12=c12-a 12=36-20=16.所以所求双曲线的标准方程为点评：本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、本运算能力。题型4:知识交汇题2_一例7.(06辽宁,20)已知点人函，%)由,丫2)(玉*2 0)是抛物线y 2px(p 0)上的两个动点，0是坐标原点，向量.设圆c的方程为22x y (xi x2)x (y1 y2)y 0(i)证明线段 ab是圆c的直径;2-. 5 (ii)当圆c的圆心到直线 x-2y=0的距离的最小值为 一丁 时，求p的值。解

23、析：(i)证明1:,oa ob .oa 0b, (oa 0b)2 (0a 0b)oa 2oa ob ob2 oa2 20a ob ob2整理得：x x2y1 y2 0设m(x,y)是以线段ab为直径的圆上的任意一点 即(x xi)(x x2) (y y1)(y 粗)022整理得：xy (x1 x2)x (y1 y2)y 0故线段ab是圆c f直径，,证明2:|oa obi ioa ob, (0a ob)2 (oa ob) oa 20a ob ob2 oa2 20a ob ob整理得：oa obxi x2 yi y2 0 .二设(x,y)是以线段ab为直径的圆上则即 y_y2 y_y11(x x

24、1,x x2)x x2 x x1去分母得:(x xi)(x x2)(y yi)(y y) 0点(xi, yi),(xi, y2),( x2, yi)(x2, y?)满足上方程，展开并将(1)代入得：22x y (xi x2)x (yi y2)y 0故线段ab是圆c的直径证明3:qa 2oa ob ob2 qa2 2qa qb ob2整理得：oa obxi x2 yi y2 0 以线段ab为直径的圆的方程为(x x2)2 (y yi 2 y2 )2 ;(xi x2)2 (yi y2)2展开并将(i)代入得：22x y(xi x2)x (yi y2)y 0故线段ab是圆c的直径(ii)解法i:设圆

25、c的圆心为c(x,y),则xi x2x 2yyiy22彳i 22i yi2 pxi, y22 px2(p 0)22yi y2x1x24p2又因 x1 x2y1 y20x1 x2yi y2yi y222v y24p2xi x20,yi y202yi y2 4pxix2i 22(yi y2 )4pi41(yi2y2 2y1y2)yiy24pi 22一(y 2p)p所以圆心的轨迹方程为y2px 2p2设圆心c到直线x-2y=0的距离为d,则|x 2y|5i 22i (y 2p) p、52y|2_2|y 2py 2p |5pi(y p)2 p2ij5p当y=p时,d有最小值%,由题设得 p 25.55

26、5p 2.解法2:设圆c的圆心为c(x,y),则xx22yiy22222pxi, y22 px?(p 0)4p2又因xi x2yi y20x1 x2yi y2yi y222v y24p2. xi x20,yi y2yi y24p2xix2x 24p(yi22 y24p(yi22y1y2y2 2y1y2)- 4pi 22一(y 2p)p所以圆心的轨迹方程为px 2p2设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为 25则5m 222因为x-2y+2=0与y px 2 p无公共点，所以当x-2y-2=0与y2 px 2p2仅有一个公共点时，该点到直线 x-2y=0的距离最小值为2 55x 2y 2 0| |(2)y2 px 2p2 |(3)将(2)代入(3)得 y2 2py 2p2 2p 02 一 2 一4p 4(2 p 2p) 0+1彳p 0p 2.解法3:设圆c的圆心为c(x,y),则xix22yiy2y 丁圆心c到直线x-2y=0的距离为d,则y2)l1 222,yi2pxi, y22 px2(p 0)22x1x2yi y24p2