No.32全国高中数学联合竞赛模拟试题

1、no.32高中数学联赛模拟试卷1、设实数x, y满足方程9x2 4y2 3x 2y 0 .则z 3x 2y的最大值是.2、方程7x 3 2y 1的正整数解的组数为 。-113、集合n| log 12-,n n的真子集的个数是。2 n 34、设a r,若函数y f(x), y 10x 3关于直线y x对称，且y f(x)与2y lg(x x a)有公共点，则a的取值范围是 .5、已知f(x)是定义域在实数集的函数，且f(x 2)1 f(x) 1 f(x).若f(1) 2 j3,则f (1949)的值是.6、方程1 lgsin x cos x的实根个数是 。7、1 sin2 20091 cos2

2、2009等于.8、等比数列 a+log23,a+log43,a+log83 的公比是 .329、设a,b,c为实数，使得方程x3 ax2 bx c 0有三个实根。证明，如果2 a b c 0,则方程至少有一个根在区间0,2中(俄罗斯)。10、设 xi 1,xn 1 x23xn , ann 1,试求整数 m,使得mk 1 xk 1a2008m 1 （芬兰）。第-2 -页 高考数学常用解题方法篇(7)利用两个关系解题11、把圆分成n个不相等的扇形，并且用红、蓝、黄三种颜色给扇形染色，但不许相邻的扇形 有相同的颜色.问共有多少种染色方法？2x12、已知 x, y, z 0 且 y22z2xy y 1

3、,yz z2 3,求 x y z 的值。2zx x 4,乌鲁木齐市高级中学数学竞赛培训题1参考答案1、12、23、7 4、 a6 5、 、,3 26、0 7、cos2009 sin2009 8、9、证明：记p(x)32x axbx c。设它的3个根为xi,x2,x3,于p(x) (x xi)(xx2)(x x3),注意到 p(1)=a+b+c+1,知在题中条件下，有1 (1 xi)(1 x2)(1x3) 1。这就表明1 x1,1x2,1x3的绝对值不可能都大于1,即其中至少有一个数的绝对值不大于1,不妨设|1x1 | 1,于x12.证毕.、一210、解:注意xn1 xnxn xn(xn1)，两

4、边求倒数，得xn1xnxn 1所以ank 1 xkn11() k 1 xnxn 1x1xn 1易得x249,x352,x3816916 /,、- 1,由于数列4递增，所以6561x200911-， 3,即2a20083 .故所求的m=2x200911、如图，依次记n个扇形为s, s2, sn.显然a13.当n 2时，先对s1染色，有3种方法；si染色后再对 &染色，有2种方法,故a2 6.当n 3时，我们依次对si, s2,sn染色.对si染色有3种方法，在对s2染色有2种方法，同样地对 s3 , s4 ,sn分别有2种方法，由乘法原理共有 3 2n 1种染色方法.但这样做虽然能保证 s1至s

5、n之间相邻的扇形之间不同色，sn与s1却有可能同色.即在3 2n 1种染色方法中包含了仅 sn与同色的染色方法.对于sn与&同色的情形，拆去 sn与si的边界圆分为n1个扇形的同色不相邻的染色方法，这样的情况有op使sn与si合并，便得到将an 1 种.故 an3 2n 1an 1.即 an an2n 13.所以an (an3 2n 1an 1)3 2n(an 12an2) (an 24 3) 俎3 an 4)(1)n3(a3 a2) ( 1)n2a21)n 3 3 22 ( 1)n 2 6 2n ( 1)n 2.所以,1时,3种染色方法；当n 2时，有2n ( 1)n 2种染色方法.12、解

6、法 1 由得，x3 y3 (x y)(x2 xy y2) x y, 由得 y3 z3 3( y z).由得z3 x3 4( z x).y 3xy 1以上三式相加，得z 3x 2y,代入，得3x214.7,z ,7.与联立，解得2x(x 2y) 0.2 但x 0,故得x 2y,从而可解得x 二，y.7 t x y z . 7 .解法2令s x y z .-并因式分解，得(z x)(x y z) 1 ,2 13z x -,同理得 x y -, z y -.sss+，并配方得(x y z)2 1(x y)2 (y z)2 (z x)2 8.21 z 1944c 2rc则有 s (=) 8,即 s 8

7、s 7 0.2 s2 s2s2解得s1,s71 .又由知s x y z 1, s j7.123 r丘/口 214x yn=,z x-,z y-.可解得 x j=,y, z .7717 77 7,77解法3由余弦定理，得 22222xxy yxy2xycos1201 ,y2yz z2y2z22yzcos120(, 3)2,22222z zx x z x 2zxcos120 2 .使我们想到构造三角形：作 rt abc ,使 ab 1, bc j3, ac 2 ,在三角形内取点 p,使 apbbpccpa 120 .由余弦定理知，pa x, pb y, pc z是原方程组的一组解.第-5 -页 高考数学常用解题方法篇（7）利用两个关系解题将 apc绕c点旋转60 ,得 a p c ,易证a ,p , p, b共线，则x y z papb pc a b.在rt abc中，有a b ac2