重叠问题教学实录

1、教学内容:义务教育课程标准三年级下册 108页数学广角例 1课时:第一课时【教材简析及设想】:重叠问题是义务教育课程标准三年级下册“数学广角”第一课时的内 容, 向学生介绍了有关集合的数学思想方法, 使学生运用这些数学思想方法解决 一些简单的实际问题和数学问题。 集合思想对三年级的学生而言, 既熟悉又陌生。 说它熟悉, 是因为从学生一开始学习数学, 其实就已经在体验和运用集合的思想 了。例如,学生在学习数数时,把 1个人、 2朵花、 3枝铅笔用一条封闭的曲线 圈起来, 再如学生进行的各种分类活动, 也无不蕴涵着集合思想的原型。 说它陌 生, 是因为学生此前对集合只是无意识地形成了某些零星感觉却

2、从没有主动、 充 分地感知过它,集合图(集合间没有交集也仅仅是以单个圈(或框的方式来 呈现的,而本节课要学习的是含有重复部分的集合图(交集,学生对此并没有 接触过。因此, 本节课设计时我立足于从学生的生活经验和知识基础出发 , 创设情境 , 让学生通过观察、操作、实验、推理、交流等活动,建构数学模型,寻找解决问 题的方法, 从不同的方法中选择最优方案, 在解决问题中初步体会数学方法的应 用价值,初步体会集合思想。基于以上的认识,我制定了以下教学目标:1、使学生借助直观图,利用集合的思想方法解决简单的实际问题,并能运 用数学语言进行描述。2、使学生感知集合图的产生过程,培养建模意识和能力,渗透多

3、种方法解 决问题的意识。3、丰富学生对直观图的认识,发展形象思维和抽象思维。使学生在主动参 加数学活动过程中获得成功的体验,提高学习数学的兴趣。4、培养学生善于观察、善于思考,养成良好的学习习惯。课堂实录:课前谈话:师:老师姓李, 大家可以叫我李老师, 今天老师送大家四样法宝, 拥有了这四样法宝, 你一定会是这节课最棒的同学。 第一件:用眼睛看; 第二件:用耳朵听;第三件:用嘴巴说;最重要的法宝(师故作迟疑生:用脑袋想!师:真聪明,你们现在就不就正在用脑袋想嘛!真了不起,都猜出来了!拥 有这四样法定的同学,将会是李老师这节课上最先认识的同学,对自己有信心 吗?生:有。师:我觉得还不够自信!生:

4、有!反思:借班上课,面对一群陌生的孩子,想让学生认真地听你讲课,必须要 让学生先喜欢你。 课前几分钟里, 我通过送学生“四样法宝”这样的谈话, 既提醒了学生课堂学习习惯的重要性, 同时通过自己充满童真的微笑和谈话, 拉近了 师生之间的距离, 师生的情感产生了共鸣, 犹如奏响了课堂教学主题曲的前奏。 课堂再现:一、激趣导入,初步感知师:今天老师给大家带来一个脑筋急转弯,想不想挑战一下你自己? 生:想!师:有两个妈妈和两个女儿一起去电影院买票, 为什么她们只买三张票就够 了?(生沉思师:我刚才发现你第一个举手,你先说!生:因为她们分别是姥姥、妈妈和女儿。师:听明白了吗?这里面发生什么情况了?生:姥

5、姥是妈妈的妈妈,妈妈是女儿的妈妈。师:妈妈在这里有双重的身份,她既是妈妈,也是女儿,所以她们只买三张 票。刚才大家的表现让老师很佩服,那老师想进一步了解大家,可以吗? 生:可以。反思:教育家夸美纽斯曾经说过:“提供一种既令人愉悦又有用的东西,当 学生们的思想经过这样的准备之后, 他们就会以极大的注意力去学习”。 好的导入犹如乐师弹琴, 第一个音符就悦耳动听, 起到了“先声夺人”的效果。 课之初, 我设计了一个与本节课知识有关的脑筋急转弯游戏, 符合孩子们的年龄特点。 在 这一设计中, 既渗透了重叠思想, 使孩子们初步感知了重叠问题, 同时在这样的 氛围之中, 促使学生兴趣高涨, 每个学生的思维

