第三章矩阵

1、第三章 矩 阵3.1 矩阵的运算练习题1. 如果矩阵X满足X+2A=BX，其中A=，B=求X。2. 已知矩阵A=，B=，计算AB，AB-ABT.3. 设矩阵A=， 计算An,其中n为正整数。4. 设，矩阵A=。计算，其中E为三阶单位阵，n为正整数。5. 设4阶矩阵A=，B=，其中均为4维列向量，且已知行列式求。6. 设A为n阶矩阵，n为奇数，且满足AAT=E，。求。7. 设矩阵A=。求3阶矩阵X，使得AX=XA。8.设A是n阶实矩阵。证明如果AAT=O，则A=O。9. 设A，B是n阶实矩阵，若A2=A，B2=B，则称A，B为幂等阵。已知A，B是幂等阵，证明A+B也是幂等阵的充要条件是AB=BA

2、=O。3.2 几种特殊的矩阵练习题1. 设矩阵A=， 其中两两不同。证明：与A可交换的矩阵必是对角阵。2. 设A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵。证明：AB是反对称矩阵的充分必要条件是AB=BA。3.3 分块矩阵练习题1. 设矩阵A=利用分块矩阵求。2. 设矩阵A=，B=利用分块矩阵计算AAT，（A-B）BT。3. 设矩阵A=利用分块矩阵求A6。4. 设A，B均为n阶矩阵。证明：。3.4 逆矩阵练习题1. 求下列矩阵A的伴随矩阵A* ，并用伴随矩阵求逆公式求其逆矩阵。（1）A=.（2）A=。2. 用初等变换法求下列矩阵的逆矩阵（1） A=. （2）A=。3. 设A，B分别是m阶，n阶可逆矩阵

3、，C为mn矩阵。证明：分块矩阵可逆，并求。4. 用分块矩阵求逆公式求矩阵A的逆矩阵，A=.5. 已知3阶矩阵A的逆矩阵，试求其伴随矩阵A*的逆矩阵。6. 设矩阵A=，试求。7. 设3阶矩阵A满足条件，其中列向量。试求矩阵A。8. 设n阶矩阵A，B满足条件A+B=AB.（1） 证明A - E为可逆阵。（2） 已知矩阵B =，求矩阵A。9. 设矩阵A=，已知，试求矩阵X。10. 设A为n阶矩阵，且A2-A-2E=O，其中E为n阶单位矩阵。证明：A与A+2E均可逆，并求A-1和（A+2E）- 1。11. 设A，B均为n阶矩阵，B与E+AB均可逆。证明：E+BA也可逆，并求（E +BA）- 1。12.

4、 设A为n阶非零实矩阵，A*= AT 。证明：A是可逆矩阵。3.5 初等矩阵练习题1. 设A为n阶可逆矩阵，B是A交换第i行和第j行所得的矩阵。（1）证明：B是可逆矩阵。（2）求AB-1。2. 设A，B为3阶矩阵，将A的第3行的（-2）倍加到第2行得到A1 ，将B的第2列加到第1列得到B1 ，已知A1B1=求AB。3. 设矩阵A=，B=问是否存在可逆阵P，使得PA=B ？若存在，试求P。第三章综合练习题1. 填空题（1）设A为n阶方阵，B满足关系式_.（2）设A为n阶方阵，且Am = E ，其中m为正整数。若将A的n2个元素用其代数余子式Aij 代替，得到的矩阵记为B，则Bm=_.（3）设A，

5、B均为n阶矩阵，=_.（4）设矩阵A，B满足A*BA = 2BA - 8E，其中A=，则B=_.（5）已知矩阵A=，B是3阶非零矩阵，若AB=O，则r(B)=_.2. 选择题（1）设三阶矩阵，其中均为三维行向量，已知，则（ ） （A）1 . (B) 2. (C) 3. (D) 4.（2）若A为三阶矩阵，为三阶数量矩阵，则下列结论不一定正确的是（ ） （A）A与A2可换. （B）A与A*可换. （C）A与可换. （D）A与AT可换.（3）若A为n阶可逆矩阵，则下列结论不正确的是（ ） （A）. （B）.（C）. （D）.（4）设A，B为n阶矩阵，A*，B*是其伴随矩阵，则（ ） （A） . （B

6、） .（C） . （D） .（5）若A经过初等行变换为B，则（ ）（A）A的行向量组与B的行向量组等价；（B）A的列向量组与B的列向量组等价； （C）A的行向量组与B的列向量组等价；（D）A的列向量组与B的行向量组等价3. 已知3阶矩阵A=，求A100 。4. 设A为n阶正交矩阵，且，求：（1）. （2）.5. 设n阶方阵A=.（1） 求.（2） 求A的第i行的代数余子式之和Ai1+ Ai2+ + Ain .6. 设A，B为3阶矩阵，将A的第1行的（-3）倍加到第3行得到A1 ，将B的第1列乘以（-3）得到B1，再将B1的第2列加到第1列得到B2，已知A1B2=求AB。7. 设A，B均为n阶方

7、阵，且，（A - E）- 1=（B - E）T，证 明 ：.8. 已知n阶可逆矩阵A的每行元素之和均为a ，则A-1的每行元素之和必为。第三章提高练习题1. 填空题（1）已知当A=时，A6=E，则A11=_.（2）设A，B，C均为n阶方阵，且AB=BC=CA=E，则A2+ B2+C2=_.（3）设A为可逆矩阵，且=_.（4）设A，B均为4阶方阵，且=_.（5）已知A=，B是3阶非零矩阵，且AB=O，则ab=_.2. 判断分析题（1）设n（n2）阶实对称矩阵A=(aij)nnO, 且aij = Aij（i,j=1,2,n）,其中Aij 是元素aij的代数余子式。则有AAT=E。（2）设A为n（n1）阶可逆矩阵，A*是A的伴随矩阵。则.（3）设A是mn矩阵，B是nm矩阵，则当mn时，必有.（4）设A，B均为mn矩阵，则齐次线性方程组AX=O与BX=O同解的充分必要条件是矩阵A与B等价。3. 设A为n阶非奇异矩阵，为n维列向量，b为常数。记分块矩阵（1） 计算并化简PQ.（2） 证明：Q可逆的充分必要条件是TA-1b.4