6、都处于兴奋状态, 为学生主动积 极地参与这节课的后续学习奠定了基础。 二、联系实际,调查统计1、现场调查师:在语文和数学这两门学科里,你最喜欢哪一门学科?生 1:数学。生 2:语文。师:有没有两门学科都喜欢的?(生举手示意师:咱们全班人太多, 老师一个一个让大家说说不过来, 咱们把自己喜欢的 学科写到卡片上,注意:一张卡片只能写一门学科,每个同学都要作出选择,可 以喜欢一门,也可以两门都喜欢。(学生填写卡片2、收集数据师:请前两排的同学拿着自己的卡片,贴到黑板上语文和数学的对应地方, 喜欢语文的就贴到语文的下面, 喜欢数学的就贴到数学的下面, 如果你两个都喜 欢,就两个都贴。(学生上台贴卡片喜

7、欢语文 喜欢数学反思:课程标准明确指出:“数学教学要紧密联系学生的生活实际,从 学生的生活经验和已有的知识出发, 创设生动有趣的情境, 让学生在生动具体的 情境中学习数学。”我让学生选择自己喜欢的学科,这是一个合适的教学情境。 这样的教学, 一是起点比较低, 有利于所有学生的主动参与; 二是让学生感受到 了表达对语文和数学两门学科的喜欢可以有这样的三种结果; 三是用纸片贴出自 己喜欢的学科,形象直观,为进一步的学习和建立本节课的数学模型奠定了基 础。 三、合作探究,体验过程1、产生矛盾师:你快速地数一数前两排喜欢语文的一共有多少人?喜欢数学的一共有多 少人?师:喜欢语文的有几人?(8人,喜欢数

8、学的有几人?(11人。 师:那前两排就一共有 8+11=19个同学?生:(齐嗯。师:嗯?生:不是!师:那前两排同学起立,我们一起来数一数一共有多少个同学?生:12人。师:那 8+11怎么是 19个同学呢?生:因为有的同学两门都喜欢,他贴了两个。生:这里出现了重复的情况,有的同学贴了两张。反思:在前面选择喜欢的学科基础之上, 我引导学生进行计算,使学生强烈 地感受到如果还像以前一样简单地做加法, 计算结果就会与客观现实不符, 从而 产生矛盾。 这种认知的矛盾与冲突会激发学生解决数学问题、 探索数学规律的欲 望。 在这个过程中, 使学生深刻地体会到这里的“加法”与“以前学习的加法”不同, 不能就这

9、样简单地相加, 必须考虑中间重叠部分的问题, 这为学生建立重 叠问题的数学模型创造了条件。 2、重新排列师:那你能不能把黑板上的卡片调整调整顺序, 使大家一眼就看出哪边是喜 欢语文的,哪边是喜欢数学的,哪儿是即喜欢语文又喜欢数学的?师:刚才老师粗心了, 没有让大家在卡片上写上自己的姓名, 现在请前两排 的同学拿上彩笔来补上自己的姓名。(学生添加姓名反思:这是我这一课中最大的失误, 40分钟的备课时间里,自己的思路非 常清晰, 我所准备的学具卡片是让孩子们写姓名的, 可现实情况是课堂上在简单 的对学生喜欢的学科调查之后, 我的思想里也被这两门学科所占据, 误让孩子们 把写成了学科卡。 当课堂上“

10、遭遇意外”时, 我内心一阵慌乱, 我一时不知如何 来补救自己的失误, 于是便坦白地告诉学生:“老师粗心了, 你们来把自己的姓 名添写到卡片上”。 课后反思这一细节, 我联想到了“教育机智”这一名词, 自 己在处理突发事件时没有丝毫的底气。 正如常亚歌老师所说:“其实这你不需要 自己这样说,让学生自己来,让他们发现问题,从而解决问题”。再次思量这一 问题,我认为不妨放手,让孩子们自己遇到困难,从而发现这其中的问题,进而 “被迫”改进。 师:好, 你接着来整理, 刚才前两排的同学谁填的是两张卡片举手让大家看 一看。 那你觉得你可以怎样调整卡片的顺序让大家一眼就看清楚谁喜欢语文, 谁 喜欢数学,谁既

11、喜欢语文又喜欢数学?(生调整卡片,把既喜欢语文又喜欢数学的卡片贴到了中间反思:这一环节在我的课前教学设计中写得很详细, 课前预案中我作了这样 的两种预设:预设 1:学生把重复的这一部分的卡片调整到右边,这是一般的常规思维; 预设 2:把重复的这一部分卡片调在中间,这是缜密的理性思维的结果。 而课堂上的情形是:当我叫了第一个学生时,他直接摆出的就是最佳方案, 即把重叠部分的卡片调整到了语文和数学的中间, 当时, 我心里一阵窃喜, 这一 定是一个思维品质非常好的学生, 我就像抓到了根“救命稻草”般。 而我却忽视 了我预设的第一种情况, 也忽视了对学生中间不同情况的关注, 即能代表大多数 同学思维方

12、式的常规思维, 致使在后来的环节中仍出现了常老师为我收集到的学 生样本情况:“喜欢语文、喜欢数学、既喜欢语文又喜欢数学”这样的写法,这 都源于在此处我没有引领学生思维向纵深发展。 3、体验感悟师:那你给大家说一说你为什么把这些卡片都放在了中间?生 1:笔水一样。生 2:名字一样。反思:再看一遍自己的教学录相, 我从录相中找到了答案,理解了学生课堂 上貌似离题的话语的含义, 实则孩子们的话表达的意思都是正确的, 而课堂上那 一瞬间我却甚至认为他们的回答有些不可思议, 教学, 不仅仅是倾听, 更重要的 是思考,思考的不仅仅只有学生,教师则是更重要的思考的主体。 师生:他们喜欢的都是两门学科。师:那

13、这边的一张卡片表示什么?四张卡片呢?中间的卡片呢?生:一张表示喜欢语文的, 四张表示喜欢数学的, 中间的表示既喜欢语文又 喜欢数学的。生 2:中间的每两张卡片的名字都一样。师:她的意思是说这些卡片中每行的两张卡片都是重复出现的。师:刚才贴两张卡片的同学请站起来,大家数一数贴两张卡片的有几人? 生:7人。师:7个人贴了 14张卡片,那这些人的卡片是不是就重复出现了呢? 师:我们一起来把重复出现的卡片去掉一张。反思:对重叠部分的认识是这节课的关键点之一, 加深认识,才能更好地建 立模型, 从模型中抽象出算式。 此处我处理得不够到位, 为什么去掉这 7张卡片,多让学生说一说, 联系总人数加以思考,

14、就会在后来的抽象算式时自然而然而想 到中间部分重复计算了两次,应该减掉 7。 师:这回谁再来大胆地说一说我们这三部分的卡片分别表示的是什么? 生:左边贴的都是喜欢语文的人, 右边贴的都是喜欢数学的人, 中间贴的是 喜欢语文和数学的人。师:还有谁能再说一说?(两生重复说反思:当我发现学生表述不够准确之后, 仍一直寄希望于学生身上,希望能 从他们嘴里说出完整而准确的描述, 现在看来, 这个环节是低效的, 教师则应该 “该出手时就出手”,无谓的描述只能是在浪费时间。 师:可是李老师觉得如果添上几个字可词, 我们的表达会更清晰。 想不想听 听李老师怎么说?生:想。师:左边的表示只喜欢语文的, 右边的表

15、示只喜欢数学的, 中间的表示既喜 欢语文又喜欢数学的,跟你的同桌试着说一说。(生互相说师:都会说了吗?生:会!师:会,我找一个人试试吧!生:左边表示只喜欢语文的, 右边表示只喜欢数学的, 中间的是两门都喜欢 的。反思:对直观贴图的理解将会为后续的学习奠定基础, 因此,在这里我放慢 节奏,让孩子们多说,关注到了全体学生,使每个学生的思考都进了一步,思维 都深了一些。 反思:在这个环节中, 我让学生重新排列卡片,并对排列出的卡片的含义进 行辨析。 在这个学习过程中, 我认为有两点处理得比较到位:一是使学生积极主 动地参与了数学思维活动, 而不是被动地接受老师所给出的结论; 二是对图中各 部分的认识

16、有利于学生模型的建立, 我拓宽了学生的参与面, 让学生边说边想边 理解,在这样的过程中使学生进一步明晰了各部分所表示的意义。 4、创造集合图师:接下来我们有一个更具挑战性的问题,敢不敢试试?生:敢!师:说得真自信,听好老师的要求。你能不能在你的练习本上画点什么,把 我们这三部分表示出来?老师有个小提示, 比如说我们可以用小长方形、 小正方 形或小圆片等图形来代替卡片。如果你真的有困难,可以看一看课本的 108页,看能给你什么启示?也可以和旁边的同学交流交流, 更不要忘了老师就在你我身 边。看谁画得最有创意,还能清楚地表达出这三部分的意思。生尝试画,师巡视指导。师:老师发现有几个同学画得已经有点

17、意思了。 现在和你的同桌交流交流吧! (学生交流画法师:完成的同学举手示意老师,谁来把你画得展示给大家看?生 1:语文 既喜欢语文又喜欢数学 数学师:你来讲讲你画的意思?生:我用长方形来表示姓名的卡片, 左边的一个表示只喜欢语文的, 右边的 4个表示只喜欢数学的,中间的 7个表示既喜欢语文的又喜欢数学的。生 2:语文 数学师:刚才老师发现有不少同学用的是这种方法, 他的方法也很有代表性, 谁 用的方法和他的一样请举手。师:你作为代表跟大家讲一讲你这种方法的意思。生:这边画的一个是喜欢语文的, 右边画的四个是喜欢数学的, 中间的是既 喜欢语文又喜欢数学的。反思:在此环节的设计是本节课的又一亮点之

18、一, 我把学生推到主体的地位, 充分放手, 让学生去发现创造集合图, 这正是“以生为本”理念的充分体现。 同 时,注意扣紧难点,让学生当小老师来讲解,发挥了他们的主观能动性,发展了 学生的思维能力。 师:他不仅把三部分画出来了, 还用了两个圈来表示, 还有谁能讲讲他这两 个圈的意思?生:左边的是喜欢语文的, 右边的是喜欢数学的, 中间的是既喜欢语文的又 喜欢数学的。反思:此处,我展示了上面两种画法,课后,常亚歌老师为我收集到了他周 围的两种极具代表性的画法,给了我很大的启示:画法一:语文 数学 既喜欢语文又喜欢数学之所以到抽象集合图这一环节还出现这样的画法,就在于把卡片重新排列, 理解三部分含

19、义之时我没有将这种常规的顺向思维的方法和重叠部分贴在中间 的方法进行对比。画法二:语文 都喜欢的 数学这位同学把这三部分不同含义的内容分别用了不同的三种图形来表示,更体 现了这位同学的思维之周密, 如果课堂上能更多地关注学生, 使学生的想法尽情 地展现出来,这样的课堂将会更真实,更有效,更精彩。 师:老师用不同颜色的粉笔来圈一圈,我来圈你来说这个圆圈表示的是什 么?师:左边的红色圈?生:喜欢语文的。师:右边的黄色圈?生:喜欢数学的。师:那中间交叉的部分呢?生:既喜欢语文又喜欢数学的。反思:对于每个集合圈和中间重叠部分的理解深刻, 才顺理成章地生长出解 决这类问题的基本方法, 课后反思, 我对此

20、处的处理有所欠缺, 对于每一个集合 圈的整体感知用时比较少, 以致于在后来抽象算式的过程中只有极少数同学用的 是两数之各减去中间重叠部分的做法。 改进措施:应加强对每个集合圈的整体感 知。 师:刚才用这种方法表示的同学特别的棒, 其实你们的想法和数学家的方法 一样, 这样的图在我们的数学上叫集合图, 它最早是由英国的数学家韦恩发现的, 因而也叫做韦恩图。师:刚才没有用这种方法的同学,也想不想自己创造个集合图?生:想。(动笔画反思:在这个创作过程中, 我充分尊重学生的个性,放手让学生自己用图形 去表示, 让学生在相互的讨论与合作的过程中, 创造出自己的表示方法。 通过这 样的多元表征,有利于学生

21、对意义的建构。 5、掌握算法师:那你能不能看着我们刚才画的集合图, 来算一算我们这两组一共有多少 名同学?用一个算式来表示,试一试,把算式写在你的图下面。(师巡视反思:课后, 谈到这从集合图抽象出数学算式这一环节时, 常亚歌老师谈到:“把图形转化为数, 并抽象出算式, 对于一部分同学来说有一定的难度, 看着图 形,他联想不出数字”。现在想来,在教学中我要渗透学生数形转化的意识,其 实, 不仅仅是这一节课, 数形转化的意识应该无形式根植于日常教学之中, 应结 合具体内容,有意识地引导学生见数想形、因形思数,使数与形结合,培养学生 数形相互转化的意识。 生 1:1+5+7=13师:再数数看。生:哎

22、呀,老师,我数错了!师:他第一个举手,但数错了,我们一定要做一个细心的同学。(师继续巡视,指生到黑板上板书算式。生 1、生 2:1+7+4=12师:如果你的也是这三个数相加, 那么你的和他们的就属于同一种方法。 谁 的和他们的不一样,可以把你的方法写到黑板上。师:我们一起让他来讲一讲他的方法。生:我的方法是先把只喜欢语文的和只喜欢数学的加起来, 然后再加上两门 学科都喜欢的,就算出了这两组的总人数。反思:教师是学生思维的领跑者, 这一环节中,我发现学生大多用不着是三 个集合的并集这种方法求出的全集, 而很少有人去尝试用解决这类问题的基本方 法, 现在想来, 这与我的引领是有直接关系的。 我重视

23、了三个独立的部分表示的 是什么,对于两个不同的集合圈分别表示的是什么,以及为什么要去掉重复的 7张卡片, 处理地相对来说就有点轻描淡写, 这样, 学生的思维里自然就很难抽象 出这种方法了。正如我前面所说,应加强对每个集合圈的整体感知。 师:刚才老师发现有很多同学都是用 1、 7、 4的和求出来的,有谁的和他们 的不一样的请举手,如果刚才没有,现在再想一想试试。(生重新思考,师巡视,找不同方法的学生到前面板书生 1:8+11-7=12生 2:8+4=12师:仔细看(生 1的方法,他的方法是什么意思? 8是什么? 11是什么? 7是什么?你要看明白了你也可以举手。师:(生 1你来给大家当当小老师。

24、生 1:我的方法中 8是表示把喜欢语文的加起来, 11表示把喜欢数学的加进 来,减去 7是因为中间重复了 8人。师:哦,明白了。 8表示的是喜欢语文的一共有 8人, 11人表示喜欢数学的 一共有 11人,减去 7是因为中间重复计算了 7人。(师生齐表述师:刚才还有谁的方法和他的一样,你再来给大家当一当小老师。生 3:8是喜欢语文的加起来一共有 8个, 11人表示喜欢数学的一共有 11人, 7是两门学科都喜欢的人数。反思:整节课中我始终以学生为主体,让学生通过贴、画、说、讲、创造等 方式,来自主建构新知。我想,教师在课堂上的精彩不是真正的精彩,源于学生 的精彩才是真正的精彩。 师:(边描圈边引导

25、并板书 8表示喜欢语文的一共有 8人, 11表示喜欢数 学的一共有 11人,那为什么要减 7呢?8 + 11 7 = 12语文 数学 重复师 :(边描圈边讲解 我们在喜欢语文这里算这 7人了吗 ?(算过了 那我们在 喜欢数学时算这 7人了吗? (算了 那也就是说我们这 7人算了几次 ?(两次 ,这 7人重复计算了,所以我们用 8+11后还要再减 7。师 :他们用的这种方法用两个数的和再减去中间部分的方法是我们解决这类 问题常用的基本方法。自己在你的练习本上学着列一列算式吧。反思:有前因必有后果,在前面的反思中我已谈到, 由于自己对于整个集合 圈的整体感知处理得不太到位, 因而导致在此处抽象思维

26、时学生用这种方法的人 为数不多,因此,我需要在此处艰难地引导学生再次感知集合圈的含义。 师:咱们再看最后一位同学的方法,它列的算式是 8+4=12,你给大家说说 你的 8是什么, 4是什么?生:我的 8是表示喜欢语文的总人数, 4是只喜欢数学的人数,我用 8+4这 样就算出了这两组同学的总人数。师:这种方法没有重复计算, 其实也可以给你一点启发, 我还可以用全部喜 欢数学的多少人?(11人再加上只喜欢语文的几人?(7人,这也是一种方 法。不过, 刚才李老师说过我们解决这类问题常用的方法是用两数之和再减去中 间重复计算的部分。这就是我们这节课研究的数学广角的内容:重叠问题。 (板 书课题反思:在

27、这个过程中, 一方面能使学生进一步明确算式中每一个数代表的意 义, 也就是更进一步明确了为什么这么算的道理, 使得知其然而又知其所以然。 师:今天我们研究的是数学广角的内容, 学习进来有一定的难度, 课下请同 学们再仔细地回想一下这类问题,把它研究得更透彻,好吗?生:好!(下课总结:教学的成功与遗憾总是相依相伴, 反思这节课, 我觉得自己在以下几个地方 处理得比较理想:一、 选取生活素材,设置认知冲突。数学课程标准指出:学生的学习应当是现实的、有意义的、具有挑战性的。 因此, 课一开始, 我就创设了调查学生喜欢的学科这一情境, 学生产生了浓厚的 兴趣。然后通过设置认知冲突,让学生发现冲突的矛盾

28、点,由于认知“失衡”, 学生迫切地想找到问题的症结所在, 再让学生调整方案解决这个问题, 这样自然 地引发数学问题, 学生也被这个极其平常的问题深深地吸引住了, 他们的思维活 动由此蓬蓬勃勃地开启了。二、 坚持以生为本,发展学生思维从课始的认知冲突产生到调整卡片直观感知, 再到创造韦恩图以及由韦恩图 抽象出算式, 我没有采取“简单告诉”式的“传递”型教学模式, 而是给学生预 留了较为充分的时空, 教师尽可能避免越爼代疱。 由开始的制造“不平衡”让学 生的思维动起来, 到实施“再创造”, 让学生的思维“跳”起来, 到最后的营造 “思维场”, 让学生的思维深下去, 在这样的过程中, 每一个环节我都

29、注重让学 生多说、多思考、多理解,使学生的思维有了一次又一次质的飞跃。三、 注重过程体验,渗透数学模型冯灏强教授指出:使用模型化方法的教学一般有这样四个步骤:1、将题中 的信息用模型表示出来; 2、对所画的模型进行调整,以便更清晰地反映问题中的数量关系；3、对模型进行分析，并作出解释；4、写出等量关系，完成问题的 解。我的课堂正是通过这样的“四步走”，使学生经历了模式化学习的过程，使 学生自然地由生活原型过渡到最终的建构集合这一数学模型。 四、利用数形结合，由直观过渡到抽象 刘加霞教授谈到“数形结合”的方法就是把数学问题中的运算、 数量关系等 与几何图形或图象结合进来进行思考，从而使“数”与“形”各展其长，优势互 补，相辅相成，使逻辑思维与形象思维完整地统一进来。课中，从韦恩图到抽象 算式，其实就是数形结合的运用。课后，常老师谈到由形到数的转化有学生有困 难，见形想不到数，应加以引